专题7.1 平行线中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破（苏科版）

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【典例1】将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α= °，∠β= °．
（2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数；
（3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值．
【思路点拨】
（1）如图1中，过点E作EJ∥PQ，证明∠DEF=α+∠BAC，可得结论；
（2）如图2中，根据（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH ．利用角平分线的定义求出∠PEH，∠MBH，可得结论；
（3）分9种情形∶当AC∥DF时，当AC∥DE时，当AC∥EF时，当BC∥DF时，当BC∥ED时，当BC∥EF时，当AB∥DF时，当AB∥ED时，当AB∥EF时，分别讨论求出∠MBA的度数，可得结论．
【解题过程】
（1）解∶如图1中，过点E作EJ∥PQ，
∵PQ∥MN， PQ∥EJ，
∴EJ∥MN，
∴∠α=∠DEJ，∠JEA=∠BAC=45°，
∴∠DEF=α+∠BAC，
∵∠DEF=60°，
∴α=60°−45°=15°，
∵∠DFE=30°，β+∠DFE=180°，
∴β=180°−30°=150°，
故答案为∶ 45， 150 ；
（2）解：如图2中，
利用（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH ．
∵PQ∥MN，
∴∠QEA=∠BAC=45° ，
∴∠AEP=180°-45°=135°，
∵∠CBA=45°，
∴∠CBM=180°-45°= 135*，
∵HE， HB分别平分∠AEP，∠CBM，
∴∠PEH=12∠PEA=67.5°，∠MBH=12∠FBM=67.5°，
∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°；
（3）解：①当AC∥DF时，如图1，
易得此时BC∥ED ，
∵AC∥DF，易知E，F，A三点共线，∠DFE= ∠FAC=30°，
∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°= 15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2；
②当AC∥DE时，如图2，
易得此时BC∥DF．过点A作AH∥BC，则AH∥ BC∥DF，
∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°，
∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°．
∴15t=120，
∴t=8，
③当AC∥EF时，情况不存在；④当BC∥DF时，同②；⑤当BC∥ED时，同①；
⑥当BC∥EF时，如图3，
此∠MAB=90°，即15t= 90，解得t=6；
⑦当AB∥DF时，如图4，
∵AB∥DF
∴∠BAF=∠DFE=30°，
∴∠MAB=∠MAF+∠BAF= 45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5；
⑧当AB∥ED时，
∵AB∥ED，
∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°，
∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°，
∴15t=165，
解得t=11；
⑨当AB∥EF时，此情况不存在．
综上所述，t的值为2或5或6或8或11．
1．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．
（1）如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；
（2）CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．
2．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，AB∥CD∥EF，分别就图1、图2、图3写出∠A，∠C，∠AFC的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若AB∥CD，则∠A+∠C+∠AFC= 度；
（3）在图5中，若A1B∥AnD，请你用含n的代数式表示∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n的度数．
3．（2022春·四川广元·七年级统考期末）已知直线l1∥l2，直线l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在直线l1，l2上，且位于直线l3的右侧，动点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
（1）如图1，当动点P在线段CD上运动时，求证：∠APB=∠CAP+∠DBP．
（2）如图2，当动点P在点C上方运动时（P，A，B不在同一直线上），请写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当动点P在点D下方运动时（P，A，B不在同一直线上），直接写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系．
4．（2022春·全国·七年级期末）已知：如图，AB∥CD，BG、FG 分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G．
（1）求证：∠BGF＝90°；
（2）点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，写出∠MGE和∠NGF的数量关系 ；
（3）在（2）的条件下，当∠MGE＝20°，∠AEG＝40°时，求∠CNG的度数．
5．（2022春·重庆永川·七年级统考期末）已知：如图，AB∥CD．
（1）如图1，猜想并写出∠B、∠D、∠E之间的数量关系．以下图2、图3、图4是三种不同角度思考采用的不同添加辅助线的方式，请你选择其中的两种方式说明理由．
（2）在图4中，如果BE、DE分别平分∠ABD，∠CDB，则∠E的度数是多少？（直接写出答案）
（3）根据以上推理，直接写出图5、图6、图7中的∠B、∠D、∠E之间的数量关系．
6．（2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．
（1）小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．
7．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
（1）当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
（2）当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
（3）在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
8．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB=140°，∠PCD=135°，求∠APC的度数；
【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动(点P与点A，B，O三点不重合)”其他条件不变，请直接写出∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系．
9．（2022春·辽宁大连·七年级校联考期中）已知直线AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，点M、N分别在直线AB、CD上．
（1）如图1，直线GH过点E，分别与直线AB、CD交于点G、H，∠AME=∠GND，求证：∠NGH+∠MEH=180°；
（2）如图2，点F在直线CD上，ME、NE分别平分∠AMF、∠MNF，若∠FMN=2∠MEN，求∠MEN的度数；
（3）如图3，MQ平分∠AME，MH平分∠BME，GN平分∠ENC．直线GN与MH交于点H，NK平分∠END，NF∥MQ．求证：∠MHG=∠KNF．
10．（2022春·北京·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．
（1）填空：∠BAN=______°；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．
11．（2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．
（1）若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；
（2）在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的关系；
（3）若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）
12．（2022春·北京海淀·七年级校考阶段练习）已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB,CD上，∠EFD=α．点P是直线AB上的动点（不与E重合），连接PF，∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H．
（1）如图1，若EF⊥CD，点P在射线EB上．则当∠EPF=40°时，
∠EHF= °；
（2）如图2，若α=120°，点P在射线EA上．
①补全图形；
②探究∠EPF与∠EHF的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，若0°<α<90°，直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系（用含α的式子表示）．
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图1，AB∥CD，直线AB外有一点M，连接AM，CM．
（1）证明：∠M+∠A=∠C；
（2）如图2，延长MA至点E，连接CE，CM平分∠ECD，AF平分∠EAB，且AF与CM交于点F，求∠E与∠AFC的数量关系；
（3）如图3，在2的条件下，∠E=100°，FA⊥AN，连接CN，且∠M=2∠N，∠MCN=30°，求∠M的度数．
14．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，∠ABC=88°．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：__________．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为__________．
15．（2022春·江西宜春·七年级江西省万载中学校考期中）在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线AB，CD和一块含45°的直角三角板EFG（∠EFG=90°）”为背景，开展数学探究活动．如图，将三角板的顶点G放置在直线AB上．
（1）如图①，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD//AB，且∠2=4∠1，求∠1的度数；
（2）如图②，过点E作CD//AB，请探索并说明∠AGF与∠CEF之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点G旋转，过点E作CD//AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系，并说明理由．
16．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）已知，AB∥CD，直线FE交AB于点E，交CD于点F，点M在线段EF上，过M作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q．
（1）如图1，当MR⊥MP时，求∠MNB+∠MQD的度数．
（2）如图2，若∠DQP和∠MNB的角平分线交于点G，求∠NMQ和∠NGQ的数量关系．
（3）如图3，当MR⊥MP，且∠EFD=60°,∠EMR=20°时，作∠MNB的角平分线NG．把一三角板OKI的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与MR和MP重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为5°每秒，当OI落在MF上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时∠BNG绕点N以3°每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的∠BNG为∠B′NG′，当NG′和NA重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当∠B′NG′的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值．
17．（2022秋·重庆·七年级重庆南开中学校考期末）已知，AE∥BD，∠A=∠D．
（1）如图1，判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为线段AB上一点，连接FG，∠CFG的平分线FM交线段AG于点H．如图2，若∠ECF=120°，∠AFH=20°，∠CFG=110°，求∠E的度数；
（3）如图3，连接AC，在（2）的条件下，将射线FG绕点F以5°每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（018．（2022春·辽宁大连·七年级统考期末）如图1，AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，PE⊥QE．
（1）直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为____________________；
（2）如图2，∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数；
（3）如图3，M为线段PE上一点，连接QM，∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N，直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为____________________．
19．（2022春·四川成都·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A,D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即PQ//CN,A,B为PQ上两点，AD平分∠CAB交CN于点D,E为AD上一点，连接BE,AF平分∠BAD交BE于点F．
（1）若∠C=20°，则∠EAP=_______；
（2）作AG交CD于点G,且满足∠1=13∠ADC，当∠2+65∠GAF=180∘时，试说明：AC//BE；
（3）在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线AC以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯D射出的光线DN以每秒15度的速度逆时针转动，DN转至射线DC后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当DN回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当AC与DN互相平行或垂直时，请直接写出此时t的值．
20．（2022·全国·七年级假期作业）如图，直线PQ//MN，一副直角三角板△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM．
（2）若△ABC，△DEF如图2摆放时，则∠PDE=
（3）若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
（4）若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请求出旋转的时间．