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七年级数学下册专题01平行线的四大模型(原卷版+解析)-7年级数学下册压轴题攻略(人教版)
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这是一份七年级数学下册专题01平行线的四大模型(原卷版+解析)-7年级数学下册压轴题攻略(人教版)，共71页。
平行线的性质和判定是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单的逻辑推理的素材。它不但为三角形的内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也是今后学习三角形、四边形知识的基础.本节课重点学习平行线的基础模型的应用迁移.
模型分类
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
典例分析
【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．
（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．
【变式1-1】（2023•渝中区校级模拟）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．50°C．130°D．140°
【变式1-2】（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．125°
【变式1-3】（2022春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC＝（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
【变式1-4】（2023春•巴南区月考）已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN和PO之间．
（1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在直线PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝∠CAB；
（3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出∠AFB的度数．
【变式1-5】（2023春•遂宁期末）如图，直线PQ∥MN，两个三角形如图①放置，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数；
（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒，当t＝10时，边BG与CD有何位置关系？请说明理由．
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
典例分析
【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．
（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系；
（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．
【变式2-1】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44°B．34°C．24°D．14°
【变式2-2】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44°B．34°C．24°D．14°
【变式2-3】（2023•海南模拟）如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【变式2-4】（2023春•覃塘区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-5】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；
【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；
【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝ 25 度．
【变式2-6】（2023春•邵阳期末）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；
（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；
（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．
【变式2-7】（2023春•防城港期末）阅读下面材料：
（1）小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为直线AB，CD之间一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝ ∠B ，
∵AB∥CD，
∴ CD ∥EF，
∴∠FED＝ ∠D ，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线a∥b，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数，（温馨提示：过点E作EF∥AB）
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
典例分析
【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE．
（1）如图1，求证AB∥CD；
（2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度数．
【变式3-1】已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
典例分析
【典例4】（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ ∥CD
∵MN∥AB，
∴∠ ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝ （ ）
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．
【变式4-1】（2022秋•肃州区校级期末）如图（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解：如图（1），过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°（已知）
∴∠2＝180°﹣130°＝50°
∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°
即∠EPF＝90°
【探究】如图（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
【应用】如图（3），在【探究】的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
【变式4-2】（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝ ．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．
【变式4-3】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．
解：过点C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【问题解决】
通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论： ；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
1.（2023春•建昌县期末）如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023春•芜湖期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
3．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
4．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
5．（2021春•椒江区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，则∠AEC等于（ ）度．
A．90﹣+mB．90﹣﹣C．90﹣D．90﹣+
6．（2023春•赫山区期末）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数；
【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系．
7．（2022春•良庆区校级期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＝∠CFD，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
8．（2021秋•平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
9．（2023春•黑山县期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
10．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
11．（2023春•孝义市期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含45°的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线m∥n，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°．
（1）如图1，若∠2＝65°，则∠1＝ ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2，调整三角板的位置，当三角板ABC的直角顶点C在直线n上，直线m与AB，AC相交时，他们得出的结论是：∠1﹣∠2＝135°，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位置，当点C不在直线n上，直线m与AC，BC相交时，∠1与∠2有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
12．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB∥CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，连接MP，MN，PN．
（1）如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN＝∠MPN；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度数；
（3）如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并说明理由．
12．（2023春•甘井子区期末）如图1，点M在射线BA，CD之间，0°＜∠ABM＜30°，连接BM，过点M作ME⊥BM交射线CD于点E，且∠MED﹣∠B＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）过点C作∠ECN＝∠B，交直线ME于点N，先按要求画图，再解决下列问题．
①当CN在CD上方，满足∠CNE＝5∠B时，在图2中画图，求∠B的度数；
②作∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F，请直接写出∠MKC与∠MFC之间的数量关系 ．
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
·
“骨折”模型
专题01 平行线的四大模型
专题分析
平行线的性质和判定是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单的逻辑推理的素材。它不但为三角形的内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也是今后学习三角形、四边形知识的基础.本节课重点学习平行线的基础模型的应用迁移.
模型分类
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
典例分析
【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．
（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．
【答案】（1）（2）证明见解析；
（3）95°．
【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠EHG，
∵∠EHG＝∠D+∠AED，
∴∠A＝∠D+∠AED，
∴∠A﹣∠D＝∠AED；
（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAB＝，
∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，
∴x+25°＝∠EDI+25°，
∴∠EDI＝x，
∵∠EDI＝∠CDE，
∴∠CDI＝，
∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，
∴，
解得：x＝60°，
∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I
＝180°﹣60°﹣25°
＝95°．
【变式1-1】（2023•渝中区校级模拟）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．50°C．130°D．140°
【答案】B
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3+90°＝180°，∠1＝40°，
∴∠3＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝50°，
故选：B．
【变式1-2】（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．125°
【答案】A
【解答】解：解法一：如图，过点B作DE∥a，
∴∠DBA＝∠1＝45°，
∵a∥b，DE∥a，
∴DE∥b，
∴∠2+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°．
解法二：如图，延长AB交b于点F，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝45°，
∵∠2＝125°，
∵∠2＝∠3+∠CBF，
∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°．
故选：A．
【变式1-3】（2022春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC＝（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
【答案】C
【解答】解：∵过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1+∠B＝180°，∠2+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，∠B＝120°，
∴∠1＝60°，∠2＝70°，
∴∠BEC＝∠1+∠2＝130°．
故选：C．
【变式1-4】（2023春•巴南区月考）已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN和PO之间．
（1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在直线PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝∠CAB；
（3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出∠AFB的度数．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）115°．
【解答】（1）证明：过点A作AH∥MN，如图：
∴AH∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠CAH，∠PBA＝∠BAH，
∴∠CAB＝∠CAH+∠BAH＝∠MCA+∠PBA，
∴：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA．
（2）证明：∵∠MCA＝∠DCE．
∴∠ACD＝∠MCE，
∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠MCE，＝∠ECN，
∴∠ECN＝∠CAB．
（3）解：∵AF∥CG．
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝50°，
∴∠GCA+∠CAB+∠FAC＝180°，
∴∠FAB＝130°﹣∠GCA，
∵BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝50°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝65°，
∵∠ABF+∠AFB+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠FAB
＝180°﹣（130°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝50°+∠GCA﹣∠ABF
＝50°+65°＝115°．
∴∠AFB＝115°．
【变式1-5】（2023春•遂宁期末）如图，直线PQ∥MN，两个三角形如图①放置，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数；
（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒，当t＝10时，边BG与CD有何位置关系？请说明理由．
【答案】（1）60°；
（2）BG∥CD，理由见解析．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝75°，
∵PQ∥MN，
∴∠ECN+∠CEQ＝180°，
∴∠CEQ＝105°，
∵∠DEC＝45°，
∴∠DEQ＝∠CEQ﹣∠DEC＝60°；
（2）BG∥CD，理由如下：
当t＝10时，BC转动了3×10°＝30°，即∠CBG＝30°，
由（1）可知∠ECN＝75°，∠DCE＝45°，
∴∠DCN＝∠ECN﹣∠DCE＝30°，
∴∠CBG＝∠DCN，
∴BG∥CD．
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
典例分析
【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．
（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系；
（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．
【答案】（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由见解答；
（2）（1）中三者关系不成立，理由见解答．
【解答】解：（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，
理由：过点G作GM∥AB，
∴∠GEB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴CD∥GM，
∴∠GFD＝∠FGM，
∵∠EGF＝∠EGM+∠FGM，
∴∠EGF＝∠GEB+∠GFD；
（2）（1）中三者关系不成立，
理由：过点G作GN∥AB，
∴∠GEB+∠EGN＝180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥GN，
∴∠GFD+∠FGN＝180°，
∴∠GEB+∠EGN+∠FGN+∠GFD＝360°，
即∠GEB+∠EGF+∠GFD＝360°．
【变式2-1】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44°B．34°C．24°D．14°
【答案】B
【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°，
所以∠DKF＝∠BEF＝64°．
又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，
所以∠F＝30°．
所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．
又∠GHC＝∠KHF，
所以∠GHC＝34°．
故选：B．
【变式2-2】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44°B．34°C．24°D．14°
【答案】B
【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°，
所以∠DKF＝∠BEF＝64°．
又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，
所以∠F＝30°．
所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．
又∠GHC＝∠KHF，
所以∠GHC＝34°．
故选：B．
【变式2-3】（2023•海南模拟）如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【答案】B
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF；
∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．
故选：B．
【变式2-4】（2023春•覃塘区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③错误；
④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，
∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，
75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④错误．
综上所述，正确的有2个．
故选：B．
【变式2-5】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；
【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；
【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝ 25 度．
【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D，理由见解答；
（2）∠BEG+∠GFD的度数为83°；
（3）25．
【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D，
理由：过点E作EP∥AB，
∴∠B＝∠BEP，
∵AB∥CD，
∴CD∥EP，
∴∠D＝∠DEP，
∵∠BED＝∠BEP+∠DEP，
∴∠BED＝∠B+∠D；
（2）过点G作GM∥AB，
由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGM，
∵AB∥CD，
∴GM∥CD，
由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGM，
∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°，
∴∠BEG+∠GFD＝∠B+EGM+∠D+∠FGM
＝∠B+∠D+∠EGF
＝23°+25°+35°
＝83°，
∴∠BEG+∠GFD的度数为83°；
（3）如图：
∵∠B＝60°，∠F＝85°，
∴∠BNF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°，
∴∠ANE＝∠BNF＝35°，
∵AB∥CD，
∴由（1）可得：∠DEN＝∠ANE+∠D，
∴∠D＝∠DEN﹣∠ANE＝60°﹣35°＝25°，
故答案为：25．
【变式2-6】（2023春•邵阳期末）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；
（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；
（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．
【答案】（1）∠MPD的度数25°；
（2）是定值，＝；
（3）是定值，＝．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠MNB＝45°，
∴∠DMP＝180°﹣∠MNB＝135°，
∵∠MDP＝20°，
∴∠MPD＝180°﹣∠DMP﹣∠MDP＝25°，
∴∠MPD的度数为25°；
（2）是定值，
理由：过点P作PG∥CD，
∴∠CDP＝∠DPG，
∵CD∥AB，
∴PG∥AB，
∴∠ABP＝∠BPG，
∵∠DPB＝∠DPG+∠BPG，
∴∠DPB＝∠CDP+∠ABP，
同理可得：∠Q＝∠CDQ+∠ABQ，
∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，
∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，
∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ
＝∠CDP+∠ABP
＝（∠CDP+∠ABP）
＝∠DPB，
∴＝；
（3）是定值，
理由：过点P作PG∥CD，
∴∠CDP＝∠DPG，
∵CD∥AB，
∴PG∥AB，
∴∠ABP＝∠BPG，
∵∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG，
∴∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，
同理可得：∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ，
∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，
∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，
∴∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ
＝∠ABP﹣∠CDP
＝（∠ABP﹣∠CDP）
＝∠DPB，
∴＝．
【变式2-7】（2023春•防城港期末）阅读下面材料：
（1）小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为直线AB，CD之间一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝ ∠B ，
∵AB∥CD，
∴ CD ∥EF，
∴∠FED＝ ∠D ，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线a∥b，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数，（温馨提示：过点E作EF∥AB）
【答案】（1）∠B，CD，∠D；
（2）∠BED＝55°．
【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D，
故答案为：∠B，CD，∠D；
（2）解：如图乙，过点E作EF∥AB，
∴∠BEF＝∠ABE，
∵a∥b，即AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠DEF＝∠CDE，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，
又∵∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝25°，∠CDE＝30°，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝25°+30°＝55°．
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
典例分析
【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE．
（1）如图1，求证AB∥CD；
（2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度数．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）∠BED＝2∠BFP，理由见解答过程；
（3）120°．
【解答】（1）证明：延长CD交BE于点H，
∴∠CDE＝∠DHE+∠BED，
∵∠ABE+∠BED＝∠CDE，
∴∠DHE＝∠ABE，
∴AB∥CD，
（2）解：∠BFP，∠BED的数量关系是：∠BED＝2∠BFP，理由如下：
设∠EBF＝α，∠CDP＝β，
∵BF平分∠ABE，∠CDP＝∠EDP，
∴∠EBF＝∠ABF＝α，∠CDP＝∠EDP＝β，
∴∠PBE＝2∠EBF＝2α，
由（1）可知：AB∥CD，
∴∠DPB＝∠CDP＝β，
∴∠APD＝180°﹣∠∠DPB＝180°﹣β，
∵∠APD＝∠ABF+∠BFP，
∴180°﹣β＝α+∠BFP，
∴∠BFP＝180°﹣（α+β），
由四边形的内角和等于360°得：∠BED+∠EDP+∠DPB+∠PBE＝360°，
即：∠BED+β+β+2α＝360°，
∴∠BED＝360°﹣2（α+β），
∴∠BED＝2∠BFP．
（3）解：设∠APQ＝θ，
∴∠DPQ＝2∠APQ＝2θ，
∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝3θ，
由（1）可知：AB∥CD，
∴∠CDP+∠APD＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠APD＝180°﹣3θ，
∵∠PQD＝80°，
∴∠EDP＝∠PQD+∠DPQ＝80°+2θ，
∵∠CDP＝∠EDP，
∴180°﹣3θ＝80°+2θ，
解得：θ＝20°，
∴∠CDP＝180°﹣3θ＝120°，∠EDP＝80°+2θ＝120°，
根据周角的定义得：∠CDE+∠CDP+∠EDP＝360°，
∴∠CDE＝360°﹣（∠CDP+∠EDP）＝360°﹣（120°+120°）＝120°．
【变式3-1】已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．
【答案】（1）详见解析；
（2）103°．
【解答】（1）证明：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴DC∥EF，
∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠C+∠B＝∠BEC＝180°，
即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）解：∵FB∥CE，
∴∠FBE＝∠BEC＝26°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，
由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，
∵CG平分∠ECD，
∴∠DCG＝77°，
过点F作FN∥AB，如图：
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，
∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°．
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
典例分析
【典例4】（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ MN ∥CD
∵MN∥AB，
∴∠ A ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝ DGM （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．
【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等；
（2）∠AGD＝∠A﹣∠D．理由见解析；
（3）42°．
【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等．
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D．
（3）如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH＝∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH＝∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH＝44°，∠DHP＝22°，
∴∠CDG＝66°，∠AHP＝54°，
∴∠DGM＝66°，∠BAH＝54°，
∵AH平分∠GAE，
∴∠BAG＝2∠BAH＝108°，
∴∠AGM＝108°，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝42°．
【变式4-1】（2022秋•肃州区校级期末）如图（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解：如图（1），过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°（已知）
∴∠2＝180°﹣130°＝50°
∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°
即∠EPF＝90°
【探究】如图（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
【应用】如图（3），在【探究】的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
【答案】[探究]70°；
[应用]35°．
【解答】[探究]如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG＝AEP＝25°，∠GFC＝PFC＝60°，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EGF＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．
【变式4-2】（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝ ∠A+∠B ．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．
【答案】（1）∠APB＝∠A+∠B；
（2）发生变化，∠APB＝∠B﹣∠A，证明见解答过程．
【解答】解：（1）∵记过点P作l1的平行线为PC，
∵PC∥l1，
∴∠A＝∠APC，
∵l1∥l2，
∴PC∥l2，
∴∠B＝∠BPC，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，
故答案为：∠APB＝∠A+∠B；
（2）发生变化，
如图，过点PF∥AC，则∠APF＝∠A，
∵AC∥BD，
∴PF∥BD，
∴∠B＝∠BPF，
∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．
【变式4-3】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．
解：过点C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【问题解决】
（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论： ∠BCD＝∠B﹣∠D ；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
【答案】∠BCD＝∠B﹣∠D，∠BCD＝∠D﹣∠B
【解答】解（1）过C作CF∥ED，
∵AB∥ED，
∴AB∥CF，
∴∠B＝∠BCF，
∠D＝∠DCF，
∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF，
∴∠BCD＝∠B﹣∠D，
故答案为：∠BCD＝∠B﹣∠D．
（2）过点C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D，
∵∠BCD＝∠DCF﹣BCF，
∴∠BCD＝∠D﹣∠B．
1.（2023春•建昌县期末）如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：设BC与PQ交于点F，AB与PQ交于点G，AB与MN交于点H，延长AC交PQ于点E，
∵MN∥PQ，
∴∠3＝∠AEG，
∵∠1≠∠AEG，
∴∠3≠∠1，
故①不正确；
根据对顶角相等可得：∠2＝∠3，
故②正确；
∵∠ACB是△CEF的一个外角，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠AEB+∠1＝90°，
∵∠AEB＝∠3，
∴∠3+∠1＝90°，
故③正确；
∵∠A＝30°，∠3＝60°，
∴∠AHM＝180°﹣∠A﹣∠3＝90°，
∵MN∥PQ，
∴∠AHM＝∠AGP＝90°，
∴AB⊥PQ，
故④正确；
所以，上列结论中，其中正确结论的个数是3个，
故选：C．
2．（2023春•芜湖期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
【答案】C
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，
而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，
∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．
故选：C．
3．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】D
【解答】解：过含30°角的直角三角板的直角顶点B作BF∥l1，交AC于点F，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．
∵∠1＝∠A+∠ADE，
∴∠ADE＝60°．
∵BF∥l1，
∴∠ABF＝∠ADE＝60°，
∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°．
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠BGH+∠FBG＝180°，
∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°，
∴∠2＝∠BGH＝150°．
故选：D．
4．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【答案】A
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
5．（2021春•椒江区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，则∠AEC等于（ ）度．
A．90﹣+mB．90﹣﹣C．90﹣D．90﹣+
【答案】D
【解答】解：如图，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，EM∥AB，
∴AB∥EM∥CD，
∴∠BAE＝∠AEM，∠MEC＝∠ECD，∠FBC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠FBC＝180°﹣n°，
∵∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，
∴∠BAE＝∠BAD＝m°，∠ECD＝∠BCD＝（180°﹣n°），
∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝∠BAE+∠ECD＝m°+（180°﹣n°）＝90°+m°﹣n°，
故选：D．
6．（2023春•赫山区期末）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数；
【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系．
【答案】（1）∠APC的度数为110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由见解答；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE＝180°﹣∠C＝65°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝45°+65°＝110°，
∴∠APC的度数为110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由：过P作PE∥AD交CD于E，
∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）分两种情况：
当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α，
理由：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
理由：如图4，过P作PE∥AD交OD于E，
∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β，
综上所述，∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．
7．（2022春•良庆区校级期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ∠A+∠C＝90° ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＝∠CFD，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【答案】（1）∠A+∠C＝90°；（2）见解答；（3）105°．
【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，
过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，
过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
8．（2021秋•平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）5或．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，
∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG﹣∠F＝45°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴CF平分∠BCD；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．
综上，的值是5或．
9．（2023春•黑山县期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 30° ，∠EMC的度数为 60° ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由见解答；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由见解答．
【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，
过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，
过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
10．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 45° ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
【答案】（1）①45°；②120°；
（2）∠OEA+2∠PFC＝160°．
【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，
∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；
∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，
∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，
故答案为：45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，
∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．
理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，
∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∴∠OEA+∠OFC＝80°，
∴∠OEA+2∠PFC＝160°．
11．（2023春•孝义市期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含45°的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线m∥n，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°．
（1）如图1，若∠2＝65°，则∠1＝ 20° ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2，调整三角板的位置，当三角板ABC的直角顶点C在直线n上，直线m与AB，AC相交时，他们得出的结论是：∠1﹣∠2＝135°，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位置，当点C不在直线n上，直线m与AC，BC相交时，∠1与∠2有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
【答案】（1）20°；
（2）正确，理由见解析；
（3））∠1+∠2＝90°，理由见解析．
【解答】解：（1）∵直线m∥n，
∴∠1+∠ABC＝∠2＝65°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠1＝20°，
故答案为：20°；
（2）正确，理由如下：
如图所示：过点B作BD∥m，
∴∠1+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣∠1，
∵m∥n，
∴BD∥n，
∴∠CBD＝∠2，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝45°
∴180°﹣∠1+∠2＝45°，
∴∠1﹣∠2＝135°；
（3）∠1+∠2＝90°，理由如下：
如图所示，过点C作EF∥m，
∴∠1＝∠ACE，∠2＝∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
12．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB∥CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，连接MP，MN，PN．
（1）如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN＝∠MPN；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度数；
（3）如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）说明见解析；
（2）40°；
（3）2∠PQN＝∠PMN，理由见解析．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠APM＝∠PMN．
∵PM平分∠APN，
∴∠APM＝∠MPN，
∴∠PMN＝∠MPN；
（2）如图，过点M作ME∥CD，
∴∠EMN＝∠MNC＝30°，
∵AB∥CD，ME∥CD，
∴ME∥AB，
∴∠APM＝∠PME，
∴∠PMN＝∠PME+∠EMN＝∠APM+∠MNC，
∵∠PMN＝70°，
∴∠APM＝∠PMN﹣∠MNC＝70°﹣30°＝40°；
（3）2∠PQN＝∠PMN，理由如下：
由（2）可知∠PMN＝∠APM+∠MNC，
同理可得：∠PQN＝∠APQ+∠QNC，
∵PQ和NQ分别是∠APM和∠MNC的平分线，
∴，
∴∠PQN＝∠APQ+∠QNC，
＝，
∴2∠PQN＝∠PMN．
12．（2023春•甘井子区期末）如图1，点M在射线BA，CD之间，0°＜∠ABM＜30°，连接BM，过点M作ME⊥BM交射线CD于点E，且∠MED﹣∠B＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）过点C作∠ECN＝∠B，交直线ME于点N，先按要求画图，再解决下列问题．
①当CN在CD上方，满足∠CNE＝5∠B时，在图2中画图，求∠B的度数；
②作∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F，请直接写出∠MKC与∠MFC之间的数量关系 ＝45． ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①18°；
②＝45．
【解答】解：（1）如图所示：
过点M作MN∥AB，
∴∠B＝∠BMN，
∵ME⊥BM，
∴∠BMN+∠NME＝90°，
∴∠NME＝90°﹣∠BMN，
∵∠MED﹣∠B＝90°，
∴∠MED＝90°+∠B，
∴∠NME+∠MED＝90°﹣∠BMN+90°+∠B＝180°，
∴MN∥CD，
∴AB∥CD；
（2）①当CN在CD上方，如图所示：过点M作MN∥AB，
设∠B＝x，则∠CNE＝5∠B＝5x，∠ECN＝∠B＝x，
∵MN∥AB，
∴∠BMH＝∠B＝x，
∵∠MED＝∠ECN+∠CNE，
∴∠MED＝6x，
由（1）得AB∥CD
∴MH∥CD，
∴∠HME+∠MED＝180°，
∴∠HME＝180°﹣∠MED＝180°﹣6x，
∵ME⊥BM，
∴∠BMH+∠HME＝90°，
∴x+180°﹣6x＝90°，
5x＝90°，
x＝18°，即∠B＝18°；
②如图所示：
设∠B＝x，则∠ECN＝∠B＝x，
∵ME⊥BM，
∴∠BME＝90°，
∵∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F
∴∠FCE＝∠ECN＝，∠BMK＝∠EMH＝
∵MH∥AB，
∴∠BMH＝∠B＝x，
∴∠HMK＝∠BMK﹣∠BMH＝45°﹣x°，
由（1）得AB∥CD
∴MH∥CD，
∴∠HMK＝∠MKC，
∵∠MFC＝∠MKC+∠FCE＝＝45．
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
·
“骨折”模型
平行线的性质和判定是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单的逻辑推理的素材。它不但为三角形的内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也是今后学习三角形、四边形知识的基础.本节课重点学习平行线的基础模型的应用迁移.
模型分类
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
典例分析
【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．
（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．
【变式1-1】（2023•渝中区校级模拟）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．50°C．130°D．140°
【变式1-2】（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．125°
【变式1-3】（2022春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC＝（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
【变式1-4】（2023春•巴南区月考）已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN和PO之间．
（1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在直线PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝∠CAB；
（3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出∠AFB的度数．
【变式1-5】（2023春•遂宁期末）如图，直线PQ∥MN，两个三角形如图①放置，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数；
（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒，当t＝10时，边BG与CD有何位置关系？请说明理由．
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
典例分析
【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．
（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系；
（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．
【变式2-1】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44°B．34°C．24°D．14°
【变式2-2】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44°B．34°C．24°D．14°
【变式2-3】（2023•海南模拟）如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【变式2-4】（2023春•覃塘区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-5】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；
【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；
【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝ 25 度．
【变式2-6】（2023春•邵阳期末）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；
（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；
（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．
【变式2-7】（2023春•防城港期末）阅读下面材料：
（1）小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为直线AB，CD之间一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝ ∠B ，
∵AB∥CD，
∴ CD ∥EF，
∴∠FED＝ ∠D ，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线a∥b，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数，（温馨提示：过点E作EF∥AB）
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
典例分析
【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE．
（1）如图1，求证AB∥CD；
（2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度数．
【变式3-1】已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
典例分析
【典例4】（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ ∥CD
∵MN∥AB，
∴∠ ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝ （ ）
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．
【变式4-1】（2022秋•肃州区校级期末）如图（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解：如图（1），过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°（已知）
∴∠2＝180°﹣130°＝50°
∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°
即∠EPF＝90°
【探究】如图（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
【应用】如图（3），在【探究】的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
【变式4-2】（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝ ．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．
【变式4-3】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．
解：过点C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【问题解决】
通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论： ；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
1.（2023春•建昌县期末）如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023春•芜湖期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
3．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
4．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
5．（2021春•椒江区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，则∠AEC等于（ ）度．
A．90﹣+mB．90﹣﹣C．90﹣D．90﹣+
6．（2023春•赫山区期末）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数；
【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系．
7．（2022春•良庆区校级期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＝∠CFD，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
8．（2021秋•平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
9．（2023春•黑山县期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
10．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
11．（2023春•孝义市期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含45°的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线m∥n，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°．
（1）如图1，若∠2＝65°，则∠1＝ ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2，调整三角板的位置，当三角板ABC的直角顶点C在直线n上，直线m与AB，AC相交时，他们得出的结论是：∠1﹣∠2＝135°，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位置，当点C不在直线n上，直线m与AC，BC相交时，∠1与∠2有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
12．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB∥CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，连接MP，MN，PN．
（1）如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN＝∠MPN；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度数；
（3）如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并说明理由．
12．（2023春•甘井子区期末）如图1，点M在射线BA，CD之间，0°＜∠ABM＜30°，连接BM，过点M作ME⊥BM交射线CD于点E，且∠MED﹣∠B＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）过点C作∠ECN＝∠B，交直线ME于点N，先按要求画图，再解决下列问题．
①当CN在CD上方，满足∠CNE＝5∠B时，在图2中画图，求∠B的度数；
②作∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F，请直接写出∠MKC与∠MFC之间的数量关系 ．
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
·
“骨折”模型
专题01 平行线的四大模型
专题分析
平行线的性质和判定是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单的逻辑推理的素材。它不但为三角形的内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也是今后学习三角形、四边形知识的基础.本节课重点学习平行线的基础模型的应用迁移.
模型分类
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
典例分析
【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．
（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．
【答案】（1）（2）证明见解析；
（3）95°．
【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠EHG，
∵∠EHG＝∠D+∠AED，
∴∠A＝∠D+∠AED，
∴∠A﹣∠D＝∠AED；
（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAB＝，
∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，
∴x+25°＝∠EDI+25°，
∴∠EDI＝x，
∵∠EDI＝∠CDE，
∴∠CDI＝，
∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，
∴，
解得：x＝60°，
∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I
＝180°﹣60°﹣25°
＝95°．
【变式1-1】（2023•渝中区校级模拟）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．50°C．130°D．140°
【答案】B
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3+90°＝180°，∠1＝40°，
∴∠3＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝50°，
故选：B．
【变式1-2】（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．125°
【答案】A
【解答】解：解法一：如图，过点B作DE∥a，
∴∠DBA＝∠1＝45°，
∵a∥b，DE∥a，
∴DE∥b，
∴∠2+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°．
解法二：如图，延长AB交b于点F，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝45°，
∵∠2＝125°，
∵∠2＝∠3+∠CBF，
∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°．
故选：A．
【变式1-3】（2022春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC＝（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
【答案】C
【解答】解：∵过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1+∠B＝180°，∠2+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，∠B＝120°，
∴∠1＝60°，∠2＝70°，
∴∠BEC＝∠1+∠2＝130°．
故选：C．
【变式1-4】（2023春•巴南区月考）已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN和PO之间．
（1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在直线PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝∠CAB；
（3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出∠AFB的度数．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）115°．
【解答】（1）证明：过点A作AH∥MN，如图：
∴AH∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠CAH，∠PBA＝∠BAH，
∴∠CAB＝∠CAH+∠BAH＝∠MCA+∠PBA，
∴：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA．
（2）证明：∵∠MCA＝∠DCE．
∴∠ACD＝∠MCE，
∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠MCE，＝∠ECN，
∴∠ECN＝∠CAB．
（3）解：∵AF∥CG．
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝50°，
∴∠GCA+∠CAB+∠FAC＝180°，
∴∠FAB＝130°﹣∠GCA，
∵BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝50°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝65°，
∵∠ABF+∠AFB+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠FAB
＝180°﹣（130°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝50°+∠GCA﹣∠ABF
＝50°+65°＝115°．
∴∠AFB＝115°．
【变式1-5】（2023春•遂宁期末）如图，直线PQ∥MN，两个三角形如图①放置，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数；
（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒，当t＝10时，边BG与CD有何位置关系？请说明理由．
【答案】（1）60°；
（2）BG∥CD，理由见解析．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝75°，
∵PQ∥MN，
∴∠ECN+∠CEQ＝180°，
∴∠CEQ＝105°，
∵∠DEC＝45°，
∴∠DEQ＝∠CEQ﹣∠DEC＝60°；
（2）BG∥CD，理由如下：
当t＝10时，BC转动了3×10°＝30°，即∠CBG＝30°，
由（1）可知∠ECN＝75°，∠DCE＝45°，
∴∠DCN＝∠ECN﹣∠DCE＝30°，
∴∠CBG＝∠DCN，
∴BG∥CD．
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
典例分析
【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．
（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系；
（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．
【答案】（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由见解答；
（2）（1）中三者关系不成立，理由见解答．
【解答】解：（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，
理由：过点G作GM∥AB，
∴∠GEB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴CD∥GM，
∴∠GFD＝∠FGM，
∵∠EGF＝∠EGM+∠FGM，
∴∠EGF＝∠GEB+∠GFD；
（2）（1）中三者关系不成立，
理由：过点G作GN∥AB，
∴∠GEB+∠EGN＝180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥GN，
∴∠GFD+∠FGN＝180°，
∴∠GEB+∠EGN+∠FGN+∠GFD＝360°，
即∠GEB+∠EGF+∠GFD＝360°．
【变式2-1】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44°B．34°C．24°D．14°
【答案】B
【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°，
所以∠DKF＝∠BEF＝64°．
又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，
所以∠F＝30°．
所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．
又∠GHC＝∠KHF，
所以∠GHC＝34°．
故选：B．
【变式2-2】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44°B．34°C．24°D．14°
【答案】B
【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°，
所以∠DKF＝∠BEF＝64°．
又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，
所以∠F＝30°．
所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．
又∠GHC＝∠KHF，
所以∠GHC＝34°．
故选：B．
【变式2-3】（2023•海南模拟）如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【答案】B
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF；
∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．
故选：B．
【变式2-4】（2023春•覃塘区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③错误；
④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，
∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，
75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④错误．
综上所述，正确的有2个．
故选：B．
【变式2-5】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；
【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；
【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝ 25 度．
【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D，理由见解答；
（2）∠BEG+∠GFD的度数为83°；
（3）25．
【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D，
理由：过点E作EP∥AB，
∴∠B＝∠BEP，
∵AB∥CD，
∴CD∥EP，
∴∠D＝∠DEP，
∵∠BED＝∠BEP+∠DEP，
∴∠BED＝∠B+∠D；
（2）过点G作GM∥AB，
由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGM，
∵AB∥CD，
∴GM∥CD，
由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGM，
∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°，
∴∠BEG+∠GFD＝∠B+EGM+∠D+∠FGM
＝∠B+∠D+∠EGF
＝23°+25°+35°
＝83°，
∴∠BEG+∠GFD的度数为83°；
（3）如图：
∵∠B＝60°，∠F＝85°，
∴∠BNF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°，
∴∠ANE＝∠BNF＝35°，
∵AB∥CD，
∴由（1）可得：∠DEN＝∠ANE+∠D，
∴∠D＝∠DEN﹣∠ANE＝60°﹣35°＝25°，
故答案为：25．
【变式2-6】（2023春•邵阳期末）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；
（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；
（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．
【答案】（1）∠MPD的度数25°；
（2）是定值，＝；
（3）是定值，＝．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠MNB＝45°，
∴∠DMP＝180°﹣∠MNB＝135°，
∵∠MDP＝20°，
∴∠MPD＝180°﹣∠DMP﹣∠MDP＝25°，
∴∠MPD的度数为25°；
（2）是定值，
理由：过点P作PG∥CD，
∴∠CDP＝∠DPG，
∵CD∥AB，
∴PG∥AB，
∴∠ABP＝∠BPG，
∵∠DPB＝∠DPG+∠BPG，
∴∠DPB＝∠CDP+∠ABP，
同理可得：∠Q＝∠CDQ+∠ABQ，
∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，
∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，
∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ
＝∠CDP+∠ABP
＝（∠CDP+∠ABP）
＝∠DPB，
∴＝；
（3）是定值，
理由：过点P作PG∥CD，
∴∠CDP＝∠DPG，
∵CD∥AB，
∴PG∥AB，
∴∠ABP＝∠BPG，
∵∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG，
∴∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，
同理可得：∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ，
∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，
∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，
∴∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ
＝∠ABP﹣∠CDP
＝（∠ABP﹣∠CDP）
＝∠DPB，
∴＝．
【变式2-7】（2023春•防城港期末）阅读下面材料：
（1）小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为直线AB，CD之间一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝ ∠B ，
∵AB∥CD，
∴ CD ∥EF，
∴∠FED＝ ∠D ，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线a∥b，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数，（温馨提示：过点E作EF∥AB）
【答案】（1）∠B，CD，∠D；
（2）∠BED＝55°．
【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D，
故答案为：∠B，CD，∠D；
（2）解：如图乙，过点E作EF∥AB，
∴∠BEF＝∠ABE，
∵a∥b，即AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠DEF＝∠CDE，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，
又∵∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝25°，∠CDE＝30°，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝25°+30°＝55°．
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
典例分析
【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE．
（1）如图1，求证AB∥CD；
（2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度数．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）∠BED＝2∠BFP，理由见解答过程；
（3）120°．
【解答】（1）证明：延长CD交BE于点H，
∴∠CDE＝∠DHE+∠BED，
∵∠ABE+∠BED＝∠CDE，
∴∠DHE＝∠ABE，
∴AB∥CD，
（2）解：∠BFP，∠BED的数量关系是：∠BED＝2∠BFP，理由如下：
设∠EBF＝α，∠CDP＝β，
∵BF平分∠ABE，∠CDP＝∠EDP，
∴∠EBF＝∠ABF＝α，∠CDP＝∠EDP＝β，
∴∠PBE＝2∠EBF＝2α，
由（1）可知：AB∥CD，
∴∠DPB＝∠CDP＝β，
∴∠APD＝180°﹣∠∠DPB＝180°﹣β，
∵∠APD＝∠ABF+∠BFP，
∴180°﹣β＝α+∠BFP，
∴∠BFP＝180°﹣（α+β），
由四边形的内角和等于360°得：∠BED+∠EDP+∠DPB+∠PBE＝360°，
即：∠BED+β+β+2α＝360°，
∴∠BED＝360°﹣2（α+β），
∴∠BED＝2∠BFP．
（3）解：设∠APQ＝θ，
∴∠DPQ＝2∠APQ＝2θ，
∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝3θ，
由（1）可知：AB∥CD，
∴∠CDP+∠APD＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠APD＝180°﹣3θ，
∵∠PQD＝80°，
∴∠EDP＝∠PQD+∠DPQ＝80°+2θ，
∵∠CDP＝∠EDP，
∴180°﹣3θ＝80°+2θ，
解得：θ＝20°，
∴∠CDP＝180°﹣3θ＝120°，∠EDP＝80°+2θ＝120°，
根据周角的定义得：∠CDE+∠CDP+∠EDP＝360°，
∴∠CDE＝360°﹣（∠CDP+∠EDP）＝360°﹣（120°+120°）＝120°．
【变式3-1】已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．
【答案】（1）详见解析；
（2）103°．
【解答】（1）证明：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴DC∥EF，
∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠C+∠B＝∠BEC＝180°，
即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）解：∵FB∥CE，
∴∠FBE＝∠BEC＝26°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，
由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，
∵CG平分∠ECD，
∴∠DCG＝77°，
过点F作FN∥AB，如图：
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，
∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°．
模型分析
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
典例分析
【典例4】（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ MN ∥CD
∵MN∥AB，
∴∠ A ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝ DGM （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．
【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等；
（2）∠AGD＝∠A﹣∠D．理由见解析；
（3）42°．
【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等．
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D．
（3）如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH＝∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH＝∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH＝44°，∠DHP＝22°，
∴∠CDG＝66°，∠AHP＝54°，
∴∠DGM＝66°，∠BAH＝54°，
∵AH平分∠GAE，
∴∠BAG＝2∠BAH＝108°，
∴∠AGM＝108°，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝42°．
【变式4-1】（2022秋•肃州区校级期末）如图（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解：如图（1），过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°（已知）
∴∠2＝180°﹣130°＝50°
∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°
即∠EPF＝90°
【探究】如图（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
【应用】如图（3），在【探究】的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
【答案】[探究]70°；
[应用]35°．
【解答】[探究]如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG＝AEP＝25°，∠GFC＝PFC＝60°，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EGF＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．
【变式4-2】（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝ ∠A+∠B ．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．
【答案】（1）∠APB＝∠A+∠B；
（2）发生变化，∠APB＝∠B﹣∠A，证明见解答过程．
【解答】解：（1）∵记过点P作l1的平行线为PC，
∵PC∥l1，
∴∠A＝∠APC，
∵l1∥l2，
∴PC∥l2，
∴∠B＝∠BPC，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，
故答案为：∠APB＝∠A+∠B；
（2）发生变化，
如图，过点PF∥AC，则∠APF＝∠A，
∵AC∥BD，
∴PF∥BD，
∴∠B＝∠BPF，
∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．
【变式4-3】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．
解：过点C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【问题解决】
（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论： ∠BCD＝∠B﹣∠D ；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
【答案】∠BCD＝∠B﹣∠D，∠BCD＝∠D﹣∠B
【解答】解（1）过C作CF∥ED，
∵AB∥ED，
∴AB∥CF，
∴∠B＝∠BCF，
∠D＝∠DCF，
∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF，
∴∠BCD＝∠B﹣∠D，
故答案为：∠BCD＝∠B﹣∠D．
（2）过点C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D，
∵∠BCD＝∠DCF﹣BCF，
∴∠BCD＝∠D﹣∠B．
1.（2023春•建昌县期末）如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：设BC与PQ交于点F，AB与PQ交于点G，AB与MN交于点H，延长AC交PQ于点E，
∵MN∥PQ，
∴∠3＝∠AEG，
∵∠1≠∠AEG，
∴∠3≠∠1，
故①不正确；
根据对顶角相等可得：∠2＝∠3，
故②正确；
∵∠ACB是△CEF的一个外角，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠AEB+∠1＝90°，
∵∠AEB＝∠3，
∴∠3+∠1＝90°，
故③正确；
∵∠A＝30°，∠3＝60°，
∴∠AHM＝180°﹣∠A﹣∠3＝90°，
∵MN∥PQ，
∴∠AHM＝∠AGP＝90°，
∴AB⊥PQ，
故④正确；
所以，上列结论中，其中正确结论的个数是3个，
故选：C．
2．（2023春•芜湖期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
【答案】C
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，
而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，
∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．
故选：C．
3．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】D
【解答】解：过含30°角的直角三角板的直角顶点B作BF∥l1，交AC于点F，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．
∵∠1＝∠A+∠ADE，
∴∠ADE＝60°．
∵BF∥l1，
∴∠ABF＝∠ADE＝60°，
∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°．
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠BGH+∠FBG＝180°，
∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°，
∴∠2＝∠BGH＝150°．
故选：D．
4．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【答案】A
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
5．（2021春•椒江区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，则∠AEC等于（ ）度．
A．90﹣+mB．90﹣﹣C．90﹣D．90﹣+
【答案】D
【解答】解：如图，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，EM∥AB，
∴AB∥EM∥CD，
∴∠BAE＝∠AEM，∠MEC＝∠ECD，∠FBC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠FBC＝180°﹣n°，
∵∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，
∴∠BAE＝∠BAD＝m°，∠ECD＝∠BCD＝（180°﹣n°），
∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝∠BAE+∠ECD＝m°+（180°﹣n°）＝90°+m°﹣n°，
故选：D．
6．（2023春•赫山区期末）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数；
【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系．
【答案】（1）∠APC的度数为110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由见解答；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE＝180°﹣∠C＝65°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝45°+65°＝110°，
∴∠APC的度数为110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由：过P作PE∥AD交CD于E，
∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）分两种情况：
当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α，
理由：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
理由：如图4，过P作PE∥AD交OD于E，
∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β，
综上所述，∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．
7．（2022春•良庆区校级期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ∠A+∠C＝90° ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＝∠CFD，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【答案】（1）∠A+∠C＝90°；（2）见解答；（3）105°．
【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，
过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，
过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
8．（2021秋•平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）5或．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，
∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG﹣∠F＝45°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴CF平分∠BCD；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．
综上，的值是5或．
9．（2023春•黑山县期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 30° ，∠EMC的度数为 60° ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由见解答；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由见解答．
【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，
过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，
过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
10．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 45° ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
【答案】（1）①45°；②120°；
（2）∠OEA+2∠PFC＝160°．
【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，
∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；
∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，
∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，
故答案为：45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，
∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．
理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，
∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∴∠OEA+∠OFC＝80°，
∴∠OEA+2∠PFC＝160°．
11．（2023春•孝义市期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含45°的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线m∥n，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°．
（1）如图1，若∠2＝65°，则∠1＝ 20° ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2，调整三角板的位置，当三角板ABC的直角顶点C在直线n上，直线m与AB，AC相交时，他们得出的结论是：∠1﹣∠2＝135°，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位置，当点C不在直线n上，直线m与AC，BC相交时，∠1与∠2有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
【答案】（1）20°；
（2）正确，理由见解析；
（3））∠1+∠2＝90°，理由见解析．
【解答】解：（1）∵直线m∥n，
∴∠1+∠ABC＝∠2＝65°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠1＝20°，
故答案为：20°；
（2）正确，理由如下：
如图所示：过点B作BD∥m，
∴∠1+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣∠1，
∵m∥n，
∴BD∥n，
∴∠CBD＝∠2，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝45°
∴180°﹣∠1+∠2＝45°，
∴∠1﹣∠2＝135°；
（3）∠1+∠2＝90°，理由如下：
如图所示，过点C作EF∥m，
∴∠1＝∠ACE，∠2＝∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
12．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB∥CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，连接MP，MN，PN．
（1）如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN＝∠MPN；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度数；
（3）如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）说明见解析；
（2）40°；
（3）2∠PQN＝∠PMN，理由见解析．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠APM＝∠PMN．
∵PM平分∠APN，
∴∠APM＝∠MPN，
∴∠PMN＝∠MPN；
（2）如图，过点M作ME∥CD，
∴∠EMN＝∠MNC＝30°，
∵AB∥CD，ME∥CD，
∴ME∥AB，
∴∠APM＝∠PME，
∴∠PMN＝∠PME+∠EMN＝∠APM+∠MNC，
∵∠PMN＝70°，
∴∠APM＝∠PMN﹣∠MNC＝70°﹣30°＝40°；
（3）2∠PQN＝∠PMN，理由如下：
由（2）可知∠PMN＝∠APM+∠MNC，
同理可得：∠PQN＝∠APQ+∠QNC，
∵PQ和NQ分别是∠APM和∠MNC的平分线，
∴，
∴∠PQN＝∠APQ+∠QNC，
＝，
∴2∠PQN＝∠PMN．
12．（2023春•甘井子区期末）如图1，点M在射线BA，CD之间，0°＜∠ABM＜30°，连接BM，过点M作ME⊥BM交射线CD于点E，且∠MED﹣∠B＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）过点C作∠ECN＝∠B，交直线ME于点N，先按要求画图，再解决下列问题．
①当CN在CD上方，满足∠CNE＝5∠B时，在图2中画图，求∠B的度数；
②作∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F，请直接写出∠MKC与∠MFC之间的数量关系 ＝45． ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①18°；
②＝45．
【解答】解：（1）如图所示：
过点M作MN∥AB，
∴∠B＝∠BMN，
∵ME⊥BM，
∴∠BMN+∠NME＝90°，
∴∠NME＝90°﹣∠BMN，
∵∠MED﹣∠B＝90°，
∴∠MED＝90°+∠B，
∴∠NME+∠MED＝90°﹣∠BMN+90°+∠B＝180°，
∴MN∥CD，
∴AB∥CD；
（2）①当CN在CD上方，如图所示：过点M作MN∥AB，
设∠B＝x，则∠CNE＝5∠B＝5x，∠ECN＝∠B＝x，
∵MN∥AB，
∴∠BMH＝∠B＝x，
∵∠MED＝∠ECN+∠CNE，
∴∠MED＝6x，
由（1）得AB∥CD
∴MH∥CD，
∴∠HME+∠MED＝180°，
∴∠HME＝180°﹣∠MED＝180°﹣6x，
∵ME⊥BM，
∴∠BMH+∠HME＝90°，
∴x+180°﹣6x＝90°，
5x＝90°，
x＝18°，即∠B＝18°；
②如图所示：
设∠B＝x，则∠ECN＝∠B＝x，
∵ME⊥BM，
∴∠BME＝90°，
∵∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F
∴∠FCE＝∠ECN＝，∠BMK＝∠EMH＝
∵MH∥AB，
∴∠BMH＝∠B＝x，
∴∠HMK＝∠BMK﹣∠BMH＝45°﹣x°，
由（1）得AB∥CD
∴MH∥CD，
∴∠HMK＝∠MKC，
∵∠MFC＝∠MKC+∠FCE＝＝45．
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
·
“骨折”模型
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