清单05 分式（23个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）-八年级上学期数学期末考点大串讲（人教版）

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【知识清单】
考点一．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
1．（2022秋•肇庆期末）奥密克戎是一种新型冠状病毒，它的直径约为60～140纳米（1纳米＝0.000000001米）．其中“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣11米B．1.4×10﹣7米
C．14×10﹣8米D．0.14×10﹣10米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：140×0.000000001＝0.00000014（米），
则“140纳米”用科学记数法表示为1.4×10﹣7米；
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
考点二．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
2．（2022秋•望城区期末）下列式子中，是分式的是（ ）
A．﹣3xB．C．D．
【分析】由分式的概念即可判断．
【解答】解：﹣3x、、的分母中不含有字母，不是分式；﹣的分母中含有字母，属于分式．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式A和B，如果中分母B含有字母，那么叫分式．
3．（2022秋•高邑县期末）如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的定义“形如，B中含有字母的式子叫分式”逐项判断即可求解．
【解答】解：甲、是分式；
乙、中，π是一个数，故不是分式；
丙、是分式；
丁、，分母不含字母，不是分式．
综上，是分式的有甲、丙，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．
考点三．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
4．（2023秋•崆峒区期末）分式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠﹣2C．x≥0D．x≥﹣2
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
x≠﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
5．（2023秋•喀什市期末）若分式有意义，则x ．
【分析】根据分式有意义的条件可得2x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣1≠0，
解得：x≠，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
考点四．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．（2023春•宣汉县期末）已知分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．±1
【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，再解可得答案．
【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0
解得：x＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，即分子等于零且分母不等于零．
7．（2023秋•崆峒区期末）若分式的值为0，则x的值等于 ．
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意，得
|x|﹣4＝0，且x+4≠0．
解得 x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式是值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
考点五．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
8．（2023春•开江县校级期末）若y＝，则的值为（ ）
A．B．﹣1C．D．
【分析】根据已知可得y﹣x＝2xy，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵y＝，
∴y﹣2xy＝x，
∴y﹣x＝2xy，
∴＝
＝
＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值，根据题目的已知求出y﹣x与xy的关系是解题的关键．
9．（2023春•清苑区期末）如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【分析】把＝3变形得a＝3b，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．
【解答】解：∵＝3，
∴a＝3b，
∴＝＝＝﹣，
∴表示的值的点落在段②，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值，能正确把＝3变形为a＝3b是解此题的关键．
考点六．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
10．（2022秋•剑阁县期末）在分式中，若将x、y都扩大为原来的2倍，则所得分式的值（ ）
A．不变B．是原来的2倍
C．是原来的4倍D．无法确定
【分析】根据分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．
【解答】解：分式中，若将x、y都扩大为原来的2倍，则所得分式的值不变．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，结果不变．
11．（2022秋•海阳市期末）下列各式中，与分式的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把分式的分子、分母同时乘以﹣1即可得出结论．
【解答】解：把分式﹣的分子、分母同时乘以﹣1得，＝．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键．
考点七．约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
12．（2022秋•舒兰市期末）下列约分正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】约去分子、分母的公因式即可得出答案．
【解答】解：A．原式＝＝a+b，此选项正确；
B．原式＝＝﹣1，此选项错误；
C．原式＝＝a+2b，此选项错误；
D．原式＝，此选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
13．（2023春•遂宁期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用题中的新定义判断即可．
【解答】解：A、＝＝，原分式不是最简分式，故原分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；
B、＝＝，原分式不是最简分式，故原分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；
C、是最简分式，且分母可以利用平方差公式进行因式分解，故此分式是“和谐分式”，此选项符合题意；
D、是最简分式，但分子分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题属于新定义题目，考查最简分式，分式的约分，掌握利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行因式分解是解题关键．
考点八．通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
14．（2022秋•澧县期末）分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A．6a（a﹣b）2（a+b）B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b）D．6a（a+b）
【分析】分式的分母a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解．
【解答】解：＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握．
考点九．最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
15．（2022秋•汇川区期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据最简分式的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、是最简分式，故本选项符合题意；
D、，不是最简分式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除了1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．
16．（2023春•连州市期末）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A、原式＝，所以A选项不符合；
B、为最简分式，所以B选项符合；
C、原式＝＝，所以C选项不符合；
D、原式＝＝﹣x+y，所以D选项不符合．
故选：B．
【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
考点十．最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
17．（2022秋•汇川区期末）分式与的最简公分母是（ ）
A．3abcB．a3b3c3C．3a3b2cD．a3b2c
【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里，据此求解即可．
【解答】解：分式与的最简公分母是3a3b2c，
故选：C．
【点评】本题主要考查了求最简公分母，解题的关键是需要掌握最简公分母的定义．
18．（2022秋•江汉区校级期末）下列说法错误的是（ ）
A．当x＝2时，分式无意义
B．当x＞5时，分式的值为正数
C．当分式时，m＝±3
D．分式与的最简公分母是3ab2
【分析】根据分式无意义的条件判断A；根据分式值为正数的条件判断B；根据分式的值为0的条件判断C；根据确定最简公分母的方法判断D．
【解答】解：A、当x＝2时，分式无意义，故本选项说法正确，不符合题意；
B、当x＞5时，分式的值为正数，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当分式时，m＝3，故本选项说法错误，符合题意；
D、分式与的最简公分母是3ab2，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式无意义的条件，分式值为正数的条件，分式的值为0的条件，确定最简公分母的方法，都是基础知识，需熟练掌握．
考点十一．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
19．（2023秋•喀什市期末）化简的结果是（ ）
A．mB．C．﹣mD．﹣
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣•＝﹣m．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2023春•鲤城区校级期中）计算：•的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由原式得到原式＝，然后分子分母都约去ac即可．
【解答】解：原式＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的乘法：•＝．也考查了约分．
考点十二．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
21．（2022秋•冠县期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当c＝﹣3时，B．当c＝0时，
C．当c＜﹣3时，D．当c＜0时，
【分析】将c＝﹣3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c＜﹣3和c＜0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错．
【解答】解：A选项，当c＝﹣3时，分式无意义，故该选项不符合题意；
B选项，当c＝0时，，故该选项不符合题意；
C选项，＝＝；
∵c＜﹣3，
∴3+c＜0，c＜0，
∴3（3+c）＜0，
∴，
∴，故该选项符合题意；
D选项，当c＜0时，
∵3（3+c）的正负无法确定，
∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键．
22．（2022秋•淄川区期末）已知分式化简后的结果在数轴上对应的点位于原点左侧，则x的值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据分式的加减法法则化简，根据化简后的结果在数轴上对应的点位于原点左侧列出不等式求出x的范围即可得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝x﹣5，
∵化简后的结果在数轴上对应的点位于原点左侧，
∴x﹣5＜0，
∴x＜5，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减法，掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减是解题的关键．
考点十三．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
23．（2022秋•韩城市期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝，故A不符合题意．
B、原式＝，故B不符合题意．
C、原式＝＝a+b，故C不符合题意．
D、原式＝＝1，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
24．（2022秋•河北期末）若m≠n，则下列分式化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据约分的要求计算判断即可．
【解答】解：∵是最简分式，无法约分，
∴A错误，不符合题意；
∵是最简分式，无法约分，
∴B错误，不符合题意；
∵是最简分式，无法约分，
∴C错误，不符合题意；
∵，
∴D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，正确寻找公因式是解题的关键．
考点十四．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
25．（2022秋•新市区校级期末）先化简，再求值：，其中a＝5．
【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面同分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当a＝5时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
26．（2023秋•崆峒区期末）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
∵x+3≠0，x﹣1≠0，
∴x≠﹣3，x≠1，
∴当x＝2时，原式＝＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
考点十五．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
27．（2023春•信都区期末）2﹣3的值是（ ）
A．﹣6B．﹣8C．D．﹣
【分析】直接利用负整数指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：2﹣3＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．
28．（2022秋•金湾区期末）计算：（﹣3）﹣2+（﹣）0＝ ．
【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝+1
＝+1
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是零指数幂及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键．
考点十六．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
29．（2023春•皇姑区期末）甲从A地到B地要走m小时，乙从B地到A地要走n小时，若甲、乙二人同时从A、B两地出发，经过几小时相遇（ ）
A．（m+n）小时B．小时C．小时D．小时
【分析】时间＝路程÷甲乙速度之和，题中没有路程，可设路程为1，关键描述语是：甲、乙二人同时从A、B两地出发．
【解答】解：依题意得：1÷（+）＝1÷＝（小时）．故选D．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
30．（2023春•金寨县期末）一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ）
A．小时B．小时
C．小时D．小时
【分析】设工作总量为1，甲乙合作20小时可以完成，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需m小时完成，甲的工效为，则乙的工效为：（），由时间＝工作量÷工效列式．
【解答】解：设工作总量为1，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需m小时完成，甲的工效为，
乙单独完成需要的时间是1÷（）＝1÷＝小时．
故选：A．
【点评】本题考查工作量＝工效×时间这个等量关系，如果没有工作总量，通常把工作总量看成1．
考点十七．分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
31．（2022秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．+＝1B．x+＝2C．2x＝x﹣5D．x﹣4y＝1
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；
C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
考点十八．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
32．（2023秋•南关区期末）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1且m≠﹣1B．m≥﹣1且m≠1C．m＜1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
【分析】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
【解答】解：+1＝，
两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，
移项，合并同类项得：2x＝1﹣m，
系数化为1得：x＝，
∵原分式方程的解为非负数，
∴≥0，且≠1
解得：m≤1且m≠﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x＝是解题的关键．
考点十九．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
33．（2022秋•杨浦区期末）解方程：．
【分析】按步骤解分式方程并检验即可．
【解答】解：1﹣x2+1＝﹣x（1+x），
1﹣x2+1＝﹣x﹣x2，
x＝﹣2．
检验：当x＝﹣2时，1﹣x2≠0，x﹣1≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
考点二十．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
34．（2022秋•青浦区校级期末）解分式方程+＝时，设＝y，则原方程化为关于y的整式方程是 ．
【分析】根据换元法，可得答案．
【解答】解：设＝y，则原方程化为y+﹣＝0
两边都乘以y，得
y2﹣y+1＝0，
故答案为：y2﹣y+1＝0．
【点评】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．
35．（2022秋•华容区期末）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：﹣＝0．
解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，
方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣2．
经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y﹣＝0的解．
当y＝2时，＝2，解得：x＝﹣1；
当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．
经检验：x1＝﹣1或x2＝都是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2＝．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程﹣＝0中，设y＝，则原方程可化为： ；
（2）若在方程﹣＝0中，设y＝，则原方程可化为： ；
（3）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0．
【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；
（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为．
故答案为：；
（2）将代入方程，则原方程可化为．
故答案为：；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解，
当y＝1时，，该方程无解，
当y＝﹣1时，，解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【点评】本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键．
考点二十一．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
36．（2023春•蒲城县期末）若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．2D．﹣
【分析】先求出方程的解，因为方程有增根，所以x﹣2＝0，所以x＝2，根据方程的解等于2，求得a的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得：6﹣（x﹣2）＝﹣ax，
解得：x＝，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴＝2，
解得：a＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，求出方程的解和增根的值是解题的关键．
37．（2023春•榆阳区期末）已知关于x的方程有增根，则a的值为（ ）
A．4B．5C．6D．﹣5
【分析】首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】解：∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
，
x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根产生的原因，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，这是解题的关键．
考点二十二．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
38．（2023秋•蛟河市期末）某化肥厂原计划每天生产化肥x吨，由于采取了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】关键描述语是：实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，等量关系为：原计划生产120吨的时间＝实际生产180吨的时间．
【解答】解：原计划生产120吨的时间为天，实际生产180吨的时间为天．那么所列方程为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．
39．（2023秋•蛟河市期末）小明家离学校2000米，小明平时从家到学校需要用x分钟，今天起床晚，怕迟到，走路速度比平时快5米/分钟，结果比平时少用了2分钟到达学校，则根据题意可列方程 ．
【分析】设小明平时从家到学校需要用x分钟，则实际从家到学校用（x﹣2）分钟，根据走路速度比平时快5米/分钟列出方程即可．
【解答】解：设小明平时从家到学校需要用x分钟，则实际从家到学校用（x﹣2）分钟，
根据题意，得．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
考点二十三．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
40．（2023春•衡山县期末）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（ ）
A．甲乙合作了4天B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的D．甲乙合作了工程的
【分析】根据题意和方程，可知甲干了4天，乙干了x天，从而可以得到③后面应填入的内容，本题得以解决．
【解答】解：∵某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，
∴甲工作了4天，乙工作了x天，
即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，
∴可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天，
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的应用，解答此类题目的关键是明确题意，根据方程可以推测出空白处应填写的内容，注意要联系实际情况．
41．（2023秋•喀什市期末）元旦晚会上，王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡，网上购买贺年卡的优惠条件是：购买50或50张以上享受团购价．王老师发现：零售价与团购价的比是5：4，王老师计算了一下，按计划购买贺年卡只能享受零售价，如果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价，这样她正好花了100元，而且比原计划还节约10元钱；
（1）贺年卡的零售价是多少？
（2）班里有多少学生？
【分析】（1）首先设零售价为5x元，团购价为4x元，由题意可得等量关系：零售价用110元所购买的数量+6＝团购价用100元所购买的数量，根据等量关系列出方程，计算出x的值；
（2）根据（1）中求得的贺年卡的零售价求学生数．
【解答】解：（1）设零售价为5x元，团购价为4x元，则
解得，，
经检验：x＝是原分式方程的解，
5x＝2.5
答：零售价为2.5元；
（2）学生数为﹣6＝38（人）
答：王老师的班级里有38名学生．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程，注意分式方程必须检验．
【核心素养提升】
1逻辑推理——类比分数解分式问题
1．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）观察下列各式：，，，
(1)由此可推测： ______；
(2)依照上述规律，写出的推测过程；
(3)请你猜想出能表示以上式子的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来，并说明理由；
(4)请直接用（3）中的规律计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
(4)0
【分析】本题考查了分式的规律探究，分式的加减运算．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．
（1）根据题意求解即可；
（2）将分解成两个相邻整数的乘积，进而可得结果；
（3）根据题意可推导一般性规律，然后证明即可；
（4）根据题意进行拆分，然后加减运算即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：；
（2）解：由题意知，
；
（3）解：，理由如下：
右边．
．
（4）解：
．
2数学运算
2．（2023上·江苏南京·八年级南京大学附属中学校考期末）（1）已知，求代数式的值；
（2）先化简，然后从的范围内选择一个合适的整数作为a的值代入求值．
【答案】（1）13；
（2）；时，原式（答案不唯一）．
【分析】（1）本题主要考查整式的化简求值，解答本题的关键在于能正确根据乘法公式的运算法则进行化简，将给定的条件适当变形即可求解．
（2）本题主要考查分式的运算，根据分式的运算法则化简，选取合适的整数代入求解即可，解题的关键是熟练运用分式的加减、乘除混合运算，以及完全平方公式的灵活运用．
【详解】解：（1）
，
又∵，
∴．
∴原式
．
（2）
，
∵，
又∵，且，
∴a不能取和2，
∴a只能取整数，0，1．
∴当a=0时，原式==1．(答案不唯一)
3数学建模——构建方程模型，解决实际问题
3．（2022上·湖北咸宁·八年级统考期末）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，∴，即①
∴②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
【拓展延伸】
（3）已知，，，求的值．
【答案】（1），；（2）的值为；（3）的值为
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则及完全平方公式的变形进行解答；
（2）仿照例题计算即可；
（3）将已知三个等式相加，得到，再利用倒数法解答．
【详解】解：（1）第①步由得到逆用了法则：；第②步运用了公式：；
故答案为：；；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了分式的求值，分式加法的逆运算，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键．
【中考热点聚焦】
热点1.分式有意义、无意义和值为0的条件
1．（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．0或1
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
热点2.分式的运算
3．（2023•河北）化简的结果是（ ）
A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6
【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．
【解答】解：x3（）2
＝x3•
＝xy6，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关键．
4．（2023•广东）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减．
【解答】解：
＝
＝．
故本题选：C．
【点评】本题考查同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．解题的关键是类比同分母分数的相加减进行计算即可．
热点3.负整数指数幂及其应用
5．（2023•重庆）计算：2﹣1+30＝ ．
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂计算即可．
【解答】解：2﹣1+30
＝+1
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．
热点4.分式方程中待定字母的取值（范围）
6．（2023•聊城）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1且m≠﹣1B．m≥﹣1且m≠1C．m＜1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
【分析】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
【解答】解：+1＝，
两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，
移项，合并同类项得：2x＝1﹣m，
系数化为1得：x＝，
∵原分式方程的解为非负数，
∴≥0，且≠1
解得：m≤1且m≠﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x＝是解题的关键．
热点5.解分式方程
7．（2023•淮安）方程＝1的解是 ．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：去分母得：
x﹣1＝2x+1，
∴x﹣2x＝1+1，
∴﹣x＝2，
∴x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2是原方程的解，
∴原方程的解为：x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程解答的一般步骤是解题的关键．
热点6.列分式方程解决实际问题
8．（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【分析】（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，根据“A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解；
（2）先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．
【解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，
由题意得：，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，
∴x+10＝90+10＝100，
答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；
（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，
由题意得：，
解得：10≤m≤12，
w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；
∵﹣0.5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，
∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）