压轴真题必刷03 平行线和三角形内角和定理（压轴30题5种题型训练）-八年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）

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题型一：平行线的性质
1．（2022上·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：；；；；．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：平分，
，
，，
，
，
，故正确；
，
，
平分，，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
平分，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，故正确；
由得，，
，
，
，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．
2．（2022下·陕西西安·八年级校考期末）如图，平行四边形中，，，平分，交于E，交于点N，交于点F，作交于点M，则（ ）

A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质以及三角形内角和的性质可得，，求得，再根据，得到，即可求解．
【详解】解：平行四边形中，，
∵平分
∴
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，即
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：D
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
3．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，则下列结论：平分；平分；；．其中正确结论的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质即可证明正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明正确；根据平行线的性质，等角对等边即可证明正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明正确；即可得出答案．
【详解】解：证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平分，正确；
，，
，
平分，正确；
，
，
，
，
，
正确；
，，
点一定在的垂直平分线上，即垂直平分，
，故正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
4．（2021上·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出．
【详解】解：，
故①正确；
∵平分，
∴P到，的距离相等，
∴，
故②正确；
∵，平分，
∴垂直平分 (三线合一)，
故③正确；
∵与的平分线相交于点P，
∴点P到，的距离相等，点P到，的距离相等，
∴点P到，的距离相等，
∴点P也位于的平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
故④正确；
由④得：，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
，
故⑤正确；
综上可知，①②③④⑤正确．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键．
5．（2022下·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴，
∴，即，
∴，
∴AD=BE，
∴①正确，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴ ，
∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，③正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴ ，
即DP=QE，
∵ ，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠DP，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
6．（2019上·江西吉安·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①BD＝DC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AG＝DE．正确的是 （填写序号）
【答案】①②④
【分析】根据等腰三角形的性质与判定、平行线的性质分别对每一项进行分析判断即可．
【详解】解：①∵△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝DC，
故本选项正确，
②∵△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴AE∥BC，
故本选项正确，
③∵AE∥BC，
∴∠E＝∠EDC，
∵ED∥AB，
∴∠B＝∠EDC，∠AGE＝∠BAC，
∴∠B＝∠E，
∵∠B不一定等于∠BAC，
∴∠E不一定等于∠AGE，
∴AE不一定等于AG，
故本选项错误，
④∵ED∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AG＝DG，
∵AE∥BC，
∴∠EAG＝∠C，
∵∠B＝∠E，∠B＝∠C，
∴∠E＝∠C，
∴∠EAG＝∠E，
∴AG＝EG，
∴AG＝DE，
故答案为：①②④
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，用到的知识点是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，关键是熟练地运用有关性质与定理进行推理判断．
题型二：平行线判定和性质的综合
7．（2023上·河北邢台·八年级统考期末）在中，延长到D，使，点E是下方一点，连接，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接，连接交于G，当时，求的长度；
(3)如图3，若，将沿直线翻折得到，连接，连接交于G，交于H，若，求线段的长度（用含m，n的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件和可得，即可证明；
（2）根据条件和可得，进而得到即可求出；
（3）证明， ，可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∴，由翻折变换的性质，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（1）可知，，
∴，
由翻折变换的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，中，，，点是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，交边于点，连接，过点作平分交边于点，连接．

(1)求证：；
(2)判断与的数量关系并证明；
(3)当时，若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）证即可；
（2）过点作垂直延长线于，先证，再推理证明是等腰直角三角形，即可得到；
（3）再过点作垂直于，根据已知和（1）、（2）中的结论先证是的平分线，得，再推理得到、、和都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边和斜边的关系等量代换算出，最后根据计算即可．
【详解】（1）绕点逆时针旋转得到，平分，
，，
在和中，
，
，
（2）如下图，过点作垂直延长线于

又绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
在和 中
，，
又，
，即
又，
是等腰直角三角形，
（3）如下图，再过点作垂直于

，，，
，、、和都是等腰直角三角形，
又由（1）得，
，
，
，
是的平分线，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
，
，
，
，
，
.
【点睛】本题考查了全等三角形的证明、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，画出图象、推理证明是解题的关键．
9．（2017上·陕西西安·八年级校考期末）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值．
【答案】(1)；见解析
(2)见解析
(3)的大小不会发生变化，其值为，见解析
【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知，进而可证；
（2）利用（1）中平行线的性质推知，然后根据角平分线的定义、三角形内角和定理证得，结合，可证；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得；再由邻补角的定义、角平分线的定义推得，然后由图形中角与角的和差关系求得即可．
【详解】（1）如图1，∵与互补，
∴．
又∵，，
∴，
∴；
（2）如图2，由（1）知，，
∴．
又∵与的角平分线交于点P，
∴，
∴，即．
∵，
∴；
（3）的大小不会发生变化，其值为理，由如下：
∵
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴的大小不会发生变化，其值为．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
10．（2023上·四川达州·八年级统考期末）如图1，，是直线上两点，点在点左侧，过点的直线与过点的直线交于点．直线交直线于点，满足点在线段上，．
(1)求证：；
(2)如图2，点在直线，之间，平分，平分，点，，在同一直线上，且，求的度数；
(3)在（2）的条件下，若点是直线上一点，直线交直线于点，点在点左侧，请直接写出和的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)点在点左侧，和的数量关系是或或
【分析】（1）根据三角形外角性质得到，即可判定；
（2）过点作，则，由角平分线的定义可知，，；由，得，由，可得，对两式进行整理可得结论；
（3）根据点和点的位置不同，分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：证明：，，
，
；
（2）过点作，如图，
则，
由（1）知：，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得；
即的度数为；
（3）在（2）的条件下，若点是直线上一点，直线交直线于点，点在点左侧，和的数量关系是或或，理由如下：
在（2）的条件下，，
若点在的延长线上，
，
，
，
若点在上，
，
，
，
；
若点在的延长线上，
，
，
，
，，
．
综上所述，点在点左侧，和的数量关系是或或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质．解题过程中，注意“数形结合”、“分类讨论”数学思想的运用．
11．（2023下·河北石家庄·七年级石家庄市第二十一中学校考期中）如图1，直线，直线与，分别交于点G，H，．将一个直角三角板按如图1所示放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，已知．
(1)若，则的度数为 ；
(2)若，对说明理由；
(3)如图2，已知的平分线交直线于点O．
①当， 时，求的值；
②现将三角板保持，并沿直线向左平移，在平移的过程中，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①；②的度数为或
【分析】（1）根据平行线的性质，得出，根据，求出结果即可；
（2）根据平行线的性质，得出，结合已知条件得出，最后根据平行线的判定得出结论即可；
（3）①根据， ，得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义，得出，根据， ，根据，得出即可得出答案；
②分两种情况：当N在点G的右侧，当点N在G点的左侧，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①∵， ，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
②当N在点G的右侧时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
当点N在G点的左侧时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
综上分析可知，的度数为或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行公理的应用，解题的关键是数形结合，画出相应的图形，并注意分类讨论．
12．（2018下·湖南张家界·七年级校联考期末）问题情境：
(1)如图1，．求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你接着完成解答
(2)如图3，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，．试判断之间有何数量关系？（提示：过点P作），请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)当P在延长线时，；当P在之间时，．理由见解析
【分析】（1）作出平行的辅助线，根据平行线的性质和判定得到同旁内角互补的关系，直接求解；
（2）作出平行的辅助线，根据平行线的性质和判定得到内错角相等的关系，直接求解；
（3）分类讨论P点的位置，同（1）（2）可证角度的数量关系，直接求解．
【详解】（1）过P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图3，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当P在延长线时，；
如图4，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，
∴；
当P在之间时，．
理由：如图5，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查平行线的性质和判定，解题关键是平行线的判定为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．
题型三：三角形内角和定理
13．（2022上·浙江杭州·八年级翠苑中学校联考期中）如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①；②为等腰三角形；③的周长等于的周长；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF＝∠DFB；②同理可得②的结论；③用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出，进而得，便可得出；的周长不等于的周长；④利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的和之间的关系式．
【详解】解：①∵是的角平分线，
∴，
又，
，
，故①正确；
②同理，
，
为等腰三角形故②正确；
③假设为等边三角形，则，如图，连接，
∵，
，
的周长，
∵F是的平分线的交点，
∴第三条平分线必过其点，即平分，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
即的周长的周长，故③错误；
④在中，（1），
在中，，
即（2），
得，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．尤其是第③小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法．
14．（2022上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（ ）
A．190°B．195°C．200°D．210°
【答案】D
【分析】作于点D，延长BO交CD于点P，连接AP．由题意可求出．由所作辅助线可判断CD为AB的垂直平分线，即得出，从而得出，进而可求出．由图易求出，由三角形外角性质可求出，即．再根据，即得出，从而可证明，即得出AC=AO．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出的值，再根据三角形内角和定理可求出的值，相加即可．
【详解】如图，作于点D，延长BO交CD于点P，连接AP．
由题意可求出，
∵，
∴．
∵，
∴CD为AB的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴AC=AO．
∵，
∴．
∵，
∴
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，综合性强，较难．正确做出辅助线是解题关键．
15．（2020上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE=∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE=90°-∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC=AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB．
【详解】解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE=∠AMF=90°，
∵∠AED=∠MEF，
∴∠DAE=∠F；故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC=∠BAC，
∠DAE=90°-∠AED
=90°-（∠ACE+∠EAC）
=90°-（∠ACE+∠BAC）
=（180°-2∠ACE-∠BAC）
=（∠ABD-∠ACE），
∴2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；
故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC=AB：CA；故③正确，
④∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°，
∴∠AGH=∠MEF，
∵∠MEF=∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH=∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16．（2021上·湖北孝感·八年级校考期末）如图，，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC的延长线于点F，且垂足为E，下面的结论：①AD=BF；②BF=AF；③AC+CD=AB；④AB=BF；⑤AD=2BE．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．②③④D．②④⑤
【答案】B
【分析】根据，，得出，推出，证，根据全等三角形的性质即可判断①②；假如，求出，即可判断③④，证根据全等三角形的判定得出，推出，即可判断⑤．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
，
，
，
，①正确；
，
②错误；
，
，
，
，
，
，
AE平分∠BAC，
，
BF⊥AE，
，
，
，
，
．
③正确；
，，
，
④错误；
由，
，
平分，，
，，
，，
，
⑤正确；
故答案为：①③⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，垂线，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是证此题的关键．
17．（2018下·湖北黄冈·七年级阶段练习）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
18．（2020上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，连AF，则下列结论：①DE＝BD+CE；②∠BFC＝90°+∠ABC；③△ADE的周长为10；④S△ABF：S△ACF：S△BCF＝6：4：5．正确的是（ ）

A．①③④B．①②③C．①②③④D．②③④
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义得出∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，根据平行线的性质得出∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，求出∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，根据等腰三角形的判定得出BD＝DF，CE＝FE，即可判断①；根据角平分线的定义得出∠FBC＝∠ABC，，根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，求出∠FBC+∠FCB＝90°﹣BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝90°+∠BAC，即可判断②；求出DE＝BD+CE，求出△ADE的周长＝AB+AC，即可判断③；过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FQ⊥AC于Q，求出FM＝FN＝FQ，根据三角形的面积即可判断④．
【详解】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，
∴BD＝DF，CE＝FE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故①正确；
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠FBC+∠FCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝90°﹣∠BAC，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）
＝180°﹣（90°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，故②错误；
∵BD＝DF，CE＝FE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴△ADE的周长是
AD+DE+AE
＝AD+BD+AE+CE
＝AB+AC
＝6+4
＝10，故③正确；

过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FQ⊥AC于Q，
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴FM＝FN，FN＝FQ，
∴FM＝FN＝FQ，
设FM＝FN＝FQ＝R，
∵AB＝6，BC＝5，AC＝4，
∵S△ABF：S△ACF：S△BCF
＝（）：（）：（）
＝AB：AC：BC
＝6：4：5，故④正确；
故选：A．
题型四：平分线和三角形内角的综合问题
19．（2023上·福建漳州·八年级统考期末）在中，平分，交于，点在线段上，过点作于平分，交于．

(1)如图，当时，求证：；
(2)当时，直线与直线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由．（要求：画出相应的示意图再作答）
【答案】(1)见解析
(2)或，理由见解析
【分析】（1）如图，，得到，角平分线，得到，进而得到，再根据三角形内角和推出，即可；
（2）分，两种情况，画出图形，讨论求解．
【详解】（1）证明：，
．
平分平分，
．
．
在和中，，
．
，
．

（2）或．
理由：①当时，如图．

，
．
，
．
平分，
．
，
，
平分
．
，
．
．
，
．
．
．
②当时，如图．

，
．
．
，
．
．
，
．
．
．
综上所述，与的数量关系为或．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角．解题的关键是掌握相关性质和定理，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．本题的综合形较强，有一定的难度．
20．（2022下·重庆·七年级重庆一中校考期中）如图，在中，、的平分线交于点D，延长交于E，G、F分别在上，连接，其中，．

(1)当时，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和与角平分线定义可得，再根据外角性质即可求出，据此求解即可；
（2）在线段上取一点，使，连接，证明，得到，利用全等三角形的性质与外角性质得出，，证明，从而得到，即可证明结论．
【详解】（1）解：在中，∵，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在线段上取一点，使，连接，如图所示：

平分，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
为的一个外角，
，
为的一个外角，
，
平分，
，
，
∵，
在和中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确的作辅助线是解决问题的关键．
21．（2019下·江苏扬州·七年级统考期末）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．

(1)如图1，当时，求证：．
(2)若，．
①如图2，当时，求的值．
②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②存在，22.5或45
【分析】（1）由同角的余角相等可得，由折叠的性质可得，从而得到，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）①根据三角形内角和定理分别求出，，根据折叠的性质进行计算即可；②分三种情况：当时；当时；当，分别进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
由翻折可知，，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由翻折可知，；
②∵，
，
当时，即，
解得，
即的值为22.5，
当时，，
解得，
∵，
不合题意，故舍去；
当，，
解得，
综上可知，存在这样的的值，使得中有两个角相等，的值为22.5或45．
【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，是解题的关键．
22．（2022上·山西长治·八年级统考期末）综合与实践
已知和为等边三角形，试解决以下问题：
(1)如图①，当点D在线段上时，连结，求证：．
(2)如图②摆放，连结和，试求和所成锐角的度数．
拓展应用：
(3)如图③，某田地是一个四边形区域，现测得米，米，，，求点B和点D之间的距离．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)60米
【分析】（1）证明，得到，即可得证；
（2）延长交于点P，证明，得到，求出的度数，利用三角形内角和定理，即可得解；
（3）以为一条边，在外作等边，连接，证明，得到，在中，利用勾股定理求出的长，即可得解．
【详解】（1）证明：在等边和等边中，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）延长交于点P，如图：
在等边和等边中，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
即和所成锐角的度数为；
（3）解：以为一条边，在外作等边，连接，如图：
则米，
，
，
是等边三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
在中，由勾股定理，得
（米），
米，
即点B和点D之间的距离为50米．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
23．（2022上·吉林延边·八年级统考期末）已知，和都是等边三角形．
(1)如图1，连接、，求证：．
(2)如图2，若点D、E、C在一条直线上，点D、E在的上方，连接．与是否平行？证明你的结论．
(3)点D在边上，点D、E在边的两侧．过点D作，与直线交于点F，连接．若，则_____度．
【答案】(1)见解析
(2)平行，证明见解析
(3)或
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）证明，，利用8字型图，得到，进而得到，即可得证；
（3）分点在线段和线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：平行，证明如下：
同法（1）可得：，
∴，
设交于点，则：，
∴，
即：，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
，
当点在线段上时，如图
则，
∴；
当点在线段的延长线上时，如图，

则：，
∴；
综上：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形的内角和定理．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
24．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）综合与实践
(1)问题发现：如图1，和均为等腰三角形，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．
①求证：；
②若，则的度数为______．
(2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．
①的度数为______；
②线段、与之间的数量关系为______．
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，，则四边形的面积为______．
【答案】(1)①见解析；②
(2)①；②
(3)6
【分析】（1）①先得出，进而用判断出，即可得出结论；
②根据，得出，求出，根据全等三角形的性质，得出，即可求出结果；
（2）①同（1）的方法，即可得出结论；
②由得出，再判断出，即可得出结论．
（3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；∠ADC=∠BEC，，
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：同（1）的方法得，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：由（2）得：，，
∵为中边上的高，
∴
；
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．
25．（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知中，，，分别平分和．
(1)如图（1），求的度数；
(2)如图（2），延长交于，作交于，作交的延长线于，垂足为，求证：；
(3)如图（3），若，是边所在直线上一点，分别关于，作的对称点，，它们到直线的距离分别记作和．
①若点在边上，直接写出的最大值；
②若点在的延长线上，取十个特殊的点，使十个对应的值依次为，，…，这十个自然数，对应的的值分别记作，，…，．直接写出的和．
【答案】(1)
(2)见解析；
(3)①；
【分析】（1）中，，得出，已知，分别平分和，得到，，推出，结合三角形的内角和定理即可求出的度数；
（2）在上取点，使得，结合已知条件证明，得到，，推出，结合（1）可以得出是等腰直角三角形，，进而得出，根据，得到，推出，证明，即可得到；
（3）①根据题意得：当点为中点时，取得最大值；
②类比①，先求出、的和，找出规律，即可求出的值
【详解】（1）中，
∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）在上取点，使得，
∵平分，
∴
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）；
10
26．（2021上·湖南张家界·八年级统考期末）已知，，为直线上一点，为直线上一点，，设， ，
(1)如图1，若点在线段上，点在线段上，，，则 ； ．
(2)如图2，若点在线段上，点在线段上，则，之间有什么关系式？说明理由．
(3)探究：当点在线段的延长线上，点在线段上，（或在线段的延长线上）时，是否存在不同于（2）中的，之间的关系式？ 若存在，请直接写出这个关系式．
【答案】(1)，；
(2)，理由见解析；
(3)存在，或．
【分析】本题是三角形综合题，主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式．
（1）根据题意利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（2）根据题意利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（3）根据题意分①当点在的延长线上，点在线段上， ②当点在的延长线上，点在的延长线上两种情况，结合等腰三角形性质进行等量替换即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，，
∴，，
在中， ，在中，，
∴．
（3）解：①当点在的延长线上，点在线段上，如图：
设，，
∴，，在中， ，
在中， ，
∴，
②当点在的延长线上，点在的延长线上，如图，同①的方法可得．

27．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）在中，与的平分线相交于点．
(1)如图1，如果，求的度数；
(2)如图1，如果，用含的代数式表示；
(3)探索：如图2，作外角的平分线交于点，试写出之间的数量关系；
(4)拓展：如图3，延长线段交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或或
【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；
（2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可；
（3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；
（4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数．
【详解】（1）解：分别是和的角平分线，，
，
，
；
（2）解：分别是和的角平分线，
，
，
；
（3）解：分别是的角平分线，
，，
，
，，
，
，
，
；
（4）解：是的角平分线，是的角平分线，
，
，
，
，
由（3）知，
，
，
∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，，
都是锐角，
∴分四种情况讨论：
①，
，
，
；
②，
，
；
③，
，
，
，
④，
，
解之得：，
综上可知：的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
28．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图1，在中，，，点D是边上一动点，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接．

(1)求的度数；
(2)连接，若，，求线段的长；
(3)如图2，若，点M为中点，的延长线与交于点P，与交于点N，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质先求得 ，然后证明，则对应角相等即可求得．
（2）利用 求得BE的长，然后利用直角三角形的性质求得的长，最后利用勾股定理求得的长．
（3）利用已知条件可证，结合已证结论可求得，然后推得是等腰直角三角形，则，从而在含角的直角中可求得的长，最后在分别含角的直角三角形与含角的直角三角形中求得之间的关系式，通过的长建立关系式，求得的长，则可求得的长．
【详解】（1）∵线段绕点C旋转得到，
∴，
∵，
∴．
即
∴．
在与中，，
∴
∴．
由得，
在中，，
∴．
∴．
（2）∵，
∴，
又，
∴．
∴是直角三角形．
由得．
由知，，
由知，，
∴．
过点E作，垂足为点F．如下图．

．
则．
∴，．
∴
在中，
（3）过点N作，垂足H．连接．如下图．

由得：．
由，点M为中点，得，
∴，．
∴．
∴，
∴，又，
∴
∴为等腰直角三角形．
故也为等腰直角三角形．
∴．
在中，，
∴．．
在与中，，
∴，，
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
29．（2023上·江苏·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接，．
(1)若将沿翻折后，点的对应点恰好落在轴上，则的面积______；
(2)若平分，求点的坐标；
(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)32
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据翻折性质得在轴上，得出，得是等腰直角三角形，即可求解面积；
（2）过点作轴于点，由平行线性质和角平分线性质得出，从而得出，再根据勾股定理求解即可；
（3）设，，要使是以为直角边的等腰直角三角形，有两种情况：①当且时，②当且时，分别求解即可．
【详解】（1）将沿翻折后，点的对应点恰好落在轴上，
∴在轴上，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：32；
（2）如图，过点作轴于点，
则有，
∵轴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）∵点是直线上一点，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，
∴设，，
要使是以为直角边的等腰直角三角形，有两种情况：
①当且时，
如图，过点作直线轴于点，过点作直线于点，
易证得，
∴，即，
，即，
联立，解得或（不合题意，舍去），
∴；
②当且时，
如图，过点作于，过点作直线轴于点，
易证得，
∴，即，
，即，
联立，解得或（不合题意，舍去），
∴；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数和几何综合，正确画出辅助线，熟练运用翻折性质，勾股定理和全等三角形的性质与判断是解题的关键．
30．（2023上·浙江绍兴·八年级统考期末）定义：如图1，等腰中，点分别在腰上，连接，若，则称为腰上线段和的“友谊线”．
(1)如图1，是等腰中腰上线段和的“友谊线”，若，，，求的长；
(2)已知是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，，点在边上，且，．
①如图2，当为等边三角形中腰上线段和的“友谊线”时，作，垂足为，求的值．
②如图3，当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)①②当时，或
【分析】（1）根据“友谊线”的定义，可得，进而求得，再在中由勾股定理求解即可；
（2）①根据“友谊线”的定义，易得，，设，则，，结合等边三角形的性质可得，，即可获得答案；②过点作，垂足为，分两种情况讨论，借助全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等分别求解即可；
【详解】（1）解：∵是等腰中腰上线段和的“友谊线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，可有；
（2）①∵是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，
是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
设，则，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
∴；
②过点作，垂足为，
（i）如图4，满足，
∵是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（ii）如图4，满足，
与（i）同理，可证，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
综上所述，当时，或．