期末押题密卷01 -八年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）

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1．以下六个数：，，，，，，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在，，，，，中，
，，，是有理数，，，是无理数，共个，
故选：B．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
2．一组由小到大排列的数据为，0，4，，6，16，这组数据的中位数为5，则这组数据的众数可能是
A．5B．6C．－1D．5.5
【答案】B
【分析】先根据中位数的概念找出最中间的两个数的平均数求出值，再根据众数的概念求解．
【详解】解：根据题目提供的数据，可以看到这组数据的中位数应是4与和的平均数，即，
所以求出，这样这组数据中出现次数最多的就是6，即众数是6．
故选：B．
【点睛】本题考查众数与中位数的意义，解题的关键是掌握中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
3．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a＝6，b＝8，c＝10
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴∠C=5×15°=75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
4．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
5．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．20cmB．2cmC．（12+2）cmD．18cm
【答案】A
【分析】平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【详解】解：如图1，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，点N是FG的中点，
∴BM＝18﹣6＝12 cm，BN＝10+6＝16 cm，
∴MN＝＝20 cm；
如图2，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，点N是FG的中点，
∴PM＝18﹣6+6＝18 cm，NP＝10 cm，
∴MN＝＝＝2 cm．
∵20＜2，
∴蚂蚁需要爬行的最短路程为20 cm．
故选：A．
【点睛】本题考查平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．
6．在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（ ）
A．甲．B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】根据方差的意义求解可得答案．
【详解】解：，，，，
，
成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7．如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（ ）
A．关于的方程的解是
B．关于的方程组的解是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于的不等式的解集是
【答案】D
【分析】根据两直线的交点坐标即可判断A、B，根据图象即可判断C、D．
【详解】解：∵两直线相交于点，
∴方程的解是，方程组的解是，
故A、B正确，不符合题意；
∵当时，直线再直线的上方，
∴当时，函数的值比函数的值大，
故C正确，不符合题意；
∵当时，直线再直线的上方，
∴当时，，整理得：，
故D不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用图像法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法和步骤．
8．如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，连接；①；②当时，平分；③周长的最小值为15；④当时，平分．其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据勾股定理得到，故①正确；求得，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到平分，故②正确；如图1，作关于直线的对称点，连接交于，根据勾股定理得到，求得周长的最小值为，故③错误；如图2，过作于，根据勾股定理得到，求得，根据平行线的性质得到，求得，于是得到平分，故④正确．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
平分故②正确；
如图1，作C关于直线的对称点G，连接交于点G，

则此时周长最小，最小值为
，
周长最小值为故③错误；
如图2，过E作，

则
平分故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．
10．如图1，四边形中，，°，，动点从点出发，沿折线方向以m单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中， 的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（ ）
A．144B．134C．124D．114
【答案】A
【分析】从图2看，，，过点作交于点，在Rt中，，则，当点在点处时，，解得，则四边形的面积，即可求解．
【详解】解：从图2来看，，
过点作交于点，
则
在中，，
当点在点处时，
解得
则四边形的面积
故选：A
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．使根式有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，
必须，
解得：，
故答案为：．
12．如图是战机在空中展示的轴对称队形，以飞机B、C所在直线为x轴，队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，若飞机E的坐标为，则飞机D的坐标为
【答案】
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论.
【详解】解：∵飞机E与飞机D关于y轴对称，
∴飞机D的坐标为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.
13．如图，在中，，，，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形内角和可得，根据，可得，，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据等腰三角形性质求出底角．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为 ．

【答案】10
【分析】过作，交轴于，再，得出，然后根据点，求得，最后判定，得出，即可求得．
【详解】解：过作，交轴于，则，

∵等腰、等腰，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
即
在和中，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共7小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）计算：
（2）计算：
（3）解方程
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）先化简各式，再进行计算；
（2）先化简各式，再进行计算；
（3）利用加减消元法，解方程组即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
（3），
得：，解得；
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，实数的混合运算，解二元一次方程组．熟练掌握相关运算法则，加减消元法解二元一次方程组，是解题的关键．
16．某校八年级的一次数学小测试由20道选择题构成，每题5分，共100分，为了了解本次测试中同学们的成绩情况，某调查小组从中随机调查了部分同学，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，如图，请根据以上信息解答下列问题：
(1)本次调查的学生人数为 人，该次测试成绩的中位数是 分，众数为 分；
(2)补全条形统计图；
(3)若测试成绩80分或80分以上为“优秀”，则估计该校九年级800名学生中，本次测试成绩达到“优秀”的人数是多少？
【答案】(1)50；90；95；
(2)补图见解析；
(3)本次测试成绩达到“优秀”的人数是768人
【分析】（1）根据得分80分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，根据条形统计图中的数据，可以得到中位数和得分为85分的人数，从而可以得到众数；
（2）根据（1）中85分的人数，可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次测试成绩达到“优秀”的人数是多少．
【详解】（1）本次调查的学生有：（人）；
∵，
∴这组数据的中位数是（分）；
85分的学生有（人），
故这组数据的众数是95分；
故答案为：50；90；95；
（2）由（1）知，85分的学生有10人，
补全的条形统计图如图所示；
（3）（人），
即该校九年级800名学生中，本次测试成绩达到“优秀”的人数是768人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，掌握数形结合的思想解答是关键．
17．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝．
∴a﹣2＝﹣．
∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝ ；
（2）计算：+…+；
（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
【答案】（1）；（2）；（3）3
【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）原式
；
（3），
，
．
答：的值为3．
【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出的值和正确变形是解此题的关键．
18．在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），点A的坐标为．
(1)请画出关于x轴对称的（不写画法，其中，，分别是A，B，C的对应点）；
(2)直接写出，，三点的坐标：（______），（______），（______）；
(3)在y轴上求作一点P，使的值最小并写出最小值．
【答案】(1)见解析
(2)，，，，，
(3)画图见解析，最小值为
【分析】（1）根据关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用所画图形写出各点坐标即可；
（3）利用轴对称求出最短路径，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；

（2）如图所示：，，；
（3）如图所示：点即为所求，
找到点关于轴对称点，连接，交轴于点，
此时的值最小，且为．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，勾股定理，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
19．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ．
(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
【答案】(1)
(2)时间上考虑选择甲公司
(3)从节约开支上考虑选择乙公司
【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解．
（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；
（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【详解】（1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则，
故答案为：．
（2）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意得，
解得：
∵
∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（3）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元，根据题意得：
解得：
∴公司共需万元，乙公司共需万元，4万元＜6万元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
20．已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，，

(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到，继而推出，即可证明；
（2）利用平行线的性质得到，结合角平分线的定义求出，再利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
．
【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的定义，关键是根据平行线的判定和性质解答．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点．
(1)求直线AB的表达式和点A的坐标；
(2)点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
(3)当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)y＝x＋1，点A（0，1）
(2)点P的坐标是（2，）
(3)点P的坐标是（4，3）或（1，4）或（2，2）
【分析】（1）把的坐标代入直线的解析式，即可求得的值，然后在解析式中，令，求得的值，即可求得的坐标；
（2）过点作，垂足为，求得的长，即可求得和的面积，二者的和即可表示，在根据的面积与的面积相等列方程即可得答案；
（3）分三种情况：当为直角顶点时，过作轴于，过作于，由，可得①，②，即得；当为直角顶点时，过作轴于，由，可得，当为直角顶点时，过作轴于，同理可得．
【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，
，
，
直线的解析式是．
当时，，
点；
（2）解：如图1，过点作，垂足为，则有，
设，
时，，
，
在点的上方，
，
，
由点，可知点到直线的距离为1，即的边上的高长为1，
，
；
的面积与的面积相等，
，
解得，
；
（3）解：当为直角顶点时，过作轴于，过作于，
如图
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，①，
②，
由①②解得，，
，
；
当为直角顶点时，过作轴于，如图
为等腰直角三角形，
，，
而，
，
，，
，
，
当为直角顶点时，过作轴于，如图
同理可证，
，，
，
综上所述，坐标为：或或．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等解决问题．
22．如图，在长方形中，，，，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析，；②周长的最小值为12
【分析】（1）根据长方形的性质得，可得，利用即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即；
②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值．
【详解】（1）证明：在长方形中，
，，
点P是的中点，
，
；
（2）解：①在长方形中，，
，
由折叠得，
，
，
在长方形中，，，
，
点P是的中点，
，
由折叠得，，，
设，则，
，
在中，，
，
解得，即；
②由折叠得，，
的周长，
连接，，
，
当点恰好位于对角线上时，最小，
在中，，，
，
′的最小值，
∴周长的最小值．