第4-5章 因式分解和分式方程（考点压轴，压轴必刷12种题型30题）（原卷版+解析版）

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一．因式分解-提公因式法（共2小题）
1．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）
【答案】B
【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），
＝b（x﹣3）（b+1）．
故选：B．
2．已知：a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×3＝6；
（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
＝32﹣2×2，
＝5．
二．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，
∴该同学因式分解的结果不彻底．
（2）设x2﹣2x＝y
原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4．
故答案为：不彻底．
三．因式分解的应用（共9小题）
4．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣1B．0C．3D．6
【答案】B
【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b
＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）
＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）
＝（ab﹣1）（a+b）
将a+b＝3，ab＝1代入，得
原式＝0．
故选：B．
5．已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：b2+2ab＝c2+2ac，
a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，
（a+b）2＝（a+c）2，
a+b＝a+c，
b＝c，
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
6．已知x2+y2+z2+2x﹣4y﹣6z+14＝0，则x﹣y+z＝ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2+y2+z2+2x﹣4y﹣6z+14＝0，
∴x2+2x+1+y2﹣4y+4+z2﹣6z+9＝0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2＝0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，z﹣3＝0，
∴x＝﹣1，y＝2，z＝3，
故x﹣y+z＝﹣1﹣2+3＝0．
故答案为：0．
7．已知m2﹣mn＝2，mn﹣n2＝﹣5，则3m2+2mn﹣5n2＝ ﹣19 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方法一：
根据题意，m2﹣mn＝2，mn﹣n2＝﹣5，故有m2＝2+mn，n2＝mn+5，
∴原式＝3（2+mn）+2mn﹣5（mn+5）＝﹣19．
故应填﹣19．
方法二：根据已知条件m2﹣mn＝2，mn﹣n2＝﹣5，得
m（m﹣n）＝2，n（m﹣n）＝﹣5
∴两式相加得，（m+n）（m﹣n）＝﹣3，
∴3m2+2mn﹣5n2＝3（m+n）（m﹣n）+2n（m﹣n）
＝3×（﹣3）+2（﹣）（m﹣n）
＝﹣9﹣10
＝﹣19．
故应填﹣19．
8．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值 18 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2，
∴a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝2×32
＝18
故答案为：18．
9．已知x为自然数，且x+11与x﹣72都是一个自然数的平方，则x的值为 1753 ．
【答案】1753．
【解答】解：∵x为自然数，且x+11与x﹣72都是一个自然数的平方，
∴设a2＝x+11，b2＝x﹣72，
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴（a+b）（a﹣b）＝（x+11）﹣（x﹣72），
∴（a+b）（a﹣b）＝x+11﹣x+72，
∴（a+b）（a﹣b）＝83，
∴，
解得：，
∵a2＝x+11，
∴x＝a2﹣11
＝422﹣11
＝1764﹣11
＝1753．
故答案为：1753．
10．利用因式分解计算：2022+202×196+982＝ 90000 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2022+2x202x98+982
＝（202+98）2
＝3002
＝90000．
11．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+3＝0，
∴x＝﹣3，y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，
∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，
即a+b+c的值是8．
12．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （x﹣y+1）2 ；
（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；
（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【答案】（1）（x﹣y+1）2；
（2）（x﹣3）4；
（3）见试题详解内容．
【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2
＝（x﹣y+1）2；
（2）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，
故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2＝（x﹣3）4．
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
四．分式的基本性质（共1小题）
13．已知，则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，则＝＝＝．
故答案为．
五．分式的加减法（共2小题）
14．如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）＝ n+ ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵f（1）＝＝；f（）＝＝，f（2）＝＝；
∴f（1）+f（2）+f（）＝+1＝2﹣．
故f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）＝+1+1+…+1＝．（n为正整数），
解法二：由题意f（2）+f（）＝1，
f（3）+f（）＝1，
f（n）+f（）＝1，
∴（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）＝+1+1+…+1＝n﹣．
15．阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
所以，解得．
所以＝＝﹣＝3x+1﹣．
这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．
根据你的理解决下列问题：
（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．
【答案】（1）以＝2x+5+；
（2）27．
【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．
因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
因此有，
解得，
所以＝＝2x+5+；
（2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，
因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b，
所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b，
因此有，
解得，
所以＝＝5x﹣1﹣，
所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣，
因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，
所以m＝x+2，n＝﹣x+4，
所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27，
所以m2+n2+mn的最小值为27．
六．分式的混合运算（共2小题）
16．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意可知
第一次倒出：，
第二次倒出：，
第三次倒出：，
…
第n次倒出：，
∴第10次倒出：，
∴倒了10次后容器内剩余的水量＝1﹣（++…+）＝1﹣（+﹣+﹣+…+﹣）＝1﹣（1﹣）＝．
故答案是．
17．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：＝＝1﹣；
解决下列问题：
（1）分式是 真分式 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）先化简﹣÷，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得，
分式是真分式，
故答案为：真分式；
（2）＝＝x+2﹣；
（3）﹣÷
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝2﹣，
∵2﹣是整数，
∴x﹣1＝±1或x﹣1＝±2，
解得，x＝0，2，3，﹣1，
∵x＝0，1，﹣1，2时，原分式无意义，
∴x＝3，
当x＝3时，原式＝2﹣＝1，
即当x＝3时，该式的值为整数．
七．分式的化简求值（共2小题）
18．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
19．先化简，再求值：（+）÷，其中a满足方程a2+4a+1＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（+）÷
＝[﹣]•
＝•
＝
＝，
∵a2+4a+1＝0，
∴a2+4a＝﹣1，
∴原式＝．
八．分式方程的解（共4小题）
20．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A．﹣10B．﹣12C．﹣16D．﹣18
【答案】B
【解答】解：，
解①得x≥﹣3，
解②得x≤，
不等式组的解集是﹣3≤x≤．
∵仅有三个整数解，
∴﹣1≤＜0
∴﹣8≤a＜﹣3，
+＝1
3y﹣a﹣12＝y﹣2．
∴y＝
∵y≠2，
∴a≠﹣6，
又y＝有整数解，
∴a＝﹣8或﹣4，
所有满足条件的整数a的值之和是（﹣8）+（﹣4）＝﹣12，
故选：B．
21．已知方程﹣a＝，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤3B．2＜b≤3C．8≤b＜9D．3≤b＜4
【答案】D
【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即（a﹣4）（a+1）＝0，
解得：a＝4或a＝﹣1，
经检验a＝4是增根，故分式方程的解为a＝﹣1，
已知不等式组解得：﹣1＜x≤b，
∵不等式组只有4个整数解，
∴3≤b＜4．
故选：D．
22．若关于x的方程+＝无解，则m的值为 ﹣1或5或﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，
可得：（m+1）x＝5m﹣1，
当m+1＝0时，一元一次方程无解，
此时m＝﹣1，
当m+1≠0时，
则x＝＝±4，
解得：m＝5或﹣，
综上所述：m＝﹣1或5或﹣，
故答案为：﹣1或5或﹣．
23．若关于x的分式方程+＝3的解为正实数，则实数m的取值范围是 m＜6且m≠2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：+＝3，
方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m＝3x﹣6，
解得，x＝，
∵≠2，
∴m≠2，
由题意得，＞0，
解得，m＜6，
故答案为：m＜6且m≠2．
九．分式方程的增根（共1小题）
24．已知分式方程有增根，则增根是（ ）
A．x＝1B．x＝1或x＝0C．x＝0D．不确定
【答案】A
【解答】解：去分母得：6x＝x+5，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根．
故选：A．
一十．由实际问题抽象出分式方程（共2小题）
25．甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少了20千米．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意得
＝•．
故选：D．
26．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A．+＝B．﹣＝C．+10＝D．﹣10＝
【答案】B
【解答】解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，
﹣＝．
故选：B．
一十一．分式方程的应用（共3小题）
27．2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐篷解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐篷甲工厂比乙工厂少用4天．
①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐篷？
②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐篷的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①设乙工厂每天可加工生产x顶帐篷，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐篷，根据题意得：
﹣＝4，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则甲工厂每天可加工生产1.5×20＝30（顶），
答：甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30顶和20顶帐篷；
②设甲工厂加工生产y天，根据题意得：
3y+2.4×≤60，
解得：y≥10，
则至少应安排甲工厂加工生产10天．
答：至少应安排甲工厂加工生产10天．
28．华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，由题意得
＝×2
解得：x＝50
经检验x＝50是原方程的解，
x+30＝80
答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，由题意得
50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3260
解得a≤31
∵a是整数，
∴a最大等于31，
答：华昌中学此次最多可购买31个B品牌足球．
29．2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐篷所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐篷？
（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设甲种货车每辆车可装x件帐篷，乙种货车每辆车可装y件帐篷，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程组的解．
故甲种货车每辆车可装100件帐篷，乙种货车每辆车可装80件帐篷；
（2）设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，依题意有
100z+80（16﹣z﹣1）+50＝1490，
解得z＝12，
16﹣z＝16﹣12＝4．
故甲种汽车有12辆，乙种汽车有4辆．
一十二．一次函数的应用（共1小题）
30．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）m＝100；
（2）共有11种方案；
（3）应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
【解答】解：（1）依题意得，＝，
整理得，3000（m﹣20）＝2400m，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原分式方程的解，
所以，m＝100；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得，，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105﹣95+1＝11，
∴共有11种方案；
（3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x＝105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x＝95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
运动鞋
价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160