期末押题密卷03 -八年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）

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1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（ ）
A．3，4，5B．2，3，C．8，15，17D．32，42，52
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵32+42＝52，∴能作为直角三角形的三边，故本选项不符合题意；
B、∵22+（）2＝32，∴能作为直角三角形的三边，故本选项不符合题意；
C、∵82+152＝172，∴能作为直角三角形的三边，故本选项不符合题意；
D、∵（32）2+（42）2=337≠625=（52）2，∴不能作为直角三角形的三边，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
2．下列计算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质对各项进行化简即可．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、二次根式被开方数为非负数，原式无意义，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解答的关键是对二次根式的性质的熟练掌握与运用．
3．准备在甲，乙，丙，丁四人中选取成绩稳定的一名参加射击比赛，在相同条件下每人射击10次，已知他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则应该选择哪位运动员参赛（ ）
A．丁B．丙C．乙D．甲
【答案】D
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可判定．
【详解】解：∵S甲2=0.6，S乙2=1，S丙2=0.8，S丁2=2.3，
∴S甲2＜S丙2＜S乙2＜S丁2，
∴射击成绩最稳定的是甲，应该选择甲运动员参赛；
故选：D
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．如图，已知直线，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：如图，

∵，
∴∠4=∠1=40°，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
5．下列命题错误的个数有（ ）
①实数与数轴上的点一一对应；②无限小数就是无理数；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据实数与数轴的关系可判断①为真命题；根据无理数定义可判断②为假命题；根据三角形的一个外角性质可判断③为真命题；根据平行线性质可判断④为假命题即可．
【详解】解：实数与数轴上的点一一对应，所以①为真命题；
无限不循环小数是无理数，所以②为假命题；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，所以③为真命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以④为假命题；
∴命题不正确的有两个．
故选：B．
【点睛】本题考查实数与数轴的关系，无理数定义，三角形外角性质，平行线性质，掌握实数与数轴的关系，无理数定义，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．
6．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题的等量关系是：绳长木长=4.5；木长绳长=1，据此可列方程组求解．
【详解】解：设长木长x尺，绳长y尺，
依题意得；
故选：D．
【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．
7．如图，已知点是一次函数上的一个点，则下列判断正确的是（ ）
A．B．y随x的增大而增大
C．当时，D．关于x的方程的解是
【答案】D
【分析】根据已知函数图象可得，是递减函数，即可判断A、B选项，根据时的函数图象可知的值不确定，即可判断C选项，将B点坐标代入解析式，可得进而即可判断D
【详解】A.该一次函数经过一、二、四象限
， y随x的增大而减小，
故A,B不正确；
C. 如图，设一次函数与轴交于点
则当时，，故C不正确
D. 将点坐标代入解析式，得
关于x的方程的解是
故D选项正确
故选D
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与二元一次方程组的解的关系，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
8．如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）dm．
A．11B．C．D．10
【答案】D
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，
∴AB＝3dm，BC＝BC′＝4dm，
∴AC2＝32+42＝25，
∴AC＝5（dm）．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝10（dm）．
故选D．
【点睛】本题考查了平面展开−-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
9．两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法
①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
②乙出发后追上甲
③甲比乙晚到
④甲车行驶或，甲，乙两车相距其中正确的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①正确；故②错误；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④正确．
【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，
∵甲先出发，乙出发后追上甲，
∴，
∴，
即乙车行驶的速度是，故①正确；
②∵当时，乙出发，当时，乙追上甲，
∴乙出发后追上甲，故②错误；
③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
∴甲比乙晚到，故③正确；
④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则
解得；
当乙车到达地后时，，
解得，
∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数的图象，能从函数的获取准确信息，利用数形结合思想解答是解题的关键．
10．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点，D为线段的中点，P为y轴上的一个动点，连接、，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，进而根据对称性求得当点P与重合时，的周长最小，通过求直线的解析式，即可求得点的坐标
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，连接，
的周长，点是定点，则的长不变，
当重合时，的周长最小，
由，令，令，则
是的中点
,点是关于轴对称的点
设直线的解析式为：，将，代入，
解得
直线的解析式为：
令，则
即
故选A
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若是二元一次方程的解，则 ．
【答案】-1
【分析】把代入即可求出a的值．
【详解】把代入方程得：，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
12．如图，BD和CD是△ABC的角平分线，∠BDC＝118°，则∠BAC＝ °．
【答案】56°/56度
【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．
【详解】解：∵BD和CD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∵∠BAC＝180°−（∠ABC＋∠ACB），
∴∠BAC＝180°−2（∠DBC＋∠BCD）＝180°−2（180°−∠BDC）＝2∠BDC−180°，
∴∠BAC＝2×118°−180°＝56°，
故答案为：56°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．
13．小明某学期数学平时成绩为70分，期中考试成绩为80分，期末考试成绩为90分，计算学期总评成绩的方法：平时占30%，期中占30%，期末占40%，则小明这学期的总评成绩是 分．
【答案】81
【详解】小明学期总评成绩是：70×30%+80×30%+90×40%=21+24+36=81分．
故答案为81
14．纸片中，，将纸片的一角折叠，使点C落在内（如图），若，则∠2的度数为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合三角形内角和定理和四边形内角和求解．
【详解】解：如图，设折痕为DE，
∵，
∴，
，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要是考查了三角形、四边形内角和，即三角形的内角和为，四边形的内角和为 ，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线：上的一个动点，若，则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP∥BO，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为（a，−a＋4），过AP作直线交x轴于点C，可表示出直线AP的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
【详解】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接AP，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AP∥OB，
∵A（0，8），
∴P点纵坐标为8，
又P点在直线x＋y＝4上，把y＝8代入可求得x＝−4，
∴P点坐标为（−4，8）；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为（a，−a＋4），设直线AP的解析式为y＝kx＋b，
把A、P坐标代入可得，
解得，
∴直线AP的解析式为y＝x＋8，
令y＝0可得x＋8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2＋OA2，即AC2＝（）2＋82，
∵B（−4，0），
∴BC2＝（＋4）2＝（）2＋＋16，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2＋82＝（）2＋＋16，
解得a＝12，则−a＋4＝−8，
∴P点坐标为（12，−8），
综上可知，P点坐标为（−4，8）或（12，−8）．
故答案为：（−4，8）或（12，−8）．
三、解答题（本大题共7小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算及解方程组：
(1)×；
(2)－2；
(3)(＋)(－)＋－；
(4)．
【答案】(1)6
(2)2
(3)
(4)m=3，n=2
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则计算，然后将二次根式化简即可；
（2）先化简二次根式，合并同类二次根式，约分，再计算减法即可；
（3）根据平方差公式计算，化简二次根式为最简二次根式，然后合并即可；
（4）利用加减消元法解二元一次方程组，先整理，标号，两式相减，求出n=2，再代入求出m即可．
【详解】（1）解：×；
（2）解：－2=；
（3）解：(＋)(－)＋－，
=，
=；
（4）解：整理得，
②-①得4n=8，
解得n=2，
把n=2代入②得m=3，
∴．
【点睛】本题考查二次根式混合计算，二元一次方程组的解法，掌握二次根式混合计算，二元一次方程组的解法是解题关键．
17．某APP推出了“北美外教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元．
(1)请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？
(2)根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20元．临近春节，小融计划用压岁钱购买两种课程共60课时（其中A课程不超过40课时），请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高，最高利润是多少元？
【答案】(1)购买“A课程”1课时需70元，购买“B课程”1课时需40元
(2)购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高，最高利润是1400元
【分析】（1）设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，根据“购买'A课程'3课时与'B课程'5课时共需付款410元，购买'A课程'5课时与'B课程'3课时共需付款470元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，利用总利润＝每课时获得的利润×购买数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买“A课程”1课时需70元，购买“B课程”1课时需40元．
（2）设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，
依题意得：w＝25m+20（60﹣m）＝5m+1200．
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值为5×40+1200＝1400．
答：购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高，最高利润是1400元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和写出函数关系式．
18．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，E为AC边上一点，且满足∠AED＝2∠DCB．
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠B＝90°，AD＝6，AE＝9，求CE的长．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的性质证出，由平行线的判定可得出结论；
（2）由角平分线的性质及平行线的性质证出，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
【详解】（1）解：证明：平分，
，
即，
又，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是由勾股定理求出的长．
19．请解答下列各题：
（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，．
①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ．
②反射光线与平行，依据是 ．
（2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ．
【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）84°；90°；
【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得；
（2）根据入射角等于反射角得出∠1=∠4，∠5=∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可．
【详解】解：（1）①由条件可知：∠1=∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；
∠2=∠4，依据是：等量代换；
②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）如图，
∵∠1=42°，
∴∠4=∠1=42°，
∴∠6=180°42°42°=96°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6=180°，
∴∠2=84°，
∴∠5=∠7=，
∴∠3=180°48°42°=90°．
故答案为：84°；90°；
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
20．【问题背景】∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
【问题思考】（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ ．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ °．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
【问题拓展】（3）在图②的基础上，如果∠MON＝a，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝ .（用含a的代数式表示）
【答案】（1）135°；（2）①45；②∠D的度数不随着点A、B的运动而发生变化；∠D=45°；（3）．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义进行计算即可得到结论；②设∠BAD=，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义进行计算即可得到结论；
（3）设 而 再利用角平分线的含义与三角形的外角的性质分别表示 再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：（1） ，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=，∠ABE=，
∴∠BAE+∠ABE==45°，
∴∠AEB=135°； 故答案为：135°；
（2）①∵∠AOB=90°，∠BAO=，
∴∠ABO=，
∴∠ABN=，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD=∠CBN=，
∵AD平分∠BAO， ∴∠DAB=，
∴∠D=180°-∠ABD-∠BAD =，
故答案为：；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化， 设∠BAD=，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=，
∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC=，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=；
（3）设 而
∵∠BAO与的平分线交于点

而



故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理与三角形的外角的性质是解题的关键．
21．（1）【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△BEC≌△CDA；
（2）【模型应用】①已知直线l1：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣6上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②或．
【分析】（1）：利用角的数量关系可求得，，然后根据AAS即可证明结论；
（2）①：过点B作交于C，过C作轴于D，由（1）同理可得，利用全等三角形的性质求出C的坐标，再利用待定系数法求的解析式即可；
②：设点，由第一题同理可得：，利用全等三角形的性质建立关系式求解即可．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，
∴，．
又∵，，
∴，
又∵，
∴．
在和中，
，，，
∴；
（2）①：过点B作交于C，过C作轴于D，
∵，
∴为等腰，
由（1）同理可证：，
∴，，
∵，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，，
∴．
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入中，
得
解得，，，
则的解析式：；
②：如下图，设点，
当时，
由（1）同理可证：，
∴，即，
解得：或，
故：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线：过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点．
(1)求直线与直线的函数表达式；
(2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若的面积为8，求D点的坐标；
(3)如图3，直线上有一动点P．若，请直接写出P点坐标．
【答案】(1)直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：
(2)
(3)或
【分析】（1）根据待定系数法求直线的函数表达式，根据点在上，求出点的坐标，根据待定系数法求直线的函数表达式即可；
（2）设，根据，即可求出答案；
（3）设出点的坐标，根据条件可知为等腰直角三角形，根据，列出方程解出即可．
【详解】（1）解：直线与过点和，
，
解得，
直线的函数表达式为：，
与互相垂直，且相交于点，
，
，
设直线的函数表达式为，
，解得，
直线的函数表达式为：；
（2）解：设，
、，，
，
，
点的坐标为；
（3）解：设点 的坐标为，
，
等腰直角三角形，
，即，
，，
，，
，
，
解得或，
或．