[数学]江西省部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第二册第一章至第二章第5节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在数列中，，则（ ）
A. 8B. 11C. 18D. 19
【答案】D
【解析】由，得.
故选：D
2. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，则．
故选：B.
3. 在公差为的等差数列中，，则（ ）
A. 44B. 36C. 30D. 28
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为， 因为，
所以，
解得，故，故B正确.
故选：B
4. 已知，随机变量的分布列为
设，则（ ）
A. 数列单调递增
B. 数列单调递减
C. 数列先增后减
D. 数列先减后增
【答案】A
【解析】，，
当，时，数列单调递增．
故选：A.
5. 若则（ ）
A. B. C. 9D. 63
【答案】A
【解析】对等式两边同时求导，
得，
即，
令，得.
故选：A.
6. 设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（ ）
A. 64B. 72C. 80D. 92
【答案】C
【解析】设是该等比数列的前项和，依题意可知，
则成等比数列，即成等比数列，
则，解得．
故选：C.
7. 设函数导函数为的导函数为的导函数为．若，且，则为曲线的拐点．下列结论正确的是（ ）
A. 曲线有拐点B. 曲线有拐点
C. 曲线无拐点D. 曲线无拐点
【答案】B
【解析】对于A，和零点均为0，所以曲线无拐点，故A错误；
对于B， ，和的零点不相等，所以曲线有拐点，故B正确；
对于C，，，，所以曲线有拐点，故C错误；
对于D， ，，，故是的拐点，即D错误．
故选：B.
8. 若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”．例如，数列，为“邻和等差数列”．已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，则（ ）
A. 39700B. 39800C. 39900D. 40000
【答案】A
【解析】设，由，得，
则，
故
．
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在某次英语四级考试中，若甲、乙、丙通过考试的概率分别为，且成等比数列，三人各自是否通过这次考试相互独立，则（ ）
A.
B. 甲、乙都通过这次考试的概率为0.24
C. 甲、丙都不通过这次考试的概率为0.12
D. 乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为0.96
【答案】BD
【解析】对A，依题意可得，解得，故A错误；
对B，甲、乙都通过这次考试的概率为，故B正确；
对C，甲、丙都不通过这次考试的概率为，故C错误；
对D，乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为，故D正确．
故选：BD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的零点之和为3
B. 的图象关于点对称
C. 曲线不存在倾斜角为切线
D. 曲线在处的切线的斜率为432
【答案】BCD
【解析】因为，
其中，，
所以只有一个零点，
所以零点之和为0，故A错误．
因为，
所以的图象关于点对称，故B正确．
因为，
所以曲线不存在倾斜角为的切线，故C正确．
设，
则，
则，
所以，故D正确．
故选: BCD.
11. 表示数列的前项积，如．已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. ！
C.
D. 满足的的最小值为41
【答案】ACD
【解析】，
A正确．
，B错误．
因为，
所以，C正确．
，由，得，则，D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的导函数存在两个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】由，得，
由导函数存在两个零点，则，解得．故答案为：
13. 若数列为等比数列，且，则______，数列的前项和为______．
【答案】① ②
【解析】令，则，所以等比数列的公比为2，
所以，故．
数列的前项和为，
则数列的前项和为．
故答案为：；
14. 某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该质点的瞬时速度的最小值为______．
【答案】2
【解析】由求导得，
，
因，则当，即，即时，取得最小值2，
故该质点的瞬时速度的最小值为．
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.
（1）求的表达式；
（2）若自变量从变到，求的平均变化率；
（3）若，求在处的瞬时变化率.
解：（1）因为四边形的周长为12，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
（2）若自变量从变到，则的平均变化率为.
（3）由，得.
，
则，
所以在处的瞬时变化率为-30.
16. 已知函数的图象在点处的切线经过点．
（1）当时，求的方程．
（2）证明：数列是等差数列．
（3）求数列的前项和．
解：（1）当时，则，
所以，又，
所以切点为，切线的斜率为，
则切线的方程为，即.
（2）因为，则，，
所以，则切线方程为，即，
令，解得，
所以，则，则，
又，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
（3）由（2）可得，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以.
17 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）求过点且与曲线相切的切线方程．
解：（1），
由，得，解得，
则所求不等式的解集为．
（2）因为，所以曲线在点处的切线方程为．
将点的坐标代入，并整理得，
解得或1或．
当时，切线方程为；
当时，切线方程为，即；
当时，切线方程为，即．
18. 设为的导函数，若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递增；若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递减．若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．
（1）判断函数在上的凹凸性，并说明理由；
（2）若函数为上的凹函数，求的取值范围．
解：（1）因为在上为增函数，所以在上为凹函数，
，设，则，
当时，，
，则在上为减函数，
所以在上为凸函数．
（2），
设为的导函数，则对恒成立．
则．
当时，（不恒成立），单调递减；
当时，（不恒成立），单调递增．
所以，
所以，解得，
故的取值范围是．
19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足．
（1）求的值；
（2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列．
①求的通项公式；
②证明：对任意的，都有．
解：（1）由，得，则，
所以；
由，得，则，
所以.
（2）①依题意，，则，
对于给定的，存在唯一确定的，使得，即，
而，则当时，，设，
此时，即；
当时，，设，
此时，即，
因此，
恰好跳过，即所有正整数中恰好少了，
因为，
所以.
②由，得，则为递增数列，，
当时，，
则
，
所以对任意的，都有.
4
6
8