江西省部分学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

这是一份江西省部分学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知，分别是椭圆C，在的展开式中，项的系数为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ）
A．9种B．12种C．24种D．72种
2．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．若随机变量，且，则=（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
4．圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M是椭圆C上一点，且，则=（ ）
A．B．C．D．
6．已知，点P是抛物线上的一点，点B是圆F：上的一点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．252B．210C．126D．120
8．在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（ ）
A．3B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（ ）
A．B．
C．D．事件A，B相互独立
10．如图，四边形ABCD，ABEF都是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，P，Q分别是线段AE，BD的中点，则（ ）
A．
B．异面直线AQ，PF所成角为
C．点P到直线DF的距离为
D．的面积是
11．甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出i（i=1，2）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．商家为了解某品牌取暖器的月销售量Y（台）与月平均气温X（℃）之间的关系，随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
由表中数据算出线性回归方程中的，当平均气温为-1℃时，此品牌取暖器的月销售量为______台（结果保留整数）．
13．已知随机变量，若，则=______．
14．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，直线l：与双曲线E的左、右两支分别交于P，Q两点，且，若双曲线E的离心率为e，则=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单位：cm）及个数Y如下表：
由表中数据得Y关于X的线性回归方程为，其中合格零件尺寸为．
（1）求m的值；
（2）是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关？
附：，．
16．（本小题满分15分）
某班共有团员14人，其中男团员8人，女团员6人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选6人参加学校的团员座谈会．（用数字做答）
（1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；
（2）若至多有3名女团员当选，求不同的选法总数；
（3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数．
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，，点E，F分别为棱PB，BC的中点．
（1）求证：；
（2）求平面AEF与平面ECD所成二面角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
2023年12月31日的下午，某班级在学校的多功能厅，以“庆元旦迎新年”为主题举办联欢会．为了鼓励班级的同学积极参与活动，组委会准备在联欢会上搞一个抽奖活动，凡是上台表演节目的同学最多有3次抽奖机会（没有上台表演的同学没有抽奖机会）．每次抽中，可依次获得5元，10元，20元的礼品，若没有抽中，不可继续抽奖．每次抽中后，可以选择带走抽中的所有礼品，结束抽奖，也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得礼品全部归零，结束抽奖．已知参加本次抽奖活动的同学每次抽中的概率依次为，，，且每个同学选择继续抽奖的概率依次是和．小张同学准备在这次活动中表演一个单口相声，并参与抽奖活动．
（1）求小张同学第一次抽中但最终所得礼品归零的概率；
（2）设小张同学所得礼品的金额总数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（3）组委会已经筹集到用于购买礼品的专项资金200元，如果当天有32名同学上台表演，问已经筹集到的专项资金是否够用？
19．（本小题满分17分）
在平面直角坐标系xOy中，已知动点，，点G是线段MN的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点G的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若曲线E与x轴交于A，B两点，点S是直线上的动点，直线AS，BS分别与曲线E交于点P，Q（异于A，B）．求证：直线PQ过定点．
江西高二下学期开学考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 任选1部电影可分四类：第一类选的是科幻片，第二类选的是警匪片，第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片．由分类加法计数原理可得不同的选法共有3+4+3+2=12（种）．故选B．
2．A 设与直线平行的直线方程是，代入点，得，解得，所以所求的直线方程是．故选A．
3．A 因为，故．故选A．
4．D 根据题意，圆：即，其圆心为，半径；圆：即，其圆心为，半径；两圆的圆心距，所以两圆外离，其公切线条数有4条．故选D．
5．C 由椭圆的方程，得，，因为，所以，又在椭圆C上，所以，解得，即，，所以．故选C．
6．B 由题意知是抛物线的焦点，记点P到抛物线的准线的距离为d，所以，当且仅当直线AP与抛物线的准线垂直，点B在线段PF上时，等号成立，所以的最小值为6．故选B．
7．B 的展开式的通项为，r=0,1,2,…,n，则的展开式中项的系数为，所以的展开式中项的系数为．故选B．
8．D 在正三棱锥中，，又，，所以，所以，同理可得，，即PA，PB，PC两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面ABC的法向量为，则令，则，所以，则点O到平面ABC的距离所以．故选D．
9．ABC ，故A正确；，故B正确；，故C正确；因为，，所以事件A，B不相互独立，故D错误．故选ABC．
10．AC 由题意知AB，AD，AF两两垂直，以A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，又P，Q分别是线段AE，BD的中点，所以，，所以，，又PQ，DF不共线，所以，故A正确；，，设异面直线AQ，PF所成角为θ，则，又，所以，即异面直线AQ，PF所成角为，故B错误；由，，得，所以点P到直线DF的距离为，故C正确；因为，所以Q到DF的距离即为P到DF的距离，所以的面积．故D错误．故选AC．
11．ABC X表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y表示交换后乙盒子中的蓝球数，当时，则，，，所以，，故A正确，B正确；当时，，，，，．所以，，故C正确，D错误．故选ABC．
12．90 根据表格中的数据，可得，，又点在回归方程上，其中，所以，解得，即，当时，．
13．12 由随机变量，得，解得，所以，所以．
14．5 直线l：过且与双曲线E的一条渐近线：垂直，设垂足为T，易得，因为，所以，所以，因为，由双曲线的定义得，，，在中，，即，所以，所以，所以（舍去），所以．
15．解：（1）依题意，得，，
由，得，解得，
所以m的值为14．
（2）由于合格零件尺寸为，所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为：
，
因为20>6.635，所以有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关．
16．解：（1）方法一：至少有一名组长含有两种情况：有一名组长和两名组长，故共有种．
方法二：至少有一名组长可以采用排除法，有种．
（2）至多有3名女团员含有四种情况：有3名女团员，有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，故共有种．
（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：第一类：女组长当选，有种；第二类：女组长不当选，男组长当选，从剩余7名男团员，5名女团员中选5人，其中至少选择1名女团员，有种．故共有种．
17．（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以．
因为四边形ABCD是正方形，所以，又，AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
又AE⊂平面PAB，所以，
在中，，又点E是棱PB的中点，所以，又，BC，PB⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，
又PC⊂平面PBC，所以，
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以，，又四边形ABCD是正方形，所以．以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设，所以，，，，．
设平面AEF的法向量，又，，所以令，解得，，所以平面AEF的一个法向量．
设平面ECD的法向量，又，，
所以
令，解得，，所以平面ECD的一个法向量，
设平面AEF与平面ECD所成二面角的平面角为θ，
所以，
所以，
即平面AEF与平面ECD所成二面角的正弦值为．
18．解：（1）记小张同学第i次抽中为事件，则，，，
记小张同学第i次抽中后选择继续抽奖为事件，则，，
小张同学第一次抽中但最终所得礼品归零记为事件A，
则
．
即小张同学第一次抽中，但最终所得礼品归零的概率为．
（2）小张同学所得礼品的金额总数为随机变量X，则X的所有取值为0，5，15，35，
，
，
，
．
随机变量X的分布列为：
X的数学期望．
（3）由（2）以及数学期望的意义知，每个上台表演的同学获得礼品的金额的平均数是元，上台表演的32个同学获得的奖品的总金额大约是（元），
200元远远多于135元，因此已经筹集到的专项资金足够用于购买礼品了。
19．（1）解：因为点在反比例函数的图象上，所以，
设点，因为点G是线段MN的中点，所以，则
所以，整理得．
所以曲线E的方程为．
（2）证明：不妨设点A在点B的左侧，则由题意得，，设，，，
则直线AS的方程为，直线BS的方程为，
联立得．
由韦达定理，得，解得，，
同理得，，10分
当PQ的斜率存在时，即时，，
直线PQ的方程为，即，此时PQ恒过点；
当时，，，此时直线PQ的方程为，过点；
当时，，，此时直线PQ的方程为，过点；
综上，直线PQ过定点．
平均气温（℃）
10
7
4
1
月销售量（台）
26
37
55
82
零件尺寸X
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
零件个数Y
甲
6
14
17
17
6
乙
m
8
8
8
22
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
机床加工
零件的质量
合格零件数
不合格零件数
合计
甲
48
12
60
乙
24
36
60
合计
72
48
120
X
0
5
15
35
P