江西省宜丰中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接求交集即可.
【详解】集合，则，
故选：B．
2. 已知函数，则（ ）
A. 14B. 5C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，将自变量代入相应的解析式，即可求得答案.
【详解】由题意知，
故，
故选：B
3. 已知命题，命题，则是q的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数与幂函数的性质，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，又由不等式，可得，
因为集合，所以命题是命题的必要不充分条件.
故选：C.
4. 在正项等比数列中，已知，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件求出公比为，可得数列中的项.
【详解】设正项等比数列公比为，则，
，则，得，解得，
所以.
故选：A
5. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题化在上能成立，利用导数研究右侧单调性并确定值域，即可得参数范围.
【详解】关于的不等式在区间上有解，
在上有解，即在上能成立，
设函数，则恒成立，
在上是单调减函数，且值域为，
要在上有解，则，
即实数的取值范围是.
故选：D
6. 数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的定义可判断是以为首项，2为公差的等差数列，即可利用裂项求和求解.
【详解】将化简为，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.
所以，即，所以
，
所以.
故选:B.
7. 定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据是上“双中值函数”，得到，
再对进行求导，根据题意得到在上有两个根，构造函数，转化为函数在上有两个零点，即可求解.
【详解】解： 是上“双中值函数”，
，
又，
，
即在上有两个根，
令，
其对称轴为：，
故，
解得：
故选B．
【点睛】方法点睛：本题主要根据是上“双中值函数”，转化为在上有两个根，设出二次函数，根据二次函数的性质，列出条件，即可求解的范围.
8. 若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.
【详解】令，即，
当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，
则当时，，即，不满足题意；
当时，令，则，
令，则，因为单调递增，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，有最小值，
又对恒成立，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立.
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，即，当且仅当，时等号成立，
所以的取值范围为.
故选：A
【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.
二、多选题（18分）
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 命题“，”的否定为“，”
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断AB；取特值可判断C；根据全称量词命题的否定形式可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，即，A正确；
对于B，当，时，；
当，时，，故B正确；
对于C，若，则，即；
取，满足，但.
综上，“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D，命题“，”的否定为“，”，D错误.
故选：ABC
10. 已知．则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为3D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A：求关于b的函数的最值并验证等号的取得；对BC：使用基本不等式求最值并验证等号的取得；对D：求关于b的函数的最值并验证等号的取得.
【详解】因为，，所以，，
对于A：，
当，即时，有最大值，而，取不到最值，故A错，
对于B：，
当且仅当，即当时取等号，所以B正确，
对于C：
，
当且仅当，即时等号成立，而，所以取不到最值，故C错，
对于D：因为，所以，所以，
设，，则，
所以在上递减，所以，所以，故D正确，
故选：BD
11. 已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，则（ ）
A. 实数的取值范围是
B.
C. 函数可能有四个零点
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于B，，证明函数是奇函数即可；对于C，将方程等价变形为，由此即可判断；对于D，由，而，进一步求导运算即可；对于A，通过构造函数可得，由此即可判断.
【详解】对于B，，
设，则它的定义域为，它关于原点对称，
且，所以是奇函数，
由题意有三个根，则，故B正确；
对于C，由，
所以，
所以，
即已经有3个实根，
当时，令，则，只需保证可使得方程有4个实根，故C正确；
由B可知，，而，
又，
所以
，故D正确；
对于A，，设，
则，所以，
从而，故A错误.

故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断B选项的关键是发现，进一步只需验证是奇函数即可顺利得解.
三、填空题（15分）
12. 若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为恒成立问题，从而得解.
【详解】因为命题：“，”为假命题，
所以“，” 为真命题，即恒成立，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
13. 如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出的零点2，设的零点，再根据题意求出，由，分离参数可得，设，利用导数求出函数的最值，确定函数的值域即可求解.
【详解】函数有唯一的零点2，
由题意知函数的零点满足，即.
因为，所以，
设，则，，
当时，，是增函数；
当时，，是减函数，
所以，又，，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知数列的前项和为，，，对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法得到不等式，最后利用二次函数性质求解参数范围即可.
【详解】数列中，得
当时，得
累加得，
可得，则，
当时符合上式，则，
所以，
对于任意的，不等式，
即恒成立，∴，
设，
可得，即有，解得或，
则实数t的取值范围是．
故答案为：
四、解答题（77分）
15. 已知函数在点处的切线的斜率为
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）的单调递增区间为、，的单调递减区间为，极大值，极小值.
【解析】
【分析】（1）由求得；
（2）由确定的单调区间和极值．
【小问1详解】
，则， 解得；
【小问2详解】
由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
16. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可；
（2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可.
小问1详解】
设数列的公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
即，
解得或，
因为各项均为正数，
所以，
所以，
由，
得，
解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
则，
所以，
两式相减可得，
整理可得．
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求，分，，讨论的单调性；
（2）分离参数得，求最小值即可.
【小问1详解】
由题意可知的定义域为，
，
令，则，
①当时，，在上恒成立，在上单调递减．
②当时，， 时，，时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
③当时，，时，，时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
综上：当时，在上单调递减．
②当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减．
③当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减．
【小问2详解】
当时，恒成立，故，
所以，即，
由得，
令（），
则，
令，则，在单调递增，
则，即在恒成立，故在单调递增．
所以，故在恒成立．
由在单调递增，而，，故．
18. 已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
（3）设，，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）11（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得，递推作差，得时，，得到数列为等比数列，即可求解通项公式；
（2）原问题等价于（）恒成立，可分为奇数恒成立，为偶数时，等价于恒成立，利用函数的单调性和最值，即可求解；
（3）由（1）得，判定出数列的单调性，求得的值，结合集合的定义即可得出 的范围.
【详解】（1）由与的等差中项为得，①
当时，②
①②得，，有因为在①中令，得
是以，公比为的等比数列
数列的通项公式为
（2）原问题等价于（）恒成立.
当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；
当为偶数时，等价于恒成立，令，，
则等价于对恒成立，，
而的对称轴在轴左边，
所以在上递增，
故即，故正整数的最大值为；
（3）由，及，
得，，
即，所以数列是递减数列，
，，，，
由集合恰有个元素，得.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出数列是递减数列，写出前面5项即可顺利得解.
19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数.
（1）求函数在处的阶帕德近似.
（2）在（1）的条件下： ①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）① 证明见解析，②
【解析】
【分析】（1）设，根据条件分别求得即可；
（2）①作差比较与的大小，证明；
②当时不等式恰好成立，故是的极大值点，求得值再验证即可.
小问1详解】
由题可知函数在处的阶帕德近似，
则，，，
由得，所以，则，
又由得，所以，
由得，
所以，
【小问2详解】
①令，，
因为，
所以及上均单调递减.
当，，即，
而，所以，即，
当，，即，
而，所以，即，
所以不等式恒成立；
②由得在上恒成立，
令，且，所以是的极大值点，
又，故，则，
当时，，
所以，
当时，，，则，
故在上单调递增，所以当时，，
当时，，
令，因为，所以在上单调递减，
所以，
又因为在上，
故当时，，
综上，当时，恒成立.
【点睛】关键点点睛：恒成立，求实数的取值范围时关键是发现，从而确定是的极大值点，从而求得，进而再检验即可，这是用了必要性探路的办法即先求值再检验.