2023-2024学年江西省部分学校高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省部分学校高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有( )
A. 90种B. 30种C. 14种D. 11种
2.根据3对数据A(1,7)，B(3,m)，C(5,16)绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为Y=2.25X+4.25，则m=( )
A. 11B. 10C. 9D. 8
3.若曲线x2t−2+y24−t=1表示椭圆，则实数t的取值范围是( )
A. (2,4)B. (2,3)∪(3,4)
C. (−∞,2)∪(4,+∞)D. (4,+∞)
4.已知事件A与事件B相互独立，P(B−)=15，则P(B|A)=( )
A. 45B. 34C. 14D. 15
5.设随机变量X～B(12,p)，若EX≤4，则DX的最大值为( )
A. 4B. 3C. 83D. 29
6.北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组(景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人)顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组(汤洪波，唐胜杰，江新林3人)入驻“天宫”.随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安.若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有( )
A. 504种B. 432种C. 384种D. 240种
7.已知点P是双曲线C：y29−x24=1上一点，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为( )
A. 14413B. 3613C. 913D. 413
8.已知m∈R，直线l1：mx+y+2m=0与l2：x−my+2m=0的交点P在圆C：(x−2)2+(y−4)2=r2(r>0)上，则r的取值范围是( )
A. ( 2,2 2)B. [ 2,2 2]C. (2 2,4 2)D. [2 2,4 2]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若Cn3=Cn17−n，则n的值可以是( )
A. 10B. 12C. 14D. 15
10.设离散型随机变量X的分布列为：
若离散型随机变量Y满足Y=3X+1，则( )
A. EX=1.6B. EY=5.8C. DX=1.84D. DY=7.56
11.已知倾斜角为π3的直线l经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线m交于点D，则( )
A. 以AF为直径的圆与y轴相切
B. 准线m上存在唯一点Q，使得QA⋅QB=0
C. |BDBF|=2
D. |AFBF|=2
12.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC=4，M，N分别为棱A1D1，AA1的中点，则下列结论正确的是( )
A. MN/​/平面ABC1
B. B1D⊥平面CMN
C. 异面直线CN和AB所成角的余弦值为 63
D. 若P为线段A1C1上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在(x−2x)4的展开式中，常数项是______.(用数字作答)
14.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且DE=23DP，BE=xBA+yBC+zBP，则x+y+z= ______．
15.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都开幕.大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务.大运村共有两个餐厅：餐厅A、餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为______．
16.已知点A，B，C是离心率为 2的双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三点，直线AB，AC，BC的斜率分别是k1，k2，k3，点D，E，F分别是线段AB，AC，BC的中点，O为坐标原点，直线OD，OE，OF的斜率分别是k1′，k2′，k3′.若1k1′+1k2′+1k3′=3，则k1+k2+k3= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知两点P(2,−5)，Q(−4,3)，直线l：2x−y−4=0．
(1)若直线l1经过点P，且l1⊥l，求直线l1的方程；
(2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程．
18.(本小题12分)
从0～6这7个数字中取出4个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
19.(本小题12分)
某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布N(60,100)，规定：分数高于80分为优秀．
(1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；
(2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在(50,80]内的学生人数.参考数据：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ20.(本小题12分)
在菱形ABCD中，∠BAD=π3，AB=2，将菱形ABCD沿着BD翻折，得到三棱锥A−BCD如图所示，此时AC= 6．
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)若点E是CD的中点，求直线BE与平面ABC所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
(1)是否有99.9%的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
(2)统计学中常用R(B|A)=P(B|A)P(B|A)表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当R(B|A)≥1.35时，我们认为事件A条件下B发生有优势.现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计R(B|A)的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势；
(3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数X的概率分布和数学期望．
附：x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
22.(本小题12分)
已知点F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，点P(4,m)(m>p)在C上，且|PF|=5．
(1)求C的方程；
(2)过点F作两条直线l1，l2，l1交C于A，B两点，l2交C于M，N两点，且AB⋅MN=0．
①求证：|AB||MN||AB|+|MN|为定值；
②求四边形AMBN面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：某位学生从5门球类运动课程、
6门田径类运动课程和3门水上运动课程中任选一门，
不同的选法共有5+6+3=14种．
故选：C．
根据分类加法计数原理计算即可．
本题考查分类加法计数原理，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意3对数据A(1,7)，B(3,m)，C(5,16)绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，
得x−=3，y−=23+m3，又Y=2.25X+4.25经过点(3,23+m3)，
所以23+m3=2.25×3+4.25，
解得m=10．
故选：B．
根据线性回归方程的定义可解．
本题考查线性回归方程的定义，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：若曲线x2t−2+y24−t=1表示椭圆，
则t−2>04−t>0t−2≠4−t，解得2所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,4)．
故选：B．
利用二元二次方程与椭圆的关系列式求解即可．
本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，因为事件A与事件B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)，
又由P(B−)=15，则P(B)=1−P(B−)=1−15=45；
故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)=45．
故选：A．
根据题意，求出P(B)，由相互独立事件的性质可得P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)，即可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，随机变量X～B(12,p)，
则EX=12p，若EX≤4，即12p≤4，则有p≤13，
则有DX=12p(1−p)=12(−p2+p)，
由于函数f(p)=−p2+p在区间(0,13]上单调递增，则f(p)max=f(13)=29，
所以(DX)max=12×29=83．
故选：C．
根据题意，先求出p的范围，又由DX=12p(1−p)=12(−p2+p)，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查二项分布的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有A55=120种排法；
第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有14A41AA44=384种排法，
由分类加法计数原理可知，总共有120+384=504种排法．
故选：A．
分景海鹏站最右边和景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论，
本题主要考查了排列组合问题，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由双曲线C的方程知渐近线方程为3x±2y=0，设P(x0,y0)，
由题意，得y029−x024=1，即4y02−9x02=36，
点P到渐近线3x+2y=0的距离d1=|3x0+2y0| 32+22，
点P到渐近线3x−2y=0的距离d2=|3x0−2y0| 32+(−2)2，
所以d1d2=|9x02−4y02|9+4=3613，故B项正确．
故选：B．
由点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程即可得答案．
本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由直线l1，l2的方程知直线l1过定点A(−2,0)，
直线l2过定点B(0,2)，又m×1+1×(−m)=0，所以l1⊥l2，即AP⊥BP，
所以点P在以AB为直径的圆D上，即P在圆D：(x+1)2+(y−1)2=2上，
又P在圆C上，所以圆C与圆D有交点，
即|r− 2|≤|CD|≤r+ 2，又|CD|= (−1−2)2+(1−4)2=3 2，
所以2 2≤r≤4 2，即r的取值范围是[2 2,4 2]．
故选：D．
求得点P的轨迹方程，由题意可得|r− 2|≤|CD|≤r+ 2，可求r的取值范围
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，属中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由组合数性质知3=17−n，或3+17−n=n，且n≥3，n≥17−n，n∈N，
解得n=14，或n=10，都满足n≥3且n≥17−n．
故选：AC．
利用组合数的性质建立方程即可求解．
本题考查了组合数的性质，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由分布列的性质知a=1−0.4−0.3−0.2=0.1，
所以EX=0×0.1+1×0.4+2×0.3+3×0.2=1.6，故A正确；
所以EY=E(3X+1)=3EX+1=5.8，故B正确；
所以DX=0.1×1.62+0.4×0.62+0.3×0.42+0.2×1.42=0.84，故C错误；
所以DY=D(3X+1)=9DX=7.56，故D正确．
故选：ABD．
根据离散型随机变量的分布列的性质求解a的值，再结合离散型随机变量的期望和方差公式求解即可．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了期望和方差的性质，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，F(p2,0)，AF的中点为(x12+p4,y12)，
由抛物线的定义，得|AF|=x1+p2，AF的中点到y轴的距离为x12+p4=12|AF|，
故以AF为直径的圆与y轴相切，故A正确；
对于B：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p，AB的中点到准线的距离为x1+x22+p2=12|AB|，
因此以AB为直径的圆与准线相切，故准线m上存在唯一点Q，使得QA⋅QB=0，故B正确；
对于C、D：如图所示，过点A，B作准线m的垂线，垂足分别为点E，M，由倾斜角为π3，
可得∠MDB=π6，设|BF|=s，则|BM|=s，因为sin∠MDB=|BM||BD|=sinπ6，
所以|BD|=2s，|BD||BF|=2，故C正确；
设|AF|=t，则|AE|=t，因为sin∠MDB=|AE||AD|=tt+s+2s=sinπ6，
所以t=3s，所以|AF|=3s，所以|AF||BF|=3，故D错误．
故选：ABC．
由抛物线的定义和过焦点的直线确定A；由过焦点的线段的长度和准线确定B；由抛物线与直线的关系解三角形确定CD．
本题考查了直线与抛物线的位置关系及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC=4，
M，N分别为棱A1D1，AA1的中点，
以B为坐标原点，BC、BA、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0,4,0)，C(2,0,0)，D(2,4,0)，
A1(0,4,4)，B1(0,0,4)，C1(2,0,4)，
D1(2,4,4)，M(1,4,4)，N(0,4,2)，
对于A，∵NM=(1,0,2),BC1=(2,0,4)=2NM，
∴BC1//MN，又BC1⊂平面ABC1，MN⊄平面ABC1，
∴MN/​/平面ABC1，故A正确；
对于B：B1D=(2,4,−4),CM=(−1,4,4),CN=(−2,4,2)，
设平面CMN的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CM=−x+4y+4z=0m⋅CN=−2x+4y+2z=0，
令z=1，得平面CMN的一个法向量为m=(−2,−32,1)，
∵B1D与m=(−2,−32,1)不平行，
∴B1D⊥平面CMN不成立，故B错误；
对于C：CN=(−2,4,2),AB=(0,−4,0)，
设异面直线CN和AB 所成的角为θ，
则csθ=|cs〈CN,AB〉|=|CN⋅AB||CN|⋅|AB|=|−16| 4+16+4×4= 63，故C错误；
对于 D，设A1P=λA1C1=(2λ,−4λ,0)(λ∈[0,1])，
∴CP=CA1+A1P=(2λ−2,4−4λ,4)，
又平面CMN的一个法向量为m=(−2,−32,1)，
∴点P到平面CMN的距离d=|m⋅CP||m|=2λ+2 292，不是定值，故D正确．
故选：AD．
建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、点到平面距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】24
【解析】【分析】
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
【解答】
解：在(x−2x)4的展开式中，通项公式为Tr+1=C4r⋅(−2)r⋅x4−2r，令4−2r=0，求得r=2，
可得常数项为C42⋅(−2)2=24，
故答案为24．
14.【答案】43
【解析】解：连接BD，如图所示：
则BE=BD+DE=BD+23DP=BD+23(BP−BD)=13BD+23BP=13(BA+BC)+23BP=13BA+13BC+23BP，
又BE=xBA+yBC+zBP，所以x=13,y=13,z=23,x+y+z=43．
故答案是：43．
由已知选取BA,BC,BP为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】0.7
【解析】解：设A1=“第i天去A餐厅用餐”，B1=“第i天去B餐厅用餐”(i=1,2)，
则A1与B1互斥，根据题意得：
P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.8，P(A2|B1)=0.6，
则运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为：
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2B1)
=0.5×0.8+0.5×0.6=0.7．
故答案为：0.7．
设A1=“第i天去A餐厅用餐”，B1=“第i天去B餐厅用餐”(i=1,2)，则A1与B1互斥，利用全概率公式能求出运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率．
本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】3
【解析】解：因为双曲线Γ的离心率为 2，所以ba=1．
不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，因为点A，B在Γ上，所以x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=1,
两式相减，得(x1+x2)(x1−x2)a2=(y1+y2)(y1−y2)b2，
因为点D是AB的中点，所以x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
所以(y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=b2a2，即y0(y1−y2)x0(x1−x2)=b2a2，所以k1k1′=y1−y2x1−x2⋅y0−0x0−0=b2a2=1．
同理k2k2′=1，k3k3′=1．
因为1k1′+1k2′+1k3′=3，所以k1+k2+k3=1k1′+1k2′+1k3′=3．
故答案为：3．
根据点差法的内容，设点，作差，计算得出y0(y1−y2)x0(x1−x2)=b2a2，结合离心率为 2，求得k1k1′=1.同理求得k2k2′=1，k3k3′=1.代入计算即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化思想和计算能力，属于中档题．
17.【答案】(1)解：直线l：2x−y−4=0的斜率为2，
设直线l1的斜率为k，由l1⊥l，得2k=−1，解得k=−12，
又直线l1经过点P(2,−5)，
所以直线l1的方程为y−(−5)=−12(x−2)，即x+2y+8=0．
(2)方法一：kPQ=3+5−4−2=−43，所以PQ的中垂线的斜率为34，
又PQ的中点为(−1,−1)，所以PQ的中垂线的方程为y+1=34(x+1)，即y=34x−14．
因为P，Q两点在圆C上，所以圆心C在PQ的中垂线上，
又圆心C在直线l上，由y=34x−14,2x−y−4=0,得x=3,y=2,即圆心C的坐标为(3,2)，
又圆C的半径r=|CP|= (3−2)2+(2+5)2=5 2，
所以圆C的方程为(x−3)2+(y−2)2=50．
方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为(a,2a−4)，半径为r，
所以圆C的方程为(x−a)2+(y−2a+4)2=r2，
又P，Q两点在圆C上，
所以(2−a)2+(−5−2a+4)2=r2(−4−a)2+(3−2a+4)2=r2，解得a=3,r=5 2.
所以圆C的方程为(x−3)2+(y−2)2=50．
【解析】(1)易知直线l：2x−y−4=0的斜率为2，再根据l1⊥l结合直线l1经过点P(2,−5)求解；
(2)方法一：求得PQ的中垂线方程，再由圆心C在直线l上，由y=34x−14,2x−y−4=0,求得圆心即可；
方法二：根据圆C的圆心在直线l上，可设圆心C的坐标为(a,2a−4)，半径为r，再由P，Q两点在圆C上，代入圆的方程求解．
本题主要考查直线和圆的位置关系与应用，圆的方程的求法，是中档题．
18.【答案】解：(1)第一步：千位不能为0，有6种选择；第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择；
第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择；第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择．
根据分步计数原理，能组成6×6×5×4=720个没有重复数字的四位数．
(2)当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有6×5×4=120个；
当个位数字是2或4或6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有5×5×4=100个．
根据分类计数原理，能组成120+100×3=420个没有重复数字的四位偶数．
【解析】(1)首位不能为0，分四步完成；(2)首位不能为0，末位是偶数，分类计算即可．
本题考查加法原理，乘法原理，属于基础题．
19.【答案】解：(1)设学生的物理得分为随机变量X，则X～N(60,100)，所以μ=60，σ=10，
所以P(40≤X≤80)=P(μ−2σ X≤μ+2σ)=0.9544，
P(X>80)=1−P(40≤X≤80)2=0.0228，
所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为2.28%．
(2)由题意，得P(μ−σ≤X≤μ+a)=0.6826，P(μ−2a≤X≤μ+2a)=0.9544，
即P(50≤X≤70)=0.6826，P(40≤X≤80)=0.9544，
所以P(50≤X≤60)=12P(50=12×0.6826=0.3413,P(60≤X≤80)=12P(40%=12×0.9544=0.4772,
所以P(50≤X≤80)=P(50≤X≤60)+P(60≤X≤80)=0.3413+0.4772=0.8185．
又40000×0.8185=32740，所以全市物理成绩在(50,80]内的学生人数估计为32740人．
【解析】(1)由P(40≤X≤80)=P(μ−2σ X≤μ+2σ)=0.9544计算可得；(2)P(50≤X≤80)=P(50≤X≤60)+P(60≤X≤80)，由此计算可得．
本题考查正态分布的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=π3，
所以△BAD与△BCD均为正三角形，
取BD的中点O，连结OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，
因为AB=2，所以OA=OC= 3，
因为OA2+OC2=6=AC2，所以OA⊥OC，
又BD∩OC=O，BD，OC⊂平面BCD，所以OA⊥平面BCD，
因为OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD；
(2)由(1)可知，OA，OB，OC两两垂直，
以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0, 3)，B(1,0,0)，C(0, 3,0)，D(−1,0,0)，
因为E是CD的中点，所以E(−12, 32,0)，
所以BA=(−1,0, 3)，BC=(−1, 3,0)，BE=(−32, 32,0)，
设m=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量，则BA⊥m，BC⊥m，
则BA⋅m=−x+ 3z=0BC⋅m=−x+ 3y=0，
令y=1，得x= 3，z=1，所以m=( 3,1,1)，
设直线BE与平面ABC所成角为θ，
所以sinθ=|cs|=|BE⋅m||BE|⋅|m|=|−3 32+ 32| 3⋅ 5= 55，
所以直线BE与平面ABC所成角的正弦值为 55．
【解析】(1)取BD的中点O，由已知得到OA和OC的长，由勾股定理的逆定理得到OA⊥OC，再结合OA⊥BD证明OA⊥平面BCD，由此证明平面ABD⊥平面BCD；
(2)以O为原点建立空间直角坐标系，分别写出直线BE的方向向量和平面ABC的法向量，利用空间坐标求出角的正弦值．
本题考查面面垂直的证明和直线与平面所成角的求法，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得χ2=200×(60×70−40×30)2100×100×90×110=18.182，
由于18.182>10.828，所以有99.9%的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；
(2)R(B|A)=P(B|A)P(B−|A)=P(AB)P(AB−)=n(AB)n(AB−)=7040=74=1.75，
因为1.75>1.35，所以认为事件A条件下B发生有优势；
(3)按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，随机变量X的可能取值为1，2，3，
P(X=1)=C31⋅C22C53=310，
P(X=2)=C32⋅C21C53=610=35，
P(X=3)=C33C53=110，
所以X的分布列为：
所以数学期望E(X)=1×310+2×35+3×110=95．
【解析】(1)运用χ2公式计算与10.828比较即可；
(2)计算出事件A条件下事件B发生的优势与1.35比较即可；
(3)按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，随机变量X的可能取值为1，2，3，计算出各自对应的概率即可求解．
本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望计算，属于中档题．
22.【答案】解：(1)抛物线C的准线方程为y=−p2，
由题意及抛物线的定义可得42=2pmm+p2=5，解得p=2m=4或p=8m=1，
又m>p，所以p=2，
所以抛物线C的方程为x2=4y；
(2)①证明：由题意知F(0,1)，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l1的方程为y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x2=4y,y=kx+1,得x2−4kx−4=0，
所以Δ=16k2+160,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，
所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=4k2+4=4(k2+1)，
因为AB⋅MN=0，所以l1⊥l2，所以将k换成−1k，得|MN|=4(1k2+1)=4(k2+1)k2，
所以|MN|+|AB||AB||MN|=1|AB|+1|MN|=14(k2+1)+k24(k2+1)=14，
即|AB||MN||AB|+|MN|为定值4；
②解：四边形AMBN的面积S=12|AB||MN|=12×4(k2+1)×4(k2+1)k2=8(k2+1k2+2)⩾8×(2 k2×1k2+2)=32，
当且仅当k2=1k2，即k=±1时等号成立，
所以四边形AMBN面积的最小值是32．
【解析】(1)由抛物线的定义即可求解；
(2)①利用设而不求将|AB|，|MN|表示出来即可得证；
②利用基本不等式即可求解．
本题考查了抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，属于中档题．X
0
1
2
3
P
a
0.4
0.3
0.2
直播带货评级主播的学历层次
优秀
良好
合计
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200
α=P(x2≥k)
0.050
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
1
2
3
P
310
35
110