高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆练习题，共73页。

知识点1 椭圆的简单几何性质
注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．
(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．
(6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
拓展：用离心率e＝eq \f(c,a)来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cs∠BF2O＝eq \f(c,a)，记e＝eq \f(c,a)，则0(7)常用椭圆方程的设法
①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
②有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
【即学即练1】求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
【即学即练2】椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±10,0)B．(±eq \r(69)，0)
C．(0，±13)D．(0，±eq \r(69))
【即学即练3】已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．
【即学即练4】比较椭圆①x2＋9y2＝36与②eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的形状，则________更扁(填序号)．
【即学即练5】焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1D．x2＋eq \f(y2,4)＝1
【即学即练6】与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1B．x2＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,6)＋y2＝1D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1
【即学即练7】若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
【即学即练8】椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练9】已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
知识点2 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
【即学即练10】已知点(2,3)在椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1上，则下列说法正确的是( )
A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上
【即学即练11】已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,36)＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A．1 B．1或2
C．2D．0
知识点3 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【即学即练12】对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的位置关系．
【即学即练13】若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是( )
A.eq \f(\r(6),3)B．－eq \f(\r(6),3)
C．±eq \f(\r(6),3)D．±eq \f(\r(3),3)
知识点4 直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
(2)根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2).
注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
（2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
【即学即练14】已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
【即学即练15】已知F是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )
A．6B．15
C．20D．12
【即学即练16】已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
考点一 由标准方程研究几何性质
解题方略：
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
【例1-1】已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
【例1-2】椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（ ）
A．2B．4C．D．
变式1：已知椭圆的焦距为，则m的值不可能为（ ）
A．1B．7C．D．
【例1-3】【多选】已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在x轴上B．的焦距相等
C．没有公共点D．比更接近圆
变式1：已知椭圆与椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．焦距相等D．离心率相等
考点二 利用几何性质求标准方程
解题方略：
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．
注：（1）与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
（2）有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
【例2-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是eq \f(4,5)；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
变式1：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(5),5)， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
变式2：若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
变式3：古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（ ）
A． + = 1B． + = 1
C． + = 1D． + = 1
考点三 点与椭圆的位置关系
解题方略：
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
（一）点和椭圆位置关系的判断
【例3-1】点与椭圆的位置关系为（ ）
A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定
（二）根据点和椭圆位置关系求参数
【例3-2】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式1：若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
（三）点和椭圆位置关系的应用
【例3-3】若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
变式1：已知椭圆经过点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点四 求椭圆的离心率
解题方略：
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
（一）求椭圆的离心率
【例4-1】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4)D.eq \f(\r(6),4)
变式1：若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，0))分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(16,17)B.eq \f(4\r(17),17)
C.eq \f(4,5)D.eq \f(2\r(5),5)
变式2：已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝2eq \(PB,\s\up7(―→))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),2)B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,3)D.eq \f(1,2)
变式3：已知椭圆E：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线y＝b相交于A，B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于( )
A.eq \f(\r(3),6)B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3)D.eq \f(\r(3),2)
变式4：F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴的顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，那么该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2)B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(3),2)
变式5：已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（ ）
A．B．C．D．
变式6：椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
变式7：已知直线l：过椭圆的左焦点F，与椭圆在x轴上方的交点为P，Q为线段PF的中点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
（二）求椭圆的离心率的取值范围
【例4-2】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
变式1：椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
变式2：已知椭圆，对于C上的任意一点P，圆上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3：已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．.
变式4：已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（三）由椭圆的离心率求参数（范围）
【例4-3】已知椭圆eq \f(x2,k＋8)＋eq \f(y2,9)＝1的离心率e＝eq \f(1,2).求k的值．
变式1：已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
变式2：设e是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率，且e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3)B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(16,3)))
C．(0,3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)，＋∞))D．(0,2)
考点五 直线与椭圆的位置关系
解题方略：
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．
【例5-1】直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
变式1：若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，求m的取值范围．
变式2：若直线与焦点在轴的椭圆恒有两个公共点，则实数的范围_____．
变式3：已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点六 弦长及中点弦问题
解题方略：
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))
由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，变形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
（一）弦长问题
【例6-1】已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点、右顶点和下顶点分别为，坐标原点到直线的距离为，则 的面积为（ ）
A．B．4C．D．
变式2：已知直线l：y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝eq \f(4\r(2),3)，求k的值．
变式3：过椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
（二）中点弦问题
【例6-2】若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为( )
A．B．C．D．
变式1：若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式2：已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点且线段的中点为，则直线的斜率为________.
变式3：直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（ ）
A．B．C．D．
考点七 求椭圆的参数或范围问题
【例7-1】已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知点P是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，则当为钝角时，点P的横坐标可以为______．
变式2：已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式3：椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
考点八 求椭圆的最值问题
解题方略：
求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
【例8-1】椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式2：已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点九 椭圆的定点、定值问题
【例9-1】已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值
变式1：已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
变式2：已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
考点十 椭圆的实际应用问题
解题方略：
解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
【例10-1】(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C.eq \f(c1,a1)eq \f(c2,a2)
变式1：神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )
A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2RD．d1＋d2
变式2：某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法：
①焦距为n－m；
②短轴长为eq \r(m＋Rn＋R)；
③离心率e＝eq \f(n－m,m＋n＋2R).
其中正确说法的序号为________．
考点十一 与椭圆有关的综合问题
解题方略：
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
【例11-1】已知椭圆的左右焦点分别为，，点，均在椭圆上，且均在轴上方，满足条件，，则（ ）
A．B．C．D．
变式1：设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得 成立的点的个数为（ ）
A．B．C．D．
变式2：如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式3：阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3B．6C．D．
题组A 基础过关练
1、椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±10,0)B．(±eq \r(69)，0)
C．(0，±13)D．(0，±eq \r(69))
2、椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)；
(2)过点M(1,2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率．
4、若一个椭圆长轴的长度与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(4,5)B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5)D.eq \f(1,5)
5、已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6、圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.
7、直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
8、已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为_____.
9、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2)，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
题组B 能力提升练
10、(多选)已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为( )
A．4B.eq \r(34)
C．6D.eq \r(33)
11、已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
12、过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线被椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1所截线段的中点坐标为________．
13、已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14、椭圆＝1的一个焦点为F，过原点O作直线（不经过焦点F）与椭圆交于A，B两点，若△ABF的面积是20，则直线AB的斜率为（ ）
A．B．C．D．
15、若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则eq \f(y,x－2)的最小值为( )
A．1B．－1
C．－eq \f(2\r(3),3)D．以上都不对
16、过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A．B．C．D．
17、已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为eq \f(2\r(10),5)，求直线的方程．
18、已知点P(4,2)是直线l被椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
题组C 培优拔尖练
19、椭圆C：左右焦点分别为，，P为C上除左右端点外一点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
20、已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
21、已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．
22、如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq \f(1,3)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，若eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值是12，求椭圆的方程．
23、在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－eq \r(3))，(0，eq \r(3))的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))？此时|AB|的值是多少．
24、已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
课程标准
核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质．
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.
直观想象
数学运算
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(03.1.2 椭圆的简单几何性质
知识点1 椭圆的简单几何性质
注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．
(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．
(6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
拓展：用离心率e＝eq \f(c,a)来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cs∠BF2O＝eq \f(c,a)，记e＝eq \f(c,a)，则0(7)常用椭圆方程的设法
①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
②有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
【即学即练1】求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
【解析】把已知方程化成标准方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1，于是a＝9，b＝3，c＝eq \r(81－9)＝6eq \r(2)，
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),3).
两个焦点的坐标分别为F1(－6eq \r(2)，0)，F2(6eq \r(2)，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
【即学即练2】椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±10,0)B．(±eq \r(69)，0)
C．(0，±13)D．(0，±eq \r(69))
【解析】由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(69)，故焦点坐标为(0，±eq \r(69))．故选D
【即学即练3】已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．
【解析】由题设易知：椭圆参数，即有，可得．
故选：A
【即学即练4】比较椭圆①x2＋9y2＝36与②eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的形状，则________更扁(填序号)．
【解析】x2＋9y2＝36化为标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,4)＝1，故离心率e1＝eq \f(4\r(2),6)＝eq \f(2\r(2),3)；eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的离心率e2＝eq \f(2,3).因为e1＞e2，故①更扁．
【即学即练5】焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1D．x2＋eq \f(y2,4)＝1
【解析】依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，故所求椭圆的标准方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.故选A
【即学即练6】与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1B．x2＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,6)＋y2＝1D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1
【解析】椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq \r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为
x2＋eq \f(y2,6)＝1.故选B
【即学即练7】若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
【解析】∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴eq \r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq \f(1,4).
【即学即练8】椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题可知，即，所以椭圆的离心率.
故选：A.
【即学即练9】已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
知识点2 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
【即学即练10】已知点(2,3)在椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1上，则下列说法正确的是( )
A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上
【解析】D
【即学即练11】已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,36)＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A．1 B．1或2
C．2D．0
【解析】因为直线过定点(3，－1)且eq \f(32,25)＋eq \f(－12,36)＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．故选C
知识点3 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【即学即练12】对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的位置关系．
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，
得eq \f(x2,4)＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－eq \r(5)0，直线与椭圆相交；
当m＝－eq \r(5)或m＝eq \r(5)时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m<－eq \r(5)或m>eq \r(5)时，Δ<0，直线与椭圆相离．
【即学即练13】若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是( )
A.eq \f(\r(6),3)B．－eq \f(\r(6),3)
C．±eq \f(\r(6),3)D．±eq \f(\r(3),3)
【解析】把y＝kx＋2代入eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝eq \f(2,3)，∴k＝±eq \f(\r(6),3).
故选C
知识点4 直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
(2)根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2).
注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
（2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
【即学即练14】已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
【解析】易求得a＝5，b＝4，所以|AB|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(2×42,5)＝eq \f(32,5).
【即学即练15】已知F是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )
A．6B．15
C．20D．12
【解析】由题意知，S△ABF＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|≤eq \f(1,2)|OF|·2b＝12.故选D
【即学即练16】已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点，依题意，，
相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，
又为线段的中点，则，，因此有，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A
【即学即练17】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点且线段的中点为，则直线的斜率为________.
【解析】由题意可得，整理可得，
设，则，
两式相减可得，
的中点为，，
则直线斜率.
故答案为：.
考点一 由标准方程研究几何性质
解题方略：
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
【例1-1】已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
【解析】(1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝eq \f(3,5)；
(2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝eq \f(3,5).
【例1-2】椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（ ）
A．2B．4C．D．
【解析】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得．
故选：C.
变式1：已知椭圆的焦距为，则m的值不可能为（ ）
A．1B．7C．D．
【解析】由题知，.
若，则，，
所以，即；
若，则，，即.
故选：D
【例1-3】【多选】已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在x轴上B．的焦距相等
C．没有公共点D．比更接近圆
【解析】对于A，因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；
对于B，因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
对于C，作出椭圆的图象，由图象可知，椭圆没有公共点，所以C正确；
对于D，因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确.
故选：BCD.
变式1：已知椭圆与椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．焦距相等D．离心率相等
【解析】∵，
且，
椭圆与椭圆的关系是有相等的焦距．
故选：C．
考点二 利用几何性质求标准方程
解题方略：
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．
注：（1）与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
（2）有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
【例2-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是eq \f(4,5)；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【解析】(1)设椭圆的方程为
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
变式1：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(5),5)， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
【解析】∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)，
∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,5)，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(5y2,4a2)＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴eq \f(25,a2)＋eq \f(5×16,4a2)＝1.
解得a2＝45.∴椭圆方程为eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1.
答案：eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1
变式2：若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】直线交x轴于，交y轴于，依题意，，
所以椭圆方程为.
故选：B
变式3：古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为椭圆的焦点在轴上，故可设其方程为，
根据题意可得，，故可得，
故所求椭圆方程为：.
故选：C.
变式4：已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（ ）
A． + = 1B． + = 1
C． + = 1D． + = 1
【解析】依题意，
所以椭圆方程为.
故选：C
考点三 点与椭圆的位置关系
解题方略：
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
（一）点和椭圆位置关系的判断
【例3-1】点与椭圆的位置关系为（ ）
A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定
【解析】，可知点在椭圆内．故选：B.
（二）根据点和椭圆位置关系求参数
【例3-2】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,
故选：B.
变式1：若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】，所以，故选：B.
（三）点和椭圆位置关系的应用
【例3-3】若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
【解析】因为直线和圆没有交点，
所以圆心到直线的距离，
可得：，
即点在圆内，
又因为圆内切于椭圆，
所以点在椭圆内，
即过点的直线与椭圆有两个交点.
故选：C.
变式1：已知椭圆经过点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为椭圆经过点，所以，所以，
则．
因为椭圆经过点，所以，即，
故的取值范围是．
故选：D．
考点四 求椭圆的离心率
解题方略：
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
（一）求椭圆的离心率
【例4-1】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4)D.eq \f(\r(6),4)
【解析】如图，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cs 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq \f(1,2)，故选A.
变式1：若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，0))分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(16,17)B.eq \f(4\r(17),17)
C.eq \f(4,5)D.eq \f(2\r(5),5)
【解析】依题意得eq \f(c＋\f(b,2),c－\f(b,2))＝eq \f(5,3)，∴c＝2b，∴a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(5)b，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2b,\r(5)b)＝eq \f(2\r(5),5).故选D.
变式2：已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝2eq \(PB,\s\up7(―→))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),2)B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,3)D.eq \f(1,2)
【解析】如图，∵eq \(AP,\s\up7(―→))＝2eq \(PB,\s\up7(―→))，∴OA＝2OF，∴a＝2c，∴e＝eq \f(1,2).故选D
变式3：已知椭圆E：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线y＝b相交于A，B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于( )
A.eq \f(\r(3),6)B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3)D.eq \f(\r(3),2)
【解析】不妨设点B在第一象限，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)，b))，由题意知OB的倾斜角是60°，所以eq \f(b,\f(bc,a))＝eq \f(a,c)＝eq \r(3)，则椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).故选C.
变式4：F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴的顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，那么该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2)B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(3),2)
【解析】如图所示，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．
∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，
∴eq \f(c,a)＝eq \f(m,b)，①
又∵P(－c，m)在椭圆上，∴eq \f(c2,a2)＋eq \f(m2,b2)＝1，②
将①代入②得eq \f(2c2,a2)＝1，
即e2＝eq \f(1,2)，∴e＝eq \f(\r(2),2)，故选A.
变式5：已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（ ）
A．B．C．D．
【解析】由椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，
可得：.如图示：
.
设，则.
由椭圆的定义可得：，即，解得：.
所以在中，，所以.
在中，，所以.
所以，即，所以，所以（舍去）.
故选：D
变式6：椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
变式7：已知直线l：过椭圆的左焦点F，与椭圆在x轴上方的交点为P，Q为线段PF的中点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】直线：过椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，
所以，
又是的中点，是的中点，所以，
又，所以，又，所以是等边三角形，
所以，又在椭圆上，所以，
所以，所以离心率为，
故选：．
（二）求椭圆的离心率的取值范围
【例4-2】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
【解析】依题意可得2c≥2b，即c≥b.
所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，所以e≥eq \f(\r(2),2).
又因为0所以椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
变式1：椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
【解析】设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2.
∴y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即
(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝eq \f(ab2,a2－b2)，又0∴0由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>eq \f(\r(2),2).
又∵0变式2：已知椭圆，对于C上的任意一点P，圆上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】
如上图，当P位于右端点（做端点也相同），如果，则对于C上任意的点P，在圆O上总存在M，N点使得
，
此时， ， ；
故选：A.
变式3：已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．.
【解析】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B
变式4：已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为是的中点，是的中点，所以，
因为平分，所以，
因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．
故选：A．
（三）由椭圆的离心率求参数（范围）
【例4-3】已知椭圆eq \f(x2,k＋8)＋eq \f(y2,9)＝1的离心率e＝eq \f(1,2).求k的值．
【解析】分两种情况进行讨论．
(1)当椭圆的焦点在x轴上时，由a2＝k＋8，b2＝9，得
c2＝k－1.
∵e＝eq \f(1,2)，∴eq \f(k－1,k＋8)＝eq \f(1,4)，解得k＝4.
(2)当椭圆的焦点在y轴上时，
由a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k.
∵e＝eq \f(1,2)，∴eq \f(1－k,9)＝eq \f(1,4).解得k＝－eq \f(5,4).
综上可得，k＝4或k＝－eq \f(5,4).
变式1：已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，则，所以.
故选：D
变式2：设e是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率，且e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3)B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(16,3)))
C．(0,3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)，＋∞))D．(0,2)
【解析】当0＜k＜4时，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(4－k),2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
即eq \f(1,2)＜eq \f(\r(4－k),2)＜1⇒1＜4－k＜4，即0＜k＜3；
当k＞4时，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(k－4),\r(k))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
即eq \f(1,2)＜eq \f(\r(k－4),\r(k))＜1⇒eq \f(1,4)＜eq \f(k－4,k)＜1⇒eq \f(1,4)＜1－eq \f(4,k)＜1⇒0＜eq \f(4,k)＜eq \f(3,4)⇒k＞eq \f(16,3).
综上，实数k的取值范围为(0,3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)，＋∞)).
故选C
考点五 直线与椭圆的位置关系
解题方略：
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．
【例5-1】直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【解析】，在椭圆内，
恒过点，直线与椭圆相交.
故选：A.
变式1：若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，求m的取值范围．
【解析】∵直线y＝kx＋1过定点A(0,1)．
由题意知，点A在椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1内或椭圆上，
∴eq \f(02,5)＋eq \f(12,m)≤1，∴m≥1.
又椭圆焦点在x轴上∴m<5，
故m的取值范围为[1,5).
变式2：若直线与焦点在轴的椭圆恒有两个公共点，则实数的范围_____．
【解析】直线恒过定点，要保证直线与椭圆有两个公共点，定点需在椭圆内，∴，又∵椭圆的焦点在轴上，∴．
故答案为：(2，4)﹒
变式3：已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：B
考点六 弦长及中点弦问题
解题方略：
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))
由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，变形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
（一）弦长问题
【例6-1】已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由椭圆知，，所以，
所以右焦点坐标为，则直线的方程为，
设，
联立，消y得，，
则，
所以.
即弦AB长为.
故选：C.
变式1：已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点、右顶点和下顶点分别为，坐标原点到直线的距离为，则 的面积为（ ）
A．B．4C．D．
【解析】设，
由题意可知，其中，
所以的方程为，即
所以原点到直线的距离为，所以，即，；
所以直线的方程为，
所以到直线的距离为；
又，
所以 的面积为.
故选：C.
变式2：已知直线l：y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝eq \f(4\r(2),3)，求k的值．
【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y并化简得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－eq \f(4k,1＋2k2)，x1x2＝0.
由|MN|＝eq \f(4\r(2),3)，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝eq \f(32,9)，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝eq \f(32,9)，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq \f(32,9)，
即(1＋k2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4k,1＋2k2)))2＝eq \f(32,9).
化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.
变式3：过椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
【解析】过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得eq \f(12,4)＋eq \f(y2,3)＝1，解得y2＝eq \f(9,4)，即y＝±eq \f(3,2)，所以最短弦的长为2×eq \f(3,2)＝3.
答案：4,3
（二）中点弦问题
【例6-2】若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为( )
A．B．C．D．
【解析】设.
则
两式相减得
即
因为,线段AB的中点为,所以
所以
所以直线的方程为,即
故选: A
变式1：若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设弦被点平分，弦的两个端点,为 ，
则， ，
两式作差变形可得 ,即 ，
而 ，
故，即弦的斜率为-1，
所以弦的方程为 ，即 ，
故选：B.
变式2：已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点且线段的中点为，则直线的斜率为________.
【解析】由题意可得，整理可得，
设，则，
两式相减可得，
的中点为，，
则直线斜率.
故答案为：.
变式3：直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点与，
则，，
所以，，
又点与在椭圆上，
所以，，
作差可得，
即，
所以，
故选：A.
考点七 求椭圆的参数或范围问题
【例7-1】已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设椭圆上关于直线的对称的两点分别为，
的中点为，直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，得，
消元可得，
，
，，，
，，
又点在直线上，，
，，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：C
变式1：已知点P是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，则当为钝角时，点P的横坐标可以为______．
【解析】设，由题意可知，
即．
因为点P在椭圆上，所以，
所以，
解得，可以取1（只要在内即可）．
故答案为：1（答案不唯一）．
变式2：已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设椭圆的半焦距为，因为上存在无数个点满足：，
所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，
所以，所以，所以.
故选：D
变式3：椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【解析】由题意得：
由椭圆可知其左顶点，右顶点．
设，，则得．
记直线的斜率为，直线的斜率为，则
直线斜率的取值范围是，，
直线斜率的取值范围是，
故选：A
考点八 求椭圆的最值问题
解题方略：
求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
【例8-1】椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，设，
设点到直线：的距离，
所以有，
其中，
所以当时，有最小值，
故选：C
变式1：已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，即为直角三角形，即，要使得最小，则最小，，则的最小值为，即的最小值为.
故选：D
变式2：已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得，由,得，
则,
设()，由，得，
则，
又，由二次函数的性质可知，
，
所以的最小值为.
故选：C.
考点九 椭圆的定点、定值问题
【例9-1】已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值
【解析】（1）由题意椭圆经过点 ，离心率为，
可得，解得，
故椭圆C的方程为
（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，
由，可得，
由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，
则，解得，
设,则，
，
故
，
即为定值.
变式1：已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
【解析】（1）依题意，又，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，
且，所以，即，
又，，所以，
若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，
则，所以，
所以，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，
所以，，，
所以
所以，
整理得，
又，
又原点到的距离，
所以，
将代入得，
所以，
综上可得，四边形的面积为定值.
变式2：已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
（2）设，，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为，联立方程组
消去y得，由，得，
所以，．
因为点，所以直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为，
即，
所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设，，直线l的方程为，
联立方程组消去x得，
由，得或，所以，．
因为点，则直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为
，
此时直线AD恒过点（1,0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．
综上，直线AD恒过点（1，0）．
考点十 椭圆的实际应用问题
解题方略：
解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
【例10-1】(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C.eq \f(c1,a1)eq \f(c2,a2)
【解析】由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，aeq \\al(2,1)＋ceq \\al(2,2)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)＋ceq \\al(2,1)＋2a2c1，
所以aeq \\al(2,1)－ceq \\al(2,1)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)－ceq \\al(2,2)＋2a2c1，
即beq \\al(2,1)＋2a1c2＝beq \\al(2,2)＋2a2c1，由图可得，beq \\al(2,1)>beq \\al(2,2)，
所以2a1c2<2a2c1，eq \f(c2,a2)故选BD
变式1：神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )
A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2RD．d1＋d2
【解析】设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d1＋R＝a－c，,d2＋R＝a＋c，))则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.故选D
变式2：某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法：
①焦距为n－m；
②短轴长为eq \r(m＋Rn＋R)；
③离心率e＝eq \f(n－m,m＋n＋2R).
其中正确说法的序号为________．
解析：由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝eq \f(m＋n＋2R,2)，∴2b＝2eq \r(a2－c2)＝2eq \r(m＋Rn＋R)，e＝eq \f(n－m,m＋n＋2R)，故①③正确，②不正确．
答案：①③
考点十一 与椭圆有关的综合问题
解题方略：
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
【例11-1】已知椭圆的左右焦点分别为，，点，均在椭圆上，且均在轴上方，满足条件，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，由，得，解得（舍），，则，即，设，则，因为，所以，解得，因为，，所以（舍）.
故选：D
变式1：设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得 成立的点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，
∵分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，
∴，，
∵，
∴，即①，
又∵为椭圆上任意一点，∴②，
联立①②得，或，
∴使得成立的点P的个数为2.
故选：B.
变式2：如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点关于原点的对称点为点，连接、，如下图所示：
因为为、的中点，则四边形为平行四边形，可得且，
因为，故、、三点共线，设、，
易知点，，，
由题意可知，，可得，
若直线与轴重合，设，，则，不合乎题意；
设直线的方程为，联立，可得，
由韦达定理可得，得，
，则，可得，故，
因此，.
故选：A.
变式3：阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3B．6C．D．
【解析】椭圆的面积，即①.
因为点P为椭圆C的上项点，所以.
因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以.
因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②
①②联立解得：.
所以椭圆C的长轴长为2a=6.
故选：B
题组A 基础过关练
1、椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±10,0)B．(±eq \r(69)，0)
C．(0，±13)D．(0，±eq \r(69))
【解析】由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(69)，故焦点坐标为(0，±eq \r(69))．
故选D
2、椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【解析】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为，
当椭圆的焦点在轴上时，，，椭圆方程为，
故选：C.
3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)；
(2)过点M(1,2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率．
【解析】(1)当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝eq \f(\r(6),3)，所以c＝eq \r(6)，从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝eq \f(\r(6),3)，所以eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(6),3)，
把b＝3代入，得a2＝27，
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为
eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
(2)设所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，
将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，
解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，
即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
4、若一个椭圆长轴的长度与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(4,5)B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5)D.eq \f(1,5)
【解析】由题意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝(a＋c)2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2,3a2－2ac－5c2＝0,5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq \f(3,5)(负值舍去)．故选B
5、已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为椭圆的离心率为，
所以，解得，
则椭圆的离心率.
故选：C.
6、圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.
【解析】因为圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，
所以曲线为椭圆，且，
所以，
解得，
故答案为：
7、直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】由题意，椭圆，可得，
则椭圆的右顶点为，上顶点为，
又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.
故选：C.
8、已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为_____.
【解析】由题意，椭圆，可得，可得，
所以椭圆与坐标轴的交点分别为，
此时构成的四边形为菱形，则面积为.
故答案为：.
9、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2)，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
【解析】设椭圆C的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由e＝eq \f(\r(2),2)知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，从而eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,2)，eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2).由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.
故椭圆C的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
题组B 能力提升练
10、(多选)已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为( )
A．4B.eq \r(34)
C．6D.eq \r(33)
【解析】∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq \r(34).综上可知，实数m的值为4或eq \r(34).
11、已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意知，
，消去y，得，
则，，
所以A、B两点中点的横坐标为：，
所以中点的纵坐标为：，
即线段AB的中点的坐标为.
故选：B
12、过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线被椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1所截线段的中点坐标为________．
【解析】过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线l方程为y＝eq \f(4,5)(x－3)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,5)x－3，,\f(x2,25)＋\f(y2,16)＝1))得x2－3x－8＝0.
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝3，y1＋y2＝eq \f(4,5)(x1＋x2)－eq \f(24,5)＝－eq \f(12,5)，
∴直线被椭圆所截线段的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(6,5))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(6,5)))
13、已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图根据对称性，点D在直线y=x上，可设，则，
∴，
可得，
，即，又
解得.
故选：C.
14、椭圆＝1的一个焦点为F，过原点O作直线（不经过焦点F）与椭圆交于A，B两点，若△ABF的面积是20，则直线AB的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由椭圆＝1，则焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，不妨取F(5,0)．
①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝0，此时AB＝4，
＝AB•5＝×5＝10，不符合题意；
②可设直线AB的方程y＝kx，
由，可得(4+9k2)x2＝180，
∴xA＝6，yA＝，
∴△ABF2的面积为S＝2＝2××5×＝20，
∴k＝±．
故选：A．
15、若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则eq \f(y,x－2)的最小值为( )
A．1B．－1
C．－eq \f(2\r(3),3)D．以上都不对
【解析】设eq \f(y,x－2)＝k，则y＝k(x－2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x2＋y2＝4，,y＝kx－2))消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0，Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±eq \f(2\r(3),3)，∴kmin＝－eq \f(2\r(3),3).选C.
16、过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A．B．C．D．
【解析】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由消去x并整理得：，
设直线l与椭圆交于点，则有，
则有
，当且仅当时取“=”，
于是，当，即直线l垂直于x轴时，，
所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.
故选：A
17、已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为eq \f(2\r(10),5)，求直线的方程．
【解析】把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)
则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0，
解得－eq \f(\r(5),2)＜m＜eq \f(\r(5),2).
设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，
则x1＋x2＝－eq \f(2m,5)，x1x2＝eq \f(m2－1,5).
根据弦长公式，得
eq \r(1＋12)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2m,5)))2－4×\f(m2－1,5))＝eq \f(2\r(10),5)，解得m＝0.
因此，所求直线的方程为y＝x.
18、已知点P(4,2)是直线l被椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
【解析】(法一：根与系数关系法)
由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(8k4k－2,4k2＋1)＝8，解得k＝－eq \f(1,2).
所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
(法二：点差法)
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)＋4y\\al(2,1)－36＝0，,x\\al(2,2)＋4y\\al(2,2)－36＝0.))
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，
即k＝－eq \f(1,2).所以直线l的方程为x＋2y－8＝0.
题组C 培优拔尖练
19、椭圆C：左右焦点分别为，，P为C上除左右端点外一点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图在中，
，即①
，即②
且，
故①+②得：，即.
所以 ，代入到中，整理得：
，故两边除以得：
解得：或，又，所以.
即椭圆C的离心率为.
故选：D.
20、已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【解析】设，，则．
∵点B，D都在椭圆C上，∴两式相减，得．
∴，即．
∴．当且仅当时取“=”．
故选：B．
21、已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【解析】
由图，，，故，，又平分，则到、的距离相等，设为，则
设，则，，由是的中位线，易得，即，由椭圆性质易知，存在点为椭圆上异于顶点的动点，使，此时最大，且为2
故选：B
22、如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq \f(1,3)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，若eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值是12，求椭圆的方程．
【解析】设F(－c,0)．∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，∴a＝3c.
设P(x0，y0)，则－3c≤x0≤3c.
又eq \(PF,\s\up7(―→))＝(－c－x0，－y0)，eq \(PA,\s\up7(―→))＝(a－x0，－y0)，
∴eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))＝(－c－x0，－y0)·(a－x0，－y0)
＝－ac＋cx0－ax0＋xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)
＝－ac＋cx0－ax0＋xeq \\al(2,0)＋b2－eq \f(b2,a2)xeq \\al(2,0)
＝eq \f(c2,a2)xeq \\al(2,0)－(a－c)x0＋b2－ac
＝eq \f(1,9)xeq \\al(2,0)－(a－c)x0＋a2－c2－ac
＝eq \f(1,9)xeq \\al(2,0)－2cx0＋5c2
＝eq \f(1,9)(x0－9c)2－4c2.
∴当x0＝－3c时，eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))有最大值，最大值为12c2＝12.
∴c2＝1，∴a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
∴所求椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
23、在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－eq \r(3))，(0，eq \r(3))的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))？此时|AB|的值是多少．
【解析】(1)设P(x，y)，由椭圆的定义知，点P的轨迹C是以(0，－eq \r(3))，(0，eq \r(3))为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b＝eq \r(22－\r(3)2)＝1.
故曲线C的方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＋4x2＝4.))
消去y，并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
由根与系数的关系得
x1＋x2＝－eq \f(2k,k2＋4)，x1x2＝－eq \f(3,k2＋4).
若eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，则x1x2＋y1y2＝0.
因为y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)
＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
所以x1x2＋y1y2＝－eq \f(3,k2＋4)－eq \f(3k2,k2＋4)－eq \f(2k2,k2＋4)＋1
＝－eq \f(4k2－1,k2＋4)＝0，所以k＝±eq \f(1,2).
当k＝±eq \f(1,2)时，x1＋x2＝∓eq \f(4,17)，x1x2＝－eq \f(12,17).
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝ eq \r(\f(5,4)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(4,17)))2＋4×\f(12,17))))＝eq \f(4\r(65),17).
24、已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【解析】（1）由线段RS长度的最小值为，得，
又，所以，解得
所以C的标准方程为．
（2）由，
可知PF平分，∴．
设直线AB的方程为，，，
由得，
，即，
∴，，
∴，
∴，∴，
整理得，∴当时，上式恒为0，
即直线l恒过定点．
课程标准
核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质．
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.
直观想象
数学运算
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(0