新教材(辅导班)高一数学寒假讲义02《一元二次函数、方程和不等式》出门测(教师版)

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1．若eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，则下列不等式不正确的是( )
A．a＋b＜ab B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＞0 C．ab＜b2 D．a2＞b2
D [由eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，可得b＜a＜0，故选D.]
2．已知x≥eq \f(5,2)，则y＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)有( )
A．最大值eq \f(5,4) B．最小值eq \f(5,4) C．最大值1 D．最小值1
D [y＝eq \f(x－22＋1,2x－2)＝eq \f(x－2,2)＋eq \f(1,2x－2).
∵x≥eq \f(5,2)，∴x－2>0，∴y≥2eq \r(\f(1,4))＝1.
当且仅当eq \f(x－2,2)＝eq \f(1,2x－2)，即x＝3时，取等号．]
3．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3 B．1 C．－1 D．3
A [由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：
a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.]
4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
B [设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20.
当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.]
5．不等式－3x2－x＋10<0的解集为________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(5,3)或x<－2)))) [－3x2－x＋10<0，－(3x－5)(x＋2)<0⇒x>eq \f(5,3)或x<－2，
此不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(5,3)或x<－2)))).]
6．不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
a＞2 [不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，
即(a＋2)x2＋4x＋a－1>0对一切x∈R恒成立．
若a＋2＝0，显然不成立；
若a＋2≠0，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2>0，,16－4a＋2a－1<0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－2，,16－4a＋2a－1<0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－2，,a<－3或a>2))⇔a>2.]
7．解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.
[解] 当a＝0时，解集为R；
当a＞0时，Δ＝－12a＜0，∴解集为R；
当a＜0时，Δ＝－12a＞0，方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两根分别为
eq \f(a＋\r(－3a),a)，eq \f(a－\r(－3a),a)，
∴此时不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋\r(－3a),a)＜x＜\f(a－\r(－3a),a))))).
综上所述，当a≥0时，不等式的解集为R；
a＜0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋\r(－3a),a)＜x＜\f(a－\r(－3a),a))))).
8．已知关于x的不等式x2－3x＋m<0的解集是{x|1(1)求实数m，n的值；
(2)若正数a，b满足ma＋2nb＝3，求a·b的最大值．
[解] (1)由题意可知1，n是x2－3x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋n＝3，,1×n＝m，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝2.))
(2)把m＝2，n＝2代入ma＋2nb＝3得a＋2b＝eq \f(3,2).
因为a＋2b≥2eq \r(a·2b)，所以eq \f(3,2)≥2eq \r(a·2b)，
故a·b≤eq \f(9,32)，当且仅当a＝2b＝eq \f(3,4)，即a＝eq \f(3,4)，b＝eq \f(3,8)时等号成立，
所以a·b的最大值为eq \f(9,32).