高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线复习练习题，共10页。

基础篇
1．(5分)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(5分)(多选)双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．2 B．7
C．17 D．22
3．(5分)已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(7,2) D．5
4.(5分)双曲线eq \f(x2,n) －y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，则△PF1F2的面积为________．
5．(5分)焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C．y2－eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1
6．(5分)设动点P到点A(－5，0)的距离与它到点B(5，0)距离的差等于6，则动点P的轨迹方程是 ( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≤－3)
D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)
7.(5分)已知双曲线的中心在坐标原点且一个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是________．
8．(5分)若双曲线的方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0)) D．(eq \r(3)，0)
9．(5分)若方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,2－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
10．(5分)若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的椭圆
提升篇
11.(5分)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
12．(5分)过点(1，1)，且eq \f(b,a)＝eq \r(2)的双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1
B.eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1
C．x2－eq \f(y2,\f(1,2))＝1
D.eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1或eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1
13．(5分)(多选)已知方程eq \f(x2,4－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1表示的曲线为C，则下列命题正确的是( )
A．曲线C不可能是圆
B．若1＜k＜4，则曲线C为椭圆
C．若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4
D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜eq \f(5,2)
14．(5分)若椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞n＞0)和双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a B.eq \f(1,2)(m－a)
C．m2－a2 D.eq \r(m)－eq \r(a)
15.(5分)已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是____．
16.(5分)设椭圆C1的离心率为eq \f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
17.(10分)根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)c＝eq \r(6)，经过点(－5，2)，焦点在x轴上；
(2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共焦点，且过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6))).
18.(10分)已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝60°，求△F1MF2的面积．
3.2.1 双曲线及其标准方程（练习）
(60分钟 100分)
基础篇
1．(5分)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B 解析：根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D乙，只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．
2．(5分)(多选)双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．2 B．7
C．17 D．22
AD 解析：因为a2＝25，所以a＝5.由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10.由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2.
3．(5分)已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(7,2) D．5
C 解析：由题意知，动点P的轨迹是以定点A，B为焦点的双曲线的一支(如图)，从图上不难发现，|PA|的最小值是图中AP′的长度，即a＋c＝eq \f(7,2).
4.(5分)双曲线eq \f(x2,n) －y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，则△PF1F2的面积为________．
1 解析：不妨设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为右支上一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2eq \r(n)，①
|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2).②
由①②解得
|PF1|＝eq \r(n＋2)＋eq \r(n)，|PF2|＝eq \r(n＋2)－eq \r(n)，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝4n＋4＝|F1F2|2，
所以PF1⊥PF2.
又由①②分别平方后作差得|PF1||PF2|＝2，
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1.
5．(5分)焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C．y2－eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1
A 解析：因为双曲线的焦点在x轴上，
所以设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由题知c＝2，所以a2＋b2＝4.①
又点(2，3)在双曲线上，
所以eq \f(22,a2)－eq \f(32,b2)＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝3，
所以所求双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
6．(5分)设动点P到点A(－5，0)的距离与它到点B(5，0)距离的差等于6，则动点P的轨迹方程是 ( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≤－3)
D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)
D 解析：由题意知，动点P的轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．
由c＝5，a＝3，知b2＝16，所以P点的轨迹方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)．
7.(5分)已知双曲线的中心在坐标原点且一个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是________．
x2－eq \f(y2,4)＝1 解析：设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1.因为c＝eq \r(5)，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5－a2)＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0，2)，则P点的坐标为(eq \r(5)，4)．代入双曲线方程得eq \f(5,a2)－eq \f(16,5－a2)＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
8．(5分)若双曲线的方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0)) D．(eq \r(3)，0)
C 解析：将双曲线方程化为标准形式x2－eq \f(y2,\f(1,2))＝1，
所以a2＝1，b2＝eq \f(1,2)，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \f(\r(6),2)，
所以右焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0)).
9．(5分)若方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,2－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
A 解析：因为方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,2－m)＝1表示双曲线，
所以(2＋m)(2－m)>0.
所以－210．(5分)若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的椭圆
B 解析：原方程可化为eq \f(x2,\f(b,a))＋y2＝1.因为ab<0，
所以eq \f(b,a)<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选B.
提升篇
11.(5分)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
B 解析：如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点．
又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.
点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P.
由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
12．(5分)过点(1，1)，且eq \f(b,a)＝eq \r(2)的双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1
B.eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1
C．x2－eq \f(y2,\f(1,2))＝1
D.eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1或eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1
D 解析：因为eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2a2)＝1，将点(1，1)的坐标代入方程中，得a2＝eq \f(1,2).此时双曲线方程为eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1.同理，当焦点在y轴上时，双曲线方程为eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1.
13．(5分)(多选)已知方程eq \f(x2,4－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1表示的曲线为C，则下列命题正确的是( )
A．曲线C不可能是圆
B．若1＜k＜4，则曲线C为椭圆
C．若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4
D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜eq \f(5,2)
CD 解析：当4－k＝k－1>0，即k＝eq \f(5,2)时，曲线C是圆，所以A是假命题．对于B，当1根据双曲线、椭圆定义与标准方程，知C，D是真命题．
14．(5分)若椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞n＞0)和双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a B.eq \f(1,2)(m－a)
C．m2－a2 D.eq \r(m)－eq \r(a)
A 解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(m).①
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2eq \r(a).②
①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，
所以|PF1|·|PF2|＝m－a.
15.(5分)已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是____．
eq \f(34,3) 解析：由于双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点为F(5，0)，将xM＝5代入双曲线方程可得|yM|＝eq \f(16,3)，即为点M到右焦点的距离．由双曲线的定义知M到左焦点的距离为eq \f(16,3)＋2×3＝eq \f(34,3).
16.(5分)设椭圆C1的离心率为eq \f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 解析：由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)．设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为eq \f(x2,42)－eq \f(y2,32)＝1，即eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
17.(10分)根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)c＝eq \r(6)，经过点(－5，2)，焦点在x轴上；
(2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共焦点，且过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6))).
解：(1)因为焦点在x轴上，c＝eq \r(6)，
所以设所求双曲线方程为eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6)．
因为双曲线经过点(－5，2)，
所以eq \f(25,λ)－eq \f(4,6－λ)＝1，所以λ＝5或λ＝30(舍去)．
所以所求双曲线的标准方程是eq \f(x2,5)－y2＝1.
(2)由eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，
得c2＝16＋9＝25，所以c＝5.
设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
依题意，c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,25－a2)＝1.
因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))在双曲线上，
所以eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)))\s\up12(2),a2)－eq \f(（－\r(6)）2,25－a2)＝1，
化简，得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝eq \f(125,4).
当a2＝eq \f(125,4)时，b2＝25－a2＝25－eq \f(125,4)＝－eq \f(25,4)<0，不合题意，舍去；故a2＝1，b2＝24.
所以所求双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.
18.(10分)已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝60°，求△F1MF2的面积．
解：(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝eq \r(13)，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1>r2)．
由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4，
两边平方得req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－2r1·r2＝16，
即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，即4S△F1MF2＝52－16，
所以S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝60°，在△F1MF2中，
由余弦定理得|F1F2|2＝req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－2r1r2cs 60°，
|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，所以r1r2＝36，
则S△F1MF2＝eq \f(1,2)r1r2sin 60°＝9eq \r(3).