高中人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线习题

人教A版（2019）选择性必修第一册《3.2.1 双曲线及其标准方程》同步练习

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）

1.（5分）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是

A.  B.
C.  D.

2.（5分）焦点坐标为，且实轴长为的双曲线的标准方程为

A.  B.
C.  D.

3.（5分）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是

A.         B. ；
C. 或；   D. 以上答案均不对

4.（5分）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是

A. 或 B.  C. 且 D.

5.（5分）若方程 表示双曲线，则 的取值范围是 

A.  B.
C.  D.

6.（5分）方程表示双曲线的充要条件是

A.  B.  C.  D.

7.（5分） 若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

9.（5分）双曲线的焦距为

A.  B.  C.  D.

10.（5分）已知 、 是双曲线 ： 与椭圆 的公共焦点，点 是 、 在第一象限的公共点，若 ，则 的离心率是

A.               B.           
C.             D.

（5分） 
 

11.已知双曲线的一个焦点，且过点，则该双曲线的标准方程为
A.  B.
C.  D.

12.（5分）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为

A.  B.
C.  D.

13.（5分）若双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于

A. 或 B.  C.  D.

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知分别是双曲线(a＞0,6＞0)的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为_______.

15.（5分）设中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为__________.

16.（5分）若经过点的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 ______ ．

17.（5分）在相距的、两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距，已知声速以的中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为______．

18.（5分）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程______．

三 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）根据下列条件求双曲线的标准方程：

与双曲线有共同的渐近线，且经过点；

经过点和

20.（12分）求一个焦点为，且经过点的椭圆的标准方程． 
已知双曲线的焦点在轴，渐近线方程为，且过点，求双曲线的标准方程．

21.（12分）

求经过两点，的椭圆的标准方程；

与双曲线有相同的渐近线且经过点的双曲线方程.

22.（12分）求符合下列条件的曲线的标准方程：

求焦点在轴，且过点，离心率的椭圆的标准方程。

求焦点在轴上，，经过点的双曲线的标准方程。

23.（12分）求焦点在轴，焦距为，并且经过点的椭圆的标准方程； 
已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程．

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查双曲线的性质与标准方程，是基础题．利用双曲线的性质直接求解． 
 
解：方程表示焦点在轴上的双曲线， 
，解得 
故选
 

2.【答案】C;

【解析】解：由题意考查，，． 
双曲线以、为焦点， 
双曲线的标准方程是：． 
故选：． 
直接利用双曲线的基本性质求出，然后写出双曲线方程即可． 
该题考查双曲线的标准方程的求法，基本知识的考查．
 

3.【答案】C;

【解析】 
该题考查双曲线的标准方程，注意椭圆与双曲线的标准方程都可以由二元二次方程表示，但要区分两者形式的不同；其次注意焦点位置不同时，参数、大小的不同． 
根据双曲线的标准方程可得，只需与异号即可，则解不等式即可求解． 
 
解：由题意知， 
即， 
解得或． 
则实数的取值范围是或． 
故选C． 
 

 

4.【答案】B;

【解析】

此题主要考查双曲线的方程，解题关键是掌握双曲线的方程，基础题. 
把双曲线方程转化为，根据焦点在轴得，从而求得的范围.

解：表示焦点在轴上的双曲线， 
即方程为 
所以， 
解得

故选
 

5.【答案】D;

【解析】

此题主要考查了双曲线的概念及标准方程，若方程 表示双曲线，则与异号，解不等式即可．

解：由得，

所以，

解得：，即的取值范围为，

故选D．
 

6.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查双曲线的标准方程，考查解不等式，熟悉双曲线标准方程的形式是关键．方程表示双曲线，当且仅当，由此可求得结论． 
 
解：方程表示双曲线，当且仅当 
或 
反之，当或时，双曲线中分母同号，方程表示双曲线， 
故选
 

7.【答案】D;

【解析】 
设，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出和，进而可表示出和，根据焦点相同进而可求得的表达式． 
这道题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质． 
 
解：由椭圆和双曲线定义 
不妨设 
则 
 
所以 
 
 
故选：． 

 

8.【答案】C;

【解析】解：设动圆的圆心为，半径为，  
而圆的圆心为，半径为；  
圆的圆心为，半径为． 
依题意得，，  
则，  
所以点的轨迹是双曲线的一支．  
故选C． 
设动圆的半径为，然后根据与：，：都外切得、，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，问题解决． 
这道题主要考查双曲线的定义．
 

9.【答案】B;

【解析】 
该题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题． 
利用双曲线的标准方程及其性质即可得出． 
 
解：由双曲线，可得，故其焦距． 
故选：． 
 

 

10.【答案】B;

【解析】

 
该题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键，用双曲线的定义，求出椭圆的，由此可求离心率．

解：由题意知，， 
， 
， 
， 
， 
的离心率是． 
故选B．
 

11.【答案】A;

【解析】 
该题考查双曲线的标准方程，此类问题的易错点在于焦点位置的判断，是基础题． 
先根据条件判断出焦点所在位置，并得到，；进而求出，即可得到双曲线的标准方程． 
 
解：由题意得：双曲线的焦点在轴上，且，； 
． 
该双曲线的标准方程是：． 
故选A． 

 

12.【答案】A;

【解析】解：由于椭圆的标准方程为： 
 
则 
则 
又双曲线的离心率 
， 
又因为且椭圆的焦点在轴上， 
双曲线的方程为： 
故选 
此题主要考查的知识椭圆的简单性质，及双曲线的简单性质，由双曲线与椭圆有公共焦点，我们根据椭圆的方程，易求出椭圆的焦点，再根据双曲线的离心率，我们不难求出双曲线的方程． 
运用待定系数法求椭圆双曲线的标准方程，即设法建立关于，的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为，双曲线方程可设为，由题目所给条件求出，即可．
 

13.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查双曲线的定义的应用，属于基础题. 
先利用双曲线的定义求出或，再检验即可得到答案. 
 
解：双曲线：中，，，则， 
 由双曲线的定义可得，  
又，则或 
当时，，不满足题意，故舍去， 
当时，满足题意， 
故选
 

14.【答案】;

【解析】由题意知，，即.由双曲线的定义可知，所以，，又，所以，所以，所以.
 

15.【答案】;

【解析】焦点坐标，，椭圆的离心率，双曲线的离心率为，，，双曲线方程为
 

16.【答案】;

【解析】解：由双曲线的渐近线方程为，那么设双曲线的方程是．  
把点代入双曲线的方程可得． 
双曲线的方程是．  
故答案为：．  
由双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程是，把已知点代入双曲线的方程可得值，则双曲线的标准方程可求．  
此题主要考查了双曲线的标准方程，关键是设出双曲线的方程并求得值，是基础题．
 

17.【答案】-=1;

【解析】解：由题意可得双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且，，即，， 
所以，， 
所以双曲线的方程为：； 
故答案为：． 
由题意可得双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且由双曲线的定义可得，的值，再由，，之间的关系进而求出双曲线的方程． 
考查由双曲线的定义求标准方程的求法，属于基本知识直接应用题，双基考查题，属于基础题．
 

18.【答案】;

【解析】 
求出椭圆的焦点，可得，由离心率公式可得，由，，的关系可得，即可得到双曲线的方程． 
该题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题． 
 
解：椭圆的焦点为即为， 
则双曲线的， 
由离心率，则，则有，， 
则双曲线的方程为， 
故答案为：． 

 

19.【答案】

解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，

将点代入解得，

即双曲线的标准方程为；

设双曲线的标准方程为，

将点和代入， 
得解得，

即双曲线的标准方程为;

【解析】

设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，将点代入解得双曲线的标准方程；

设双曲线的标准方程为，将点和代入，解得，即可得双曲线的标准方程.
 

20.【答案】解：（1）由题意可设椭圆标准方程为（a＞b＞0）， 
则a=3，c=2，∴=-=9-4=5． 
∴椭圆的标准方程为； 
（2）由题意设双曲线方程为（λ＞0）， 
把点（3，）代入，得，即λ=2． 
∴双曲线的标准方程为．;

【解析】 
由题意设椭圆标准方程为，并求得与，再由隐含条件求得，则椭圆方程可求； 
由题意设双曲线方程为，代入已知点的坐标求得值，则双曲线方程可求． 
该题考查椭圆与双曲线方程的求法，训练了利用待定系数法求圆锥曲线的方程，是基础题．
 

21.【答案】解：设椭圆方程为 
由，解得， 
即椭圆的标准方程为 
与双曲线有相同的渐近线， 
故设，把代入得 
， 
解得， 
即， 
即 
;

【解析】此题主要考查椭圆方程、双曲线方程的求法，考查待定系数法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 
设椭圆方程为，，利用待定系数法能求出椭圆方程． 
设双曲线方程为，代入点，能求出双曲线方程．
 

22.【答案】解：由题意得， 
， 
， 
椭圆的标准方程为： 
根据题设双曲线的方程为：， 
依题意得， 
， 
双曲线的方程为： 
 
 
;

【解析】此题主要考查了椭圆及双曲线的标准方程的求法，属于基础题. 
由已知直接求出，的值，代入椭圆的标准方程即可； 
设出双曲线的标准方程，根据已知条件求出待定的系数，即得方程. 
 

 

23.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0）， 
两个焦点的坐标分别为（-2，0），（2，0）， 
由椭圆的定义知，， 
又由已知得2c=4，c=2， 
∴=-=10-4=6． 
∴椭圆的标准方程为； 
（2）由题意可设双曲线的方程为， 
∵椭圆的焦点为（，0），（，0）， 
∴双曲线的半焦距， 
由题意可知，∴=4， 
又=+，即5=5， 
∴=1，=4． 
∴双曲线的方程为．;

【解析】 
由题意设出椭圆方程，结合椭圆焦距及椭圆的定义，列式求得，的值，则椭圆方程可求；  
由题意设出双曲线方程，由椭圆的焦点可求出双曲线的半焦距，结合已知条件求得，的值，则双曲线方程可求． 
该题考查椭圆方程的求法以及双曲线的方程的求法，是中档题．