江苏省南京市第六十六中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份江苏省南京市第六十六中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
3．（3分）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，若△CDE恰为等边三角形，则AD的长度是（ ）cm．
A．6B．C．8D．10
5．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E，若AB＝2，，则OE＝（ ）
A．B．C．D．4
6．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与函数y2＝（k≠0）的图象相交于点M（1，2），N（﹣2，n）．下列说法错误的是（ ）
A．两图象的交点N的坐标为（﹣2，﹣1）
B．一次函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
C．若y1＞y2，则x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1
D．连接OM、ON，则△MON的面积是
二、填空题
7．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
8．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一个啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，据此估计“凸面向上”的概率是 ．（精确到0.01）
9．（3分）比较大小： ．
10．（3分）分式的最简公分母是 ．
11．（3分）计算的结果为 ．
12．（3分）如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E．若AC＝6，BD＝8则AE的长为 ．
13．（3分）若直线y＝ax（a≠0）与双曲线交于（x1，y1）、（x2，y2）两点，则﹣2x1y2+5x2y1的值为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣5，0），点C的坐标为（0，3），将长方形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．当45°＜α≤90°，且BP＝PQ时，线段PQ的长是 ．
15．（3分）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为a△b＝，a※b＝，若x△1＝x※2，则x＝ ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上的点，且，点F是对角线BD所在直线上一点且BF＝BE．过点F作∠EFG＝90°，边FG交直线AD于点G，则AG的长为 ．
三、解答题
17．（10分）计算：
（1）﹣+；
（2）（﹣）×．
18．（8分）解方程：．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（5分）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车补充电量主要有两种方式，一种是用充电桩充电，一种是换电站换电池．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
21．（6分）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成两幅不完整的统计图．
（1）这次调查中，一共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，“D”部分所对应的圆心角的度数为 度；
（3）补全条形统计图．
（4）若全校有2000名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
22．（6分）在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（△ABF和△CDE），按如图的方式放置，已知∠BAF＝∠DCE＝90°，AF＝CE＝3，AB＝CD＝4，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，求菱形AECF的面积和BD的长．
23．（6分）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁BC段滑动（点P不与B，C重合）．已知OA＝OC＝10cm，BC＝25cm，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量×OA＝右盘物体质量×OP（不计托盘与横梁质量）．
（1）设右侧托盘中放置物体的质量为y（g），OP的长为x（cm），求y关于x的函数表达式．
（2）由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入28g的水后，发现点P移动到PC的长为15cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
24．（6分）已知，．
（1）当m＞0时，比较A﹣B与0的大小，并说明理由；
（2）设，若m为整数，求正整数y的值．
（3）设，若m为整数，求正整数y的值．
25．（7分）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（3，n）和点 B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．
26．（10分）问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，AD＝4，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
（1）答案：EF＝ ．
（2）探究：把“问题”中的条件“AB＝7”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（3）把“问题”中的条件“AB＝7，AD＝4”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
2023-2024学年江苏省南京六十六中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故A不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故B不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，是中心对称图形；故C符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故D不符合题意．
故选：C．
2．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故选：C．
3．（3分）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：．
故选：B．
4．（3分）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，若△CDE恰为等边三角形，则AD的长度是（ ）cm．
A．6B．C．8D．10
【分析】由折叠的性质可得∠ACB＝∠ACE，由平行线的性质可得∠DAC＝∠ACE，可证AE＝EC，由等边三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵将纸片沿对角线AC对折，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴∠D A C＝∠A C E，
∴AE＝EC，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝CD＝3cm，
∵2AB＝6cm，
∴AD＝6cm，
故选：A．
5．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E，若AB＝2，，则OE＝（ ）
A．B．C．D．4
【分析】作OF⊥BC于点F，由矩形的性质可得，．由AD∥CE，DE∥AC可得四边形ACED是平行四边形，则可得，进而可得，根据勾股定理即可求出OE的长．
【解答】解：作OF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OB＝OC，
作OF⊥BC于点F，
则BF＝CF，
∴OF是△ABC的中位线，
∴，，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
6．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与函数y2＝（k≠0）的图象相交于点M（1，2），N（﹣2，n）．下列说法错误的是（ ）
A．两图象的交点N的坐标为（﹣2，﹣1）
B．一次函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
C．若y1＞y2，则x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1
D．连接OM、ON，则△MON的面积是
【分析】（1）根据一次函数解析式求出D点坐标，解Rt△COD，得出OC＝4，C（﹣4，0），将C点坐标代入y＝kx﹣2，求出一次函数的解析式；再求出点B的坐标，然后将B点坐标代入y＝，求出反比例函数解析式；
（2）先联立直线与双曲线的解析式，求出A点坐标，再根据S△AOB＝S△AOD+S△BOD即可求解；
（3）观察图象可得不等式的解集．
【解答】解：∵函数y＝过M点，把M点坐标代入得：k＝2，
∴y＝，
把N点坐标代入y＝得：n＝＝﹣1，
∴N（﹣2，﹣1），
故A正确；
反比例函数y2＝y随x的增大而减小，故B错误；
若y1＞y2，则x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1，故C正确；
∵p点坐标（0，1），
∴△MON的面积＝S△MOP+S△NOP
＝＝，故D正确．
故选：B．
二、填空题
7．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得：，
故答案为：．
8．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一个啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，据此估计“凸面向上”的概率是 0.44 ．（精确到0.01）
【分析】根据图中的数据即可解答．
【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在0.44附近，
∴“凸面向上”的概率为0.44，
故答案为：0.44．
9．（3分）比较大小： ＞ ．
【分析】比较两者平方后的值即可．
【解答】解：∵（）2＝，（）2＝，
∴＞．
故答案为：＞．
10．（3分）分式的最简公分母是 36a4b3 ．
【分析】先去2、9和12的最小公倍数36，再a和b的最高次幂，则它们的积为所求．
【解答】解：分式的最简公分母为36a4b3．
故答案为：36a4b3．
11．（3分）计算的结果为 7 ．
【分析】利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：原式＝（）2﹣（）2
＝10﹣3
＝7．
故答案为：7．
12．（3分）如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E．若AC＝6，BD＝8则AE的长为 ．
【分析】利用菱形的面积公式：，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（3分）若直线y＝ax（a≠0）与双曲线交于（x1，y1）、（x2，y2）两点，则﹣2x1y2+5x2y1的值为 9 ．
【分析】根据正比函数与反比例函数的对称性可得出x2＝﹣x1，y2＝﹣y1，再根据x1y1＝﹣3即可解决问题．
【解答】解：因为正比例函数图象与反比例函数图象都关于原点O成中心对称，
所以点（x1，y1）与点（x2，y2）关于原点O对称，
所以x2＝﹣x1，y2＝﹣y1，
所以﹣2x1y2+5x2y1＝﹣2x1•（﹣y1）+5（﹣x1）y1＝﹣3x1y1，
将点（x1，y1）代入y＝得，
x1y1＝﹣3，
所以﹣2x1y2+5x2y1＝﹣3×（﹣3）＝9．
故答案为：9．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣5，0），点C的坐标为（0，3），将长方形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．当45°＜α≤90°，且BP＝PQ时，线段PQ的长是 ．
【分析】先确定点P的位置，根据题意求出BC＝OA，OC，∠OCB＝90°，再作QH⊥OA′，可知QH＝OC′＝OC，然后根据面积相等得PQ＝OP，可设BP＝x，并表示BQ，OP，PC，最后根据勾股定理，得PC2+OC2＝OP2，即可求出答案．
【解答】解：∵45°＜α≤90°，
∴点P在点B的右侧．
∵四边形OABC是矩形，点A的坐标是（﹣5，0），点C的坐标是（0，3），
∴BC＝OA＝5，OC＝3，∠OCB＝90°．
过点Q作QH⊥OA′于点H，连接OQ，如图，则QH＝OC′＝OC．
∵，，
∴PQ＝OP．
设BP＝x，
∵BP＝PQ，
∴BQ＝2x，
则OP＝PQ＝BQ﹣BP＝x，PC＝5﹣x．
在Rt△PCO中，由勾股定理，得PC2+OC2＝OP2，
即（5﹣x）2+32＝x2，
解得，
∴．
故答案为：．
15．（3分）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为a△b＝，a※b＝，若x△1＝x※2，则x＝ ．
【分析】根据题意列得分式方程，解方程即可．
【解答】解：由题意可得＝，
去分母得：（x﹣1）（x﹣4）＝（x+1）（x+2），
整理得：﹣5x+4＝3x+2，
解得：x＝，
检验：当x＝时，（x+1）（x﹣4）≠0，
故原方程的解为x＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上的点，且，点F是对角线BD所在直线上一点且BF＝BE．过点F作∠EFG＝90°，边FG交直线AD于点G，则AG的长为 8﹣8或8+8 ．
【分析】分两种情况讨论，一是点F在线段BD上，作GH⊥AD交BD于点H，由正方形的性质得AD＝AB＝6，∠A＝90°，则∠ADB＝∠ABD＝45°，BD＝＝6，所以∠GHD＝∠GDN＝45°，则GD＝GH，可求得DH＝GH，由BF＝BE＝AB＝2，得∠BFE＝∠BEF＝67.5°，则∠HFG＝22.5°，可求得∠HGF＝22.5°＝∠HFG，则FH＝GH，于是得GH+GH＝6﹣2，则GD＝GH＝14﹣8，求得AG＝AD﹣GD＝8﹣8；二是点F在DB的延长线上，作GL⊥AD交DB的延长线于点L，可证明GL＝GD，则DL＝GL，可求得∠LFG＝∠LGF＝67.5°，则GL＝FL，由DL﹣FL＝BD+BF，得GL﹣GL＝6+2，所以GD＝GL＝14+8，则AG＝GD﹣AD＝8+8，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，点F在线段BD上，作GH⊥AD交BD于点H，则∠DGH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴AD＝AB＝6，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，BD＝＝＝6，
∴∠GHD＝∠GDN＝45°，
∴GD＝GH，
∴DH＝＝GH，
∴BF＝BE＝AB＝×6＝2，∠EFG＝90°，
∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠HFG＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠HGF＝∠GHD﹣∠HFG＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠HFG＝∠HGF，
∴FH＝GH，
∵DH+FH＝BD﹣BF，
∴GH+GH＝6﹣2，
∴GD＝GH＝14﹣8，
∴AG＝AD﹣GD＝6﹣（14﹣8）＝8﹣8；
如图2，点F在DB的延长线上，作GL⊥AD交DB的延长线于点L，则∠DGL＝90°，
∴∠L＝∠GDL＝45°，
∴GL＝GD，
∴DL＝＝GL，
∵BF＝BE＝2，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴∠ABD＝∠BFE+∠BEF＝2∠BFE＝45°，
∴∠BFE＝22.5°，
∴∠LFG＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠LGF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠LFG＝∠LGF，
∴GL＝FL，
∵DL﹣FL＝BD+BF，
∴GL﹣GL＝6+2，
∴GD＝GL＝14+8，
∴AG＝GD﹣AD＝14+8﹣6＝8+8，
故答案为：8﹣8或8+8．
三、解答题
17．（10分）计算：
（1）﹣+；
（2）（﹣）×．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把合并内合并后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+
＝；
（2）原式＝（4﹣5）×
＝﹣×
＝﹣2．
18．（8分）解方程：．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：2x+1+2（x﹣3）＝﹣（3x﹣2），
整理得：4x﹣5＝2﹣3x，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣3≠0，
故原方程的解为x＝1．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把代入计算．
【解答】解：
＝
＝
＝x+1，
当时，
原式＝．
20．（5分）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车补充电量主要有两种方式，一种是用充电桩充电，一种是换电站换电池．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
【分析】设该车每次换电池服务的时间是x小时，根据花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等得：＝，解方程并检验可得答案．
【解答】解：设该车每次换电池服务的时间是x小时，则该车完成加油服务的时间是（x﹣）小时，
根据题意得：＝，
解得x＝0.075，
经检验，x＝0.075是原方程的解，
∴x﹣＝0.075﹣0.025＝0.05，
答：该车每次换电池服务的时间是0.075小时，完成加油服务的时间是0.05小时．
21．（6分）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成两幅不完整的统计图．
（1）这次调查中，一共调查了 200 名学生；
（2）在扇形统计图中，“D”部分所对应的圆心角的度数为 54 度；
（3）补全条形统计图．
（4）若全校有2000名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数；（3）用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
（4）总人数乘以样本中B所占百分比即可得．
【解答】解：（1）40÷20%＝200（名），
故答案为：200；
（2）D所占百分比为×100%＝15%，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%＝54°，
故答案为：54；
（3）C的人数是：200×30%＝60（名），
补图如下：
故答案为：54；
（4）2000×＝700（名），
答：估计喜欢B（科技类）的学生有700名．
22．（6分）在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（△ABF和△CDE），按如图的方式放置，已知∠BAF＝∠DCE＝90°，AF＝CE＝3，AB＝CD＝4，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，求菱形AECF的面积和BD的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABF≌△CDE，可得∠AFB＝∠CED，可得AF∥CE，由平行四边形的判定可得结论；
（2）由菱形的性质可得AC⊥EF，OE＝OF，OA＝OC，由勾股定理可求BF的长，由面积法可求AC的长，即可求解．
【解答】（1）证明：在△ABF 和△CDE 中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE．
∵AF＝CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：如解图，连接AC交EF于点O，
∵四边形AECF 为菱形，
∴AC⊥EF，OE＝OF，OA＝OC．
在Rt△ABF 中，．
由（1）知，△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE＝5．
∵，
∴，
∴．
在BRt△AOF 中，，
∴，
∴S菱形AECF＝AC•EF＝，
∵，
∴．
23．（6分）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁BC段滑动（点P不与B，C重合）．已知OA＝OC＝10cm，BC＝25cm，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量×OA＝右盘物体质量×OP（不计托盘与横梁质量）．
（1）设右侧托盘中放置物体的质量为y（g），OP的长为x（cm），求y关于x的函数表达式．
（2）由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入28g的水后，发现点P移动到PC的长为15cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
【分析】（1）根据左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式，根据OP也就是x的取值范围可得y的取值范围；
（2）设空瓶的质量为a g，向空瓶中加入28g的水，根据左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP列出方程，求解即可得到空瓶的质量．
【解答】解：任务1：∵左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP，右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），砝码的质量是100g，OA＝10cm，
∴100×10＝xy．
∴y＝．
答：y关于x的函数表达式为：y＝（10≤x≤35）；
（2）设空瓶的重量为a g，根据题意，得：
100×10＝（10+15）×（a+28），
∴a＝12
答：这个空矿泉水瓶的重量为12g．
24．（6分）已知，．
（1）当m＞0时，比较A﹣B与0的大小，并说明理由；
（2）设，若m为整数，求正整数y的值．
（3）设，若m为整数，求正整数y的值．
【分析】（1）利用分式的相应的法则对A﹣B进行运算即可；
（2）结合分式的性质进行分析即可；
（3）结合分式的性质进行分析即可．
【解答】解：（1）A﹣B≥0，理由如下：
A﹣B
＝
＝
＝，
∵m＞0，
∴m+1＞0，（m﹣1）2≥0，
∴≥0，
即A﹣B≥0；
（2）y＝
＝
＝，
∵m为整数
∴正整数y为：4或2或1；
（3）
＝
＝，
∵m为整数，
∴正整数y为：4或3或0或1．
25．（7分）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（3，n）和点 B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．
【分析】（1）先把点A（3，n）代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；
（2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集；
（3）根据题意作出辅助线，然后求出OA的长，根据菱形的性质求出OC的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出△AOE的面积．
【解答】解：（1）把点A（3，n）代入正比例函数可得：n＝4，
∴点A（3，4），
把点A（3，4）代入反比例函数，
可得：k＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点A与点B是关于原点对称的，
∴点B（﹣3，﹣4），
∴根据图象可得，不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3；
（3）如图所示，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，
∵A（3，4），
∴OG＝3，AG＝4，
在Rt△AOG中，，
∵四边形AOCD是菱形，
∴OC＝OA＝5，，
∴．
26．（10分）问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，AD＝4，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
（1）答案：EF＝ 1 ．
（2）探究：把“问题”中的条件“AB＝7”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（3）把“问题”中的条件“AB＝7，AD＝4”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得DE＝AD＝4，CF＝BC＝4，可求解；
（2）①证∠DEA＝∠DAE，得DE＝AD＝4，同理BC＝CF＝4，即可求解；
②由题意得DE＝AD＝4，再由CF＝BC＝4，即可求解；
（3）分三种情况，由（l）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝7，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝4，
同理可得CF＝BC＝4，
∴EF＝DE+FC﹣CD＝1，
故答案为：1；
（2）①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝4，
同理：BC＝CF＝4，
∵点E与点F重合，
∴AB＝CD＝DE+CF＝8；
②如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴DE＝AD＝4，
∵CF＝BC＝4，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝4；
（3）分三种情况①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴；
②如图4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴；
③如图5所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴；
综上所述，的值为2或或．