2023-2024学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 角B. 等边三角形C. 平行四边形D. 菱形
2.下列事件，发生的可能性最大的是( )
A. 没有水分，种子发芽B. 抛出的石子会下落
C. 购买一张双色球彩票会中奖D. 抛一枚硬币，正面朝上
3.下列整数中，与6− 10最接近的是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.用配方法解一元二次方程x2−6x+5=0，此方程可化为( )
A. (x−3)2=4B. (x−3)2=14C. (x+3)2=4D. (x+3)2=14
5.下列命题是真命题的是( )
A. 对角线相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6.如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=6x(x>0)上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP是( )
A. 6
B. 3
C. 6
D. 12
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.方程x2=x的根是______．
8.若式子1x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
9.菱形的两条对角线的长分别为6和8，则它的面积是______．
10.点A(x1,y1)，B(x2,y2)是反比例函数y=1x的图象上两点，若011.关于x的方程ax2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
12.若x1，x2是一元二次方程x2−3x+1=0的两个根，则1x1+1x2=______．
13.若分式方程1x−3=a−xx−3有增根，则a的值是______．
14.设A，B，C，D是反比例函数y=kx图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为______．
16.如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x(k1>0)和y=k2x(k2>0)的图象上，若BD/​/y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2=______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.如图，反比例函数y=kx与一次函数y=ax+b的图象交于点A(−2,6)、点B(n,1)．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．
(3)将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移n个单位，使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求n的值．
四、解答题：本题共9小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1) 6− 3 3+(2+ 2)(2− 2)；
(2)(2x+1−1)÷x2−2x+1x+1．
19.(本小题6分)
解方程(1)1x−2−1−x2−x=1；
(2)x2−3x−4=0(用公式法解)．
20.(本小题4分)
已知x>0，试说明x−4≥−4x．
21.(本小题6分)
4月25日中午，金中河西“萌宠乐园”正式建成.“你最希望在萌宠乐园看到哪些小动物？”一个月前，金中河西面向小学部的同学们，随机抽取部分学生进行调查，每名学生只能选一种动物，并将调查结果整理数据，绘制成如下不完整的统计图.结果显示：A白山羊、B蓝孔雀、C豚鼠、D折耳兔，最受欢迎．

(1)“B蓝孔雀”所对应扇形圆心角的度数为______°，所抽取的学生人数为______；
(2)补全条形统计图；
(3)已知小学部有2000名学生，请估计希望看到“C豚鼠”的学生数是多少？．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A=______时，四边形BECD是正方形？
23.(本小题6分)
已知关于x的方程kx2−(3k−1)x+2(k−1)=0．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
(2)若此方程有两个实数根x1、x2，且|x1−x2|=2，求k的值．
24.(本小题8分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天利润最大，最大利润是多少元？
25.(本小题4分)
如图，P为∠AOB外一点，过点P作直线l交OA、OB于点M、N，使得PM=MN.(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
26.(本小题10分)
定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
(1)探究说理
如图1，已知△ABC中，AD平分∠BAC，求证：BDCD=ABAC，
请根据提示完成证明．
证明：显然S△ABDS△ACD=BDCD，
作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，…
(2)问题解决
①如图2，已知正方形ABCD的边长为1，E边AB上的一点，∠ADE=14∠ADC，求AE的长．
②如图3，在矩形ABCD中，AE平分∠BAC，将AE沿直线EF折叠，使点A落在边AD上的点A′处，EF、A′E分别交AC于点G、H，若GH=2，HC=8，则BE= ______．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：A、没有水分，种子发芽的可能性为0；
B、抛出的石子会下落发生的可能性为1；
C、购买一张双色球彩票会中奖发生的可能性小于1；
D、抛一枚硬币，正面朝上的可能性为12．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：∵9<10<16，
∴3< 10<4，
∵3.12=9.61，3.22=10.24，
∴3.1< 10<3.2，
∴−3.2<− 10<−3.1，
∴6−3.2<6− 10<6−3.1，
∴2.8<6− 10<2.9，
∴与6− 10最接近的是3．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解：x2−6x+5=0，
x2−6x=−5，
配方得：x2−6x+9=−5+9，
(x−3)2=4，
故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：
A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：如图：
∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB=∠CAD=60°，
∴AD/​/OB，
∴S△ABP=S△AOP，
∴S△OBP=S△AOB，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE=S△ABE=12S△AOB，
∵点B在反比例函数y=6x的图象上，
∴S△OBE=12×6=3，
∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=6．
故选：C．
7.【答案】x1=0，x2=1
【解析】解：x2−x=0，
x(x−1)=0，
∴x=0或x−1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
8.【答案】x≠−1
【解析】解：要使式子1x+1在实数范围内有意义，
则x+1≠0，
解得x≠−1．
故答案为：x≠−1．
9.【答案】24
【解析】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，
∴面积S=12×6×8=24．
故答案为：24．
10.【答案】y1>y2
【解析】解：∵反比例函数y=1x中，k=1>0，∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵0∵x1∴y1>y2．
故答案为y1>y2．
11.【答案】a>−4且a≠0
【解析】解：根据题意得a≠0且Δ=(−4)2−4a−×(−1)>0，
解得a>−4且a≠0．
故答案为：a>−4且a≠0．
12.【答案】3
【解析】解：由题意可知：x1+x2=3，x1x2=1，
∴原式=x1+x2x1x2=3，
故答案为：3．
13.【答案】4
【解析】解：1x−3=a−xx−3，
1=a−x，
解得：x=a−1，
∵分式方程有增根，
∴x=3，
把x=3代入x=a−1中得：
3=a−1，
∴a=4，
故答案为：4．
14.【答案】①④
【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．
由对称性可知，OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当直线AC和直线BD关于直线y=x对称时，此时OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．
∵反比例函数的图象在一，三象限，
∴直线AC与直线BD不可能垂直，
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，
故选项①④正确，
故答案为①④．
如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．
15.【答案】125
【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=3，BC=5，
∴AC= BC2−AB2= 52−32=4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO=2，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴COBC=OP′AB，
∴25=OP′3，
∴OP′=65，
∴则PQ的最小值为2OP′=125，
故答案为：125．
以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，证明△CAB∽△CP′O，利用相似三角形的性质得出COBC=OP′AB，求出OP′，即可求出PQ的最小值．
16.【答案】32
【解析】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=BE=CE=DE．
设AE=BE=CE=DE=m，D(4,a)，
∵BD/​/y轴，
∴B(4,a+2m)，A(4+m,a+m)．
∵A，B都在反比例函数y=k1x(k1>0)的图象上，
∴k1=4(a+2m)=(4+m)(a+m)．
∵m≠0，
∴m=4−a，
∴B(4,8−a)．
∵B(4,8−a)在反比例函数y=k1x(k1>0)的图象上，D(4,a)在y=k2x(k2>0)的图象上，
∴k1=4(8−a)=32−4a，k2=4a，
∴k1+k2=32−4a+4a=32，
故答案为：32．
17.【答案】解：(1)把A(−2,6)代入y=kx得k=−2×6=−12，
∴反比例函数解析式为y=−12x，
把B(n,1)代入y=−12x得n=−12，则B(−12,1)，
把A(−2,6)、B(−12,1)代入y=ax+b得−2a+b=6−12a+b=1，解得a=12b=7，
∴一次函数解析式为y=12x+7；
(2)设y=12x+7与y轴的交点为Q，易得Q(0,7)，设E(0,m)，
∴S△AEB=S△BEQ−S△AEQ=5，
12|m−7|×(12−2)=5，解得m1=6，m2=8．
∴点E的坐标为(0,6)或(0,8)；
(3)由题意得−12x=12x+7−n，
方程变形为x2+(14−2n)x+24=0，
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，
∴△=(14−2n)2−4×24=0，
解得n1=7+2 5，n2=7−2 5，
即n的值为7±2 5．
【解析】(1)先把A点坐标代入y=kx中求出k得到反比例函数解析式为y=−12x，再利用反比例函数解析式确定B(−12,1)，然后利用待定系数法求一次解析式；
(2)设一次函数图象与y轴的交点为Q，易得Q(0,7)，设E(0,m)，利用三角形面积公式，利用S△AEB=S△BEQ−S△AEQ得到12|m−7|×(12−2)=5，然后解方程求出m即可得到点E的坐标；
(3)由平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，则方程−12x=12x+7−n只有一个解，然后利用判别式的意义得(14−2n)2−4×24=0，最后解关于n的方程即可．
18.【答案】解：(1) 6− 3 3+(2+ 2)(2− 2)
= 6 3− 3 3+4−2
= 2−1+4−2
= 2+1；
(2)(2x+1−1)÷x2−2x+1x+1
=2−(x+1)x+1⋅x+1(x−1)2
=1−xx+1⋅x+1(1−x)2
=11−x．
【解析】(1)先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
19.【答案】解：(1)1x−2−1−x2−x=1，
去分母，得：1+(1−x)=x−2，
解得x=2，
检验：当x=2时，x−2=0，
∴原分式方程无实数根；
(2)x2−3x−4=0，
a=1，b=−3，c=−4，
Δ=(−3)2−4×1×(−4)=25，
∴x=3± 252=3±52，
解得x1=4，x2=−1．
【解析】(1)先把分式方程化为整式方程，然后求解，再检验即可；
(2)根据公式法解方程即可．
20.【答案】解：x−4−(−4x)=x−4+4x=x2−4x+4x=(x−2)2x，
又∵(x−2)2≥0，x>0，
∴(x−2)2x≥0，
∴x−4−(−4x)≥0，
∴x−4≥−4x．
【解析】利用作差法，结合完全平方公式可得x−4−(−4x)=x−4+4x=x2−4x+4x=(x−2)2x，再根据偶次方的非负数性质可得答案．
21.【答案】108 200
【解析】解：(1)所抽取的学生人数为48÷24%=200，
“B蓝孔雀”所对应扇形圆心角的度数为360°×60200=108°；
故答案为：108，200；
(2)C的人数为200−36−60−48=56(人)，
补全条形统计图如下：
(3)2000×56200=560(名)，
答：估计希望看到“C豚鼠”的学生数是720名．
22.【答案】(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC/​/DE，
∵MN/​/AB，即CE/​/AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
(2)解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD/​/CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
(3)当∠A=45°时，∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
由(2)可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC=∠CBE=45°，
∴∠DBE=90°，
∴四边形BECD是正方形．
【解析】(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
(3)当∠A=45°，四边形BECD是正方形．
23.【答案】(1)证明：k=0时，方程为x−2=0，方程有实数根．
k≠0时，方程为一元二次方程，
△=(3k−1)2−8k(k−1)
=k2+2k+1=(k+1)2
∵(k+1)2≥0，
∴一元二次方程有实根，
∴无论k为任何实数，方程总有实根．
(2)解方程kx2−(3k−1)x+2(k−1)=0
得：x=3k−1±(k+1)2k，即x2=2，x2=k−1k．
∵|x1−x2|=2，
∴2−k−1k=2或k−1k−2=2，
∴k=1或k=−13．
∴k的值为1或−13．
【解析】(1)分k=0与k≠0两种情况进行分类讨论；
(2)先用k表示出x的值，再根据|x1−x2|=2即可得出k的值．
24.【答案】解：(1)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y=(40−x)(20+2x)=800+80x−20x−2x2=−2x2+60x+800，
当y=1200时，−2x2+60x+800=200，
解得x1=10，x2=20，
但要尽快减少库存，
所以取x=20，
答：每件衬衫应降价20元；
(2)∵y=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250，
∵−2<0，
∴当x=15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【解析】(1)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利(40−x)元，每天可以售出(20+2x)件，进而得到商场平均每天盈利(40−x)(20+2x)元，得到y关于x的二次函数解析式，令y=1200，得到一元二次方程，解方程即可得到x的值；
(2)用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
25.【答案】解：方法一：如图1，连接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D点，再作∠ODN=∠POD交OB于N点，则过PN的直线为l，直线l交OA于M点，
所以直线l为所作；
方法二：如图2，连接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D点，再在OB上截取ON=PD，则过PN的直线为l，直线l交OA于M点，
所以直线l为所作．

【解析】方法一：如图1，连接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D点，再作∠ODN=∠POD交OB于N点，于是可证明四边形OPDN为平行四边形，连接PN交OA于M点，则PM=MN；
方法二：如图2，连接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D点，再在OB上截取ON=PD，则可证明四边形OPDN为平行四边形，连接PN交OA于M点，则PM=MN．
26.【答案】20 29
【解析】(1)证明：如图1，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
显然S△ABDS△ACD=BDCD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABDS△ACD=12AB⋅DE12AC⋅DF=BDCD，
∴ABAC=BDCD；
(2)如图，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=1，BD= 2，∠ADB=12∠ADC=45°，
∵∠ADE=14∠ADC，
∴∠ADE=∠BDE，
∴ADBD=AEBE=1 2，
∴AE= 2−1；
(3)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴AFEC=AGGC，AA′EC=AHHC，
∴2AFEC=AA′EC，
∴2AGGC=AHHC，
∴2AG10=AG+28，
∴AG=103，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC，
∵EF//AB，
∴∠BAE=∠AEG，
∴∠GAE=∠GEA，
∴EG=AG=103，
∵CF= CG2−FG2= 100−1009=20 23，
∵BE：CE=AG：CG=1：3，
∴BE=13CE=20 29．
故答案为：20 29．