2023-2024学年江苏省南京市秦淮区第十八中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区第十八中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列手机应用的图标是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是( )
A. 4，5，6B. 1，2，3C. 2，3，4D. 5，12，13
3.点2,−1关于x轴对称的点的坐标为
( )
A. 2,1B. −2,1C. 2,−1D. −2,−1
4.如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC=CD，AB=DE.若AC=3.5，BD=9，则AE的长为
( )
A. 2B. 2.5C. 3D. 5.5
5.如图，一次函数y=34x+92的图像与y=kx+b的图像相交于点P(−2,n)，则关于x，y的方程组3x−4y+18=0,kx−y+b=0的解是
( )
A. x=−2,y=2B. x=−2,y=3C. x=3,y=−2D. x=2,y=−2
6.如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是
( )
A. 5B. 5+2 2C. 2 5+1D. 2+ 2+ 5
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.化简： 25= ．
8.在实数3211，37， 9，3.1415，π3中，无理数有 个．
9.比较大小： 2 5−1.(填“>”“<”或“=”)
10.如图，已知∠1=∠2，要使△ABC≌△ADC，可以添加的条件为 (写出一个即可)．
11.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)是一次函数y=−2x+1图象上的两点，当x1>x2时，y1__ ___y2(填“>”“=”或“<”)
12.在等腰三角形ABC中，∠A=2∠B.若∠A为底角，则∠C= ∘．
13.已知一次函数y=x−m+3(m为常数)的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围为 ．
14.如图，▵ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则▵CDE的周长为 ．
15.在课本上的“数学活动折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片(如图).若正方形纸片的边长为2cm，则EA′的长为 cm．
16.如图，一次函数y=12x+2的图像与x轴交于点A.将该函数图像绕点A.逆时针旋转45∘，则得到的新图像的函数表达式为 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)327+ (−2)2− 32；
(2)− 3− 3−2．
18.(本小题8分)
求下列各式中的x：
(1)3x2=12；
(2)(x−1)3=−64．
19.(本小题8分)
已知：如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE.求证：
(1)▵ABD≌▵ACE；
(2)∠ADE=∠AED．
20.(本小题8分)
一次函数y=kx+b(k,b为常数)的图像经过点(2,−2)，(0,2)．
(1)求该函数的表达式；
(2)画出该函数的图像；
(3)不等式kx+b<0的解集为______．
21.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，∠C=90∘，AC=8，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．
(1)若∠A=25∘，求∠DBC的度数；
(2)若BC=4，求BD的长．
22.(本小题8分)
已知一次函数y=mx+2m−2(m为常数，m≠0).
(1)若该函数的图像经过原点，求m的值；
(2)当023.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，▵ABC的三个顶点坐标分别为A1,1，B5,2，C2,2.将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点A′，C′．

(1)点A′，C′的坐标分别为______，_______；
(2)求证：点A′，C′，B在一条直线上．
24.(本小题8分)
如图，已知线段a，b，c.求作▵ABC，使AB=a，BC=b，且分别满足下列条件：

(1)AB上的中线为c．
(2)AB上的高为c．
(说明：①尺规作图，保留作图痕迹；②可以有必要的作图说明；③每小题满足条件的一个三角形即可．)
25.(本小题8分)
甲、乙两家快递公司都要将货物从A地派送至B地．甲公司运输车要先在A地的集货中心拣货，然后直接发往B地．乙公司运输车从A地出发后，先到达位于A、B两地之间的C地休息，再以原速驶往B地．两车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达B地．
(1)A地与B地之间的距离为______km．
(2)求线段MN对应的函数表达式．
(3)已知C地距离A地160km，当t为何值时，甲、乙两公司运输车相距80km？
26.(本小题8分)
回顾旧知
(1)如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使PA+PB最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在l上任取一点P′，作点A关于l的对称点A′，AA′与直线l相交于点C.连接P′A′，易知▵AP′C≌______，从而有P′A=P′A′.这样，在▵A′P′B中，根据“_______”可知A′B与l的交点P即为所求．
解决问题
(2)如图②，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AB=8，E，F为AB上的两个动点，且AE=BF，求CE+CF的最小值．
变式研究
(3)如图③，在▵ABC中，∠ABC=60∘，AC=5，BC=4，点D，E分别为AB，AC上的动点，且AD=CE，请直接写出CD+BE的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】本题考查构成三角形的条件及勾股定理逆定理，根据构成三角形的条件及勾股定理逆定理逐项验证即可得到答案，熟记构成三角形的条件及勾股定理逆定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、4，5，6满足构成三角形的条件，但是42+52=41≠36=62，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意；
B、由1+2=3可知，这三条线段不能构成三角形，不符合题意；
C、2，3，4满足构成三角形的条件，但是22+32=13≠16=42，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意；
D、5，12，13满足构成三角形的条件，且52+122=169=132，三条线段首尾相连能组成直角三角形，符合题意；
故选：D．
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了坐标关于坐标轴的对称规律，根据坐标的对称特征：关于x轴对称时横坐标不变，纵坐标互为相反数，计算求值即可；
【详解】解：点2,−1关于x轴对称的点的坐标为2,1，
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意，利用直角三角形全等的判定定理得到Rt▵EDC≌Rt▵BACHL，求出相关线段长度，由图中线段关系表示出EA=EC−AC=BC−AC，代值求解即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵AC=3.5，
∴CD=AC=3.5，
∵EC⊥BD，
∴∠ECD=∠BCA，
在Rt▵EDC和Rt▵BAC中，
AC=CDAB=ED
∴Rt▵EDC≌Rt▵BACHL，
∴EC=BC，
∵BC=BD−CD=BD−AC=9−3.5=5.5，
∴EA=EC−AC=BC−AC=5.5−3.5=2，
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解．
【详解】解：关于x，y 的 方程组3x−4y+18=0,kx−y+b=0可化为：y=34x+92y=kx+b
故一次函数y=34x+92的图像与y=kx+b的图像的交点坐标即为方程组的解，
将P(−2,n)代入y=34x+92得：n=34×−2+92=3，
∴P(−2,3)
故关于x，y的方程组3x−4y+18=0,kx−y+b=0的解是x=−2,y=3
故选：B
6.【答案】A
【解析】【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段MN的长即可．
【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，
连接MN，
则最短路径MN= 42+32=5，
故选A
7.【答案】5
【解析】【分析】根据算术平平方根性质计算即可．
【详解】解： 25=5.故答案为：5．
8.【答案】2
【解析】【分析】本题考查了实数的分类；
根据无限不循环小数叫做无理数进行判断即可．
【详解】解： 9=3，
无理数有37，π3，共2个，
故答案为：2．
9.【答案】>
【解析】【分析】本题考查了无理数的大小比较，涉及了完全平方公式，比较 2+12, 52的大小即可求解．
【 详解】解：∵ 2+12=3+2 2=3+ 8，
4<8<9，且8更靠近9
∴2.5< 8<3
∴5.5<3+ 8<6
即：5.5< 2+12<6
∵ 52=5
∴ 2+12> 52
∵ 2+1>0, 5>0
∴ 2+1> 5
∴ 2> 5−1
故答案为：>
10.【答案】AD=AB(答案不唯一)
【解析】【分析】本题考查添加条件判定三角形全等，涉及三角形全等的判定定理，选择AD=AB，利用三角形全等的判定定理SAS即可得到答案，熟记三角形全等判定定理是解决问题的关键．
【 详解】解：∵∠1=∠2，AC=AC，
∴添加AD=AB，利用SAS即可判定△ABC≌△ADC，
故答案为：AD=AB(答案不唯一)．
11.【答案】<
【解析】【分析】由k=−2<0根据一次函数的性质可得出结论．
【详解】∵一次函数y=−2x+1中k=−2<0，
∴该一次函数y随x的增大而减小，
∵x1>x2，
∴y1故答案为：<．
12.【答案】72
【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理；
根据题意可知∠C为底角，则∠C=∠A=2∠B，然后利用三角形内角和定理求出∠B，进而可得∠C的度数．
【详解】解：∵∠A为底角，∠A=2∠B，
∴∠C=∠A=2∠B，
又∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴2∠B+∠B+2∠B=180∘，
∴∠B=36∘，
∴∠C=2∠B=72∘，
故答案为：72．
13.【答案】m<3
【解析】【分析】本题考查一次函数图象与性质，求出一次函数y=x−m+3(m为常数)的图象与y轴的交点的坐标为0,−m+3，由题意确定−m+3>0求解即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵一次函数y=x−m+3(m为常数)的图象与y轴的交点的坐标为0,−m+3，
∴当一次函数y=x−m+3(m为常数)的图象与y轴的交点在x轴的上方时，−m+3>0，解得m<3，
故答案为：m<3．
14.【答案】14
【解析】【分析】由题意易得CD=BD=4,DE=CE=5，进而问题可求解．
【详解】解：∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∵BC=8，
∴CD=BD=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=12AC=5，
∴▵CDE的周长为CD+CE+DE=14；
故答案为14．
15.【答案】2− 3
【解析】【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，先由折叠的性质得出A′B,BF的长度，再利用勾股定理求出A′E的长度，最后根据A′E=EF−A′F求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】由折叠的性质得AE=DE=1,AB=AB′=2=EF,BF=CF=1，∠A′FB=90∘，
∴A′F= 22−12= 3，
∴A′E=EF−A′F=2− 3，
故答案为：2− 3．
16.【答案】y=3x+12
【解析】【分析】根据题意得A−4,0和B0,2，设旋转45∘后的直线为l，过点B作BD⊥l垂足为点D，过点D作DN⊥y轴，DM⊥x轴，则▵ABD为等腰直角三角形，有AD=BD，可证明▵AMD≌▵BND，得DM=DN和AM=BN，可求得点D−3,3，采取待定系数法即可求得答案．
【详解】解：一次函数y=12x+2的图像与x轴交于点A，则A−4,0，
设一次函数y=12x+2的图象与y轴交于点B，则B0,2，
设旋转45∘后的直线为l，过点B作BD⊥l垂足为点D，过点D作DN⊥y轴，DM⊥x轴，如图，
则▵ABD为等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADM+∠MDB=∠BDN+∠MDB=90∘，
∴∠ADM=∠BDN，
在▵AMD和▵BND中
∠AMD=∠BND=90∘∠ADM=∠BDNAD=BD
∴▵AMD≌▵BNDAAS，
∴DM=DN，AM=BN
则2+NB=4−NB，解得NB=1，
∴D−3,3，
设直线l的解析式为y=kx+b，代入点A−4,0，D−3,3得∶
−4k+b=0−3k+b=3，解得k=3b=12,
则设直线l的解析式为∶y=3x+12．
故答案为∶y=3x+12．
17.【答案】【小问1详解】
解：原式=3+2−3
=2；
【小问2详解】
解：原式=− 3−2− 3
=− 3−2+ 3
=−2．

【解析】【分析】本题考查了立方根、二次根式的性质、二次根式的加减；
(1)先根据立方根，二次根式的性质化简，再计算即可；
(2)先化简绝对值，再进行计算即可．
18.【答案】【小问1详解】
解：∵3x2=12，
∴x2=4，
∴x1=2，x2=−2；
【小问2详解】
解：∵(x−1)3=−64，
∴x−1=−4，
∴x=−3．

【解析】【分析】本题考查解方程，涉及平方根、立方根的定义及运算，熟练掌握平方根及立方根的运算法则是解决问题的关键．
(1)先化简得到x2=4，再利用平方根运算直接开方即可得到答案；
(2)根据立方根运算直接开方即可得到答案．
19.【答案】【小问1详解】
∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，∠ABD=∠ACE，
∴▵ABD≌▵ACE(ASA)；
【小问2详解】
∵▵ABD≌▵ACE，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．

【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
(1)根据“角边角”即可证明▵ABD≌▵ACE；
(2)根据全等三角形的性质可得AD=AE，根据等腰三角形的性质，即得答案．
20.【答案】【小问1详解】
解：∵一次函数y=kx+b(k,b为常数)的图像经过点(2,−2)，(0,2)，
∴−2=2k+b2=b，解得k=−2b=2,
∴该函数的表达式y=−2x+2；
【小问2详解】
解：当y=0时，−2x+2=0，解得x=1，
∴一次函数y=−2x+2过点(0,2)和1,0，
描点、连线，如图所示：
【小问3详解】
解：由(2)中图像可知，不等式kx+b<0的解集是指一次函数y=−2x+2在x轴下方图像所对应的x的取值范围，
∵一次函数y=−2x+2图像与x轴的交点为1,0，
∴不等式kx+b<0的解集为x>1．

【解析】【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数、作一次函数图像、由图像解不等式等，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．
(1)由题意，利用待定系数法，列二元一次方程组求解即可得到答案；
(2)根据两点确定一条直线，利用描点、连线的方法作一次函数图像即可得到答案；
(3)由一次函数图像与不等式的关系，数形结合即可得到答案．
21.【答案】【小问1详解】
∵∠C=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=25∘，
∴∠DBC=90∘−∠A−∠ABD=40∘；
【小问2详解】
由(1)得AD=BD，
设AD=BD=x，
∵AC=8，
∴CD=8−x，
∵∠C=90∘，
∴BC2+CD2=BD2，
∵BC=4，
∴42+8−x2=x2，
解得x=5，即BD=5．

【解析】【分析】(1)先由直角三角形两锐角互余得出∠A+∠ABC=90∘，再根据垂直平分线的性质得出AD=BD，由等边对等角得出∠A=∠ABD，最后根据∠DBC=90∘−∠A−∠ABD求解即可；
(2)设AD=BD=x，则CD=8−x，直接根据勾股定理列方程求解即可．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等边对等角，角的和差，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
22.【答案】【小问1详解】
解：∵一次函数y=mx+2m−2的图像经过原点0,0，
∴0=2m−2，解得m=1；
【小问2详解】
解：∵0∴函数值y随着x的增大而增大，−2<2m−2<0，即该函数图像经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四．

【解析】【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及函数图像过点求参数、函数图像所在象限等，熟记一次函数图像与性质，数形结合求解是解决问题的关键．
(1)将原点0,0代入y=mx+2m−2，解方程求解即可得到答案；
(2)根据一次函数图像与性质判定即可得到答案．
23.【答案】【小问1详解】
∵A1,1，C2,2.将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点A′，C′，
∴A′1,1−3,C′2,2−3，即A′1,−2,C′2,−1，
故答案为：1,−2,2,−1；
【小问2详解】
设直线A′C′的解析式为y=kx+bk≠0，
将A′1,−2,C′2,−1代入，得−2=k+b−1=2k+b,
解得k=1b=−3,
∴直线A′C′的解析式为y=x−3，
∵B5,2，
当x=5时，y=5−3=2，
∴点A′，C′，B在一条直线上．

【解析】【分析】本题考查了平移与图形变化，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
(1)直接根据平移的性质求解即可；
(2)设直线A′C′的解析式为y=kx+bk≠0，利用待定系数法求出其解析式，再将点B的坐标代入，即可证明．
24.【答案】【小问1详解】
解：如图：▵ABC即为所求：

【小问2详解】
解：如图：▵ABC即为所求：


【解析】【分析】本题考查了尺规作图，掌握相关结论是解题关键．
(1)作线段BC=b，分别以B,C为圆心，12a,c为半径画弧，两弧交于点D；作射线BD，以点D为圆心，BD为半径画弧交射线BD于点A，即可完成作图；
(2)作线段BC=b，作出以BC为直径的⊙O，以点C为圆心，c为半径画弧，交⊙O于点H，作射线BH，以点B为圆心，a为半径画弧交射线BH于点A，即可完成作图；
25.【答案】【小问1详解】
解：由两车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系图可知A地与B地之间的距离为360km，
故答案为：360；
【小问2详解】
解：由两车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系图可知，线段MN过M2,360、N8,0，
设线段MN对应的函数表达式为s=kt+b，
则360=2k+b0=8k+b，解得k=−60b=480,
∴线段MN对应的函数表达式为s=−60t+4802≤t≤8；
【小问3详解】
解：∵C地距离A地160km，
∴由两车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系图可知，乙车的速度为160÷2=80km/h，
∴当t=1时，甲乙两公司运输车相距80km；
由两车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系图可知，乙车从C地到B地的时间是360−160÷80=2.5h，则乙车在C地休息的时间是8−2−2.5=3.5h，
在线段MN过程中，当离B地的距离为200km时，两车相遇，此时t=143，
在相遇前，当乙车在C点休息阶段，即2≤t≤143时，由(2)中线段MN对应的函数表达式为s=−60t+4802≤t≤8，
∴当−60t+480−200=80，解得t=103，即当t=103时，甲乙两公司运输车相距80km；
在相遇后，当乙车在C点休息阶段，即143≤t≤5.5时，由(2)中线段MN对应的函数表达式为y=−60t+4802≤t≤8，
∴200−−60t+480=80，解得t=6，根据6>5.5可知，此情况不存在；
设乙车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系式为s=k′t+b′，
将5.5,200、8,0代入可得200=5.5k′+b′0=8k′+b′，解得k′=−80b′=640,
∴s=−80t+6405.5≤t≤8，
∴在5.5≤t≤8时，当−80t+640−−60t+480=80，解得t=4，根据4<5.5可知，此情况不存在；
综上所述，当t=1或t=103时，甲乙两公司运输车相距80km．

【解析】【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、行程问题等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．
(1)根据题中两车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系图即可得到答案；
(2)根据题中两车离B地的 距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系图，利用待定系数法将M2,360、N8,0代入y=kx+b解二元一次方程组即可得到答案；
(3)根据题中两车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系图，数形结合，分四类讨论，列方程求解即可得到答案．
26.【答案】解：(1)由对称可知：▵AP′C≌▵A′P′C，
在▵A′P′B中，根据两点之间，线段最短可知A′B与l的交点P即为所求，
故答案为：▵A′P′C；两点之间，线段最短；
(2)作ED//CF，使得ED=CF，连接CD交AB于点O，连接FD，如图所示；
则四边形CEDF为平行四边形，
∴CF=DE，EO=FO,CO=DO，
∵AE=BF，
∴AO=OB=12AB=4，
∵∠ACB=90∘，
∴CO=12AB=DO=4，CD=8，
∴CE+CF=CE+ED≥CD，
∴CE+CF的最小值为8；
(3)作AB//CK，使得CK=AC，作BG⊥CG，连接BK，如图所示：
∵AB//CK，
∴∠KCE=∠CAD，
∵CK=AC，AD=CE，
∴▵KCE≌▵CAD，
∴EK=CD，
∴CD+BE=EK+BE≥BK，
∵AB//CK，BG⊥CG，
∴∠ABG=90∘，
∵∠ABC=60∘，
∴∠CBG=30∘，CG=12BC=2,BG= BC2−CG2=2 3，
∴GK=CK+CG=7，
∴BK= BG2+GK2== 2 32+72= 61，
∴CD+BE的最小值 61．

【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理以及对称的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键．
(1)根据对称的性质，三角形三边关系即可求解；
(2)作ED//CF，使得ED=CF，连接CD交AB于点O，连接FD，可得四边形CEDF为平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出OC,CD的长，故CE+CF=CE+ED≥CD，据此即可求解；
(3)作AB//CK，使得CK=AC，作BG⊥CG，连接BK，证▵KCE≌▵CAD得EK=CD，推出CD+BE=EK+BE≥BK，即可求解；