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2023-2024学年广东省茂名市信宜二中八年级（下）期末数学热身试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年广东省茂名市信宜二中八年级（下）期末数学热身试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.人工智能与5G时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活.下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如果mA. m+23.在函数y= x−1x+5中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥1且x≠−5B. x>−5C. x≥1D. x≥1且x≠5
4.在平面直角坐标系中，点P(3,−2)关于原点对称的点的坐标为(m,n)，则m+n的值是( )
A. 5B. −5C. 1D. −1
5.小张同学在化简分式□x2−4时得到的结果为x−2x+2，□部分不小心用橡皮擦掉了，请你推测□部分的代数式应该是( )
A. x+2B. (x−2)2C. x−2D. (x+2)2
6.不等式0≤x<2的解( )
A. 为0，1，2B. 为0，1C. 为1，2D. 有无数个
7.如图，直线m//n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1=140°，则∠2的度数是( )
A. 110°
B. 105°
C. 100°
D. 95°
8.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图2是其平面示意图，则∠1的度数为( )
A. 130°B. 120°C. 110°D. 60°
9.在因式①−x2−y2；②−14a2b2+1；③a2+ab+b2；④−x2+2x−y2；⑤14−mn+m2n2中，能用公式法分解因式的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
10.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=4，AC=6，BD=10，则BC的长为( )
A. 8B. 6C. 3 5D. 2 13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式3x−2>7的解集是______．
12.如图，点D，E分别为AC，AB边上的中点，若BC=12，则DE的长为______．
13.如图，在四边形ABCD中，∠ABD=∠CDB=90°，根据“HL”添加条件______可得△ABD≌△CDB．
14.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b<3的解集为______．
15.已知x−3(x+1)(x−1)=Ax+1+Bx−1，则A= ______，B= ______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
因式分解：
(1)25c2−49a2b2；
(2)3ax2−6axy+3ay2；
17.(本小题8分)
解不等式(组)：
(1)解不等式：5x−5<2(2+x)；
(2)解不等式组5x+1≤3x+32x−13>3x+12并把它的解集在数轴上表示出来．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(x2−2x+1x2−1−1x+1)÷2x−4x2+x，其中x=3．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°．
(1)尺规作图：
①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求∠DAE的度数．
20.(本小题8分)
某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
(1)求原计划租用A种客车多少辆，这次研学去了多少人；
(2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．
(1)求证：CF=BE；
(2)若AC=6，AB=10，求AF的长．
22.(本小题8分)
【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：a2+6a+8=a2+6a+9−1=(a+3)2−1=(a+3+1)(a+3−1)=(a+4)(a+2)．
②求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8=a2+6a+9−1=(a+3)2−1
∵(a+3)2≥0，
∴(a+3)2−1≥−1，
即a2+6a+8的最小值为−1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ______．
(2)利用上述方法进行因式分解：a2−10a+21．
(3)求4x2+4x+5的最小值．
23.(本小题9分)
定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程.例如：方程4x−16=0的解为x=4，不等式组x−2>0x<5的解集为20x<5的子方程．
(1)在方程①5x+2=0，②34x+1=0，③x−(3x+1)=−5中，不等式组8x+6<9x+52x−1<7的子方程是______(填序号)；
(2)若不等式组x−12≤14x3+x2≥−1的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是______；
(3)若方程2x+3=x+6，2x+5=32(x+4)都是关于x的不等式组2x<3x−m2x−4≤2m的子方程，求m的取值范围．
24.(本小题10分)
综合与实践：
【问题背景】
(1)三角形中位线定理：如图①，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点.请直接写出中位线DE和第三条边BC的位置关系和数量关系；
【知识应用】
(2)如图②，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=10，CD=8，EF=3，∠AFE=43°，求∠ADC的度数；
【解决问题】
(3)如图③，在四边形ABCD中，点M，N分别为边AD，BC的中点，对角线AC与BD相交于点E，连接MN，分别交AC，BD于点F，G，EF=EG.求证：BD=AC．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.B
6.D
7.C
8.B
9.A
10.D
11.x>3
12.6
13.AD=BC
14.x>−1
15.2；−1
16.解：(1)25c2−49a2b2
=(5c)2−(7ab)2
=(5c+7ab)(5c−7ab)；
(2)3ax2−6axy+3ay2
=3a(x2−2xy+y2)
=3a(x−y)2．
17.解：(1)去括号得：5x−5<4+2x，
移项得：5x−2x<4+5，
合并得：3x<9，
解得：x<3；
(2)5x+1≤3x+3①2x−13>3x+12②，
解①得x≤1，
解②得x<−1，
所以不等式组的解集为x<−1，
用数轴表示为：
18.解：(x2−2x+1x2−1−1x+1)÷2x−4x2+x
=[(x−1)2(x+1)(x−1)−1x+1]⋅x(x+1)2(x−2)
=(x−1x+1−1x+1)⋅x(x+1)2(x−2)
=x−2x+1⋅x(x+1)2(x−2)
=x2，
当x=3时，原式=32．
19.解：(1)如图，点D，射线AE即为所求．
(2)∵DF垂直平分线段AB，
∴DB=DA，
∴∠DAB=∠B=40°，
∵∠C=30°，
∴∠BAC=180°−30°−40°=110°，
∴∠CAD=110°−40°=70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=12∠DAC=35°．
20.解：(1)设租用A种客车x辆，则这次研学一共有(45x+30)人，
根据题意得45x+30=60(x−6)，
解得：x=26，
45x+30=45×26+30=1200人，
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学一共有1200人；
(2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25−y)辆，
根据题意得45(25−y)+60y≥1200，
解得：y≥5，
∵B种客车不超过7辆，
∴5≤y≤7，
又∵y为正整数，y可以为5，6，7，
∴该校共有 3 种租车方案：
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车．
21.(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，∠BED=∠C=90°．
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
DF=BDCD=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴CF=BE．
(2)在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADamp;CD=DEamp;，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
∴AC=AE．
∵AC=6，AB=10，
∴BE=AB−AE=AB−AC=4．
∴AF=AC−CF=AC−BE=2．
22.4
23.③ −1或0
24.(1)解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC；
(2)解：∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF//BD，BD=2EF=6，
∴∠ADB=∠AFE=43°．
∵BC=10，CD=8，
∴BD2+CD2=100，BC2=100，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=133°；
(3)证明：如图，取DC的中点H，连接MH，NH．
∵M，H分别是AD，DC的中点，
∴MH//AC，MH=12AC，
同理可得NH//BD，NH=12BD．
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF，
∵MH//AC，NH//BD，
∴∠EFG=∠HMN，∠EGF=∠HNM，
∴∠HMN=∠HNM，
∴MH=NH，
∴AC=BD．
1.人工智能与5G时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活.下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如果m
A. x≥1且x≠−5B. x>−5C. x≥1D. x≥1且x≠5
4.在平面直角坐标系中，点P(3,−2)关于原点对称的点的坐标为(m,n)，则m+n的值是( )
A. 5B. −5C. 1D. −1
5.小张同学在化简分式□x2−4时得到的结果为x−2x+2，□部分不小心用橡皮擦掉了，请你推测□部分的代数式应该是( )
A. x+2B. (x−2)2C. x−2D. (x+2)2
6.不等式0≤x<2的解( )
A. 为0，1，2B. 为0，1C. 为1，2D. 有无数个
7.如图，直线m//n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1=140°，则∠2的度数是( )
A. 110°
B. 105°
C. 100°
D. 95°
8.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图2是其平面示意图，则∠1的度数为( )
A. 130°B. 120°C. 110°D. 60°
9.在因式①−x2−y2；②−14a2b2+1；③a2+ab+b2；④−x2+2x−y2；⑤14−mn+m2n2中，能用公式法分解因式的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
10.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=4，AC=6，BD=10，则BC的长为( )
A. 8B. 6C. 3 5D. 2 13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式3x−2>7的解集是______．
12.如图，点D，E分别为AC，AB边上的中点，若BC=12，则DE的长为______．
13.如图，在四边形ABCD中，∠ABD=∠CDB=90°，根据“HL”添加条件______可得△ABD≌△CDB．
14.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b<3的解集为______．
15.已知x−3(x+1)(x−1)=Ax+1+Bx−1，则A= ______，B= ______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
因式分解：
(1)25c2−49a2b2；
(2)3ax2−6axy+3ay2；
17.(本小题8分)
解不等式(组)：
(1)解不等式：5x−5<2(2+x)；
(2)解不等式组5x+1≤3x+32x−13>3x+12并把它的解集在数轴上表示出来．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(x2−2x+1x2−1−1x+1)÷2x−4x2+x，其中x=3．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°．
(1)尺规作图：
①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求∠DAE的度数．
20.(本小题8分)
某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
(1)求原计划租用A种客车多少辆，这次研学去了多少人；
(2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．
(1)求证：CF=BE；
(2)若AC=6，AB=10，求AF的长．
22.(本小题8分)
【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：a2+6a+8=a2+6a+9−1=(a+3)2−1=(a+3+1)(a+3−1)=(a+4)(a+2)．
②求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8=a2+6a+9−1=(a+3)2−1
∵(a+3)2≥0，
∴(a+3)2−1≥−1，
即a2+6a+8的最小值为−1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ______．
(2)利用上述方法进行因式分解：a2−10a+21．
(3)求4x2+4x+5的最小值．
23.(本小题9分)
定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程.例如：方程4x−16=0的解为x=4，不等式组x−2>0x<5的解集为2
(1)在方程①5x+2=0，②34x+1=0，③x−(3x+1)=−5中，不等式组8x+6<9x+52x−1<7的子方程是______(填序号)；
(2)若不等式组x−12≤14x3+x2≥−1的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是______；
(3)若方程2x+3=x+6，2x+5=32(x+4)都是关于x的不等式组2x<3x−m2x−4≤2m的子方程，求m的取值范围．
24.(本小题10分)
综合与实践：
【问题背景】
(1)三角形中位线定理：如图①，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点.请直接写出中位线DE和第三条边BC的位置关系和数量关系；
【知识应用】
(2)如图②，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=10，CD=8，EF=3，∠AFE=43°，求∠ADC的度数；
【解决问题】
(3)如图③，在四边形ABCD中，点M，N分别为边AD，BC的中点，对角线AC与BD相交于点E，连接MN，分别交AC，BD于点F，G，EF=EG.求证：BD=AC．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.B
6.D
7.C
8.B
9.A
10.D
11.x>3
12.6
13.AD=BC
14.x>−1
15.2；−1
16.解：(1)25c2−49a2b2
=(5c)2−(7ab)2
=(5c+7ab)(5c−7ab)；
(2)3ax2−6axy+3ay2
=3a(x2−2xy+y2)
=3a(x−y)2．
17.解：(1)去括号得：5x−5<4+2x，
移项得：5x−2x<4+5，
合并得：3x<9，
解得：x<3；
(2)5x+1≤3x+3①2x−13>3x+12②，
解①得x≤1，
解②得x<−1，
所以不等式组的解集为x<−1，
用数轴表示为：
18.解：(x2−2x+1x2−1−1x+1)÷2x−4x2+x
=[(x−1)2(x+1)(x−1)−1x+1]⋅x(x+1)2(x−2)
=(x−1x+1−1x+1)⋅x(x+1)2(x−2)
=x−2x+1⋅x(x+1)2(x−2)
=x2，
当x=3时，原式=32．
19.解：(1)如图，点D，射线AE即为所求．
(2)∵DF垂直平分线段AB，
∴DB=DA，
∴∠DAB=∠B=40°，
∵∠C=30°，
∴∠BAC=180°−30°−40°=110°，
∴∠CAD=110°−40°=70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=12∠DAC=35°．
20.解：(1)设租用A种客车x辆，则这次研学一共有(45x+30)人，
根据题意得45x+30=60(x−6)，
解得：x=26，
45x+30=45×26+30=1200人，
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学一共有1200人；
(2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25−y)辆，
根据题意得45(25−y)+60y≥1200，
解得：y≥5，
∵B种客车不超过7辆，
∴5≤y≤7，
又∵y为正整数，y可以为5，6，7，
∴该校共有 3 种租车方案：
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车．
21.(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，∠BED=∠C=90°．
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
DF=BDCD=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴CF=BE．
(2)在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADamp;CD=DEamp;，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
∴AC=AE．
∵AC=6，AB=10，
∴BE=AB−AE=AB−AC=4．
∴AF=AC−CF=AC−BE=2．
22.4
23.③ −1或0
24.(1)解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC；
(2)解：∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF//BD，BD=2EF=6，
∴∠ADB=∠AFE=43°．
∵BC=10，CD=8，
∴BD2+CD2=100，BC2=100，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=133°；
(3)证明：如图，取DC的中点H，连接MH，NH．
∵M，H分别是AD，DC的中点，
∴MH//AC，MH=12AC，
同理可得NH//BD，NH=12BD．
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF，
∵MH//AC，NH//BD，
∴∠EFG=∠HMN，∠EGF=∠HNM，
∴∠HMN=∠HNM，
∴MH=NH，
∴AC=BD．
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