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2023-2024学年广东省茂名市八年级（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年广东省茂名市八年级（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示四个图标中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的有( )
①在83，π，−3.1415928， 3中，共有2个无理数；
②若a=b，则a2=b2，它的逆命题是真命题；
③若n边形的内角和是其外角和的2倍，则它是八边形．
A. ①B. ①②C. ①③D. ②③
3.已知aA. a+31−2bD. ac4.下列变形是因式分解的是( )
A. x(x−1)=x2−xB. x2+4x+4=(x+2)2
C. x2+xy+9=x(x+y)+9D. x2+6x+4=(x+3)2−5
5.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是( )
A. 120° B. 180°
C. 240° D. 360°
6.如果分式|x|−3x+3的值为0，那么x的值为( )
A. −3B. 3C. −3或3D. 3或0
7.将一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，顶点A，B，C，D在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG等于( )
A. 64°
B. 84°
C. 72°
D. 90°
8.若函数y=2x和y=bx+3的图象如图所示，则关于x的不等式2x−bx≤3的解集是( )
A. x≥2
B. x≤1
C. x≤2
D. x≥1
9.如图，在△ABC中，∠A=28°，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE.则∠EDF的度数是( )
A. 62°
B. 60°
C. 52°
D. 45°
10.如图，将Rt△ABC沿BC方向平移4个单位长度得到Rt△EFG，EF与AC相交于点H，∠ACB=90°，AC=10，AH=4，则图中阴影部分的面积为( )
A. 16
B. 20
C. 32
D. 40
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：x3−49x=______．
12.已知点P(a+b,−2)与点Q(−6,2a+b)关于原点对称，则3a+2b= ______．
13.定义运算aΔb=2a+1ab，如：1Δ2=21+12=52，若xΔ(−4)=14，则x的值为______．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=9，用尺规作图法构造∠CAB的平分线，交BC于点D，则CD的长为______．
15.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC边上的点，且AB=16，
BD=CE=3，M是AB边上的一动点，以M，D，E为顶点，DE为对角线构造
平行四边形MDNE，则MN的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：1−xx−1=x+2x2−2x+1；
(2)解不等式组：−2x+6<103(x−2)−2x≤−7，并将解集在数轴上表示出来．
17.(本小题7分)
如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE=DF，AF=CE，依次连接点A，B，C，D.求证：四边形ABCD为平行四边形．
18.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−3,0)，B(−5,−4)，C(−1,−4)．
(1)画出将△ABC绕点P(0,−3)旋转180°后得到的△A1B1C1；
(2)求证：AA1与CC1互相垂直平分．
19.(本小题9分)
笔、墨、纸、砚是中国独有的书法绘画工具，又称“文房四宝”.某校计划购买A，B两种型号的“文房四宝”，其中每套B型号的价格比每套A型号的价格少30元，买10套A型号和20套B型号共用2400元．
(1)求每套A，B型号的“文房四宝”的价格；
(2)若该校需购进A，B两种型号的“文房四宝”共60套，总费用不超过4500元，要求购进B型号的数量不超过A型号数量的6倍，求购得以上工具的最低费用．
20.(本小题9分)
如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E，D是三角形外的两点，分别连接CE，CD，AD，BE，其中CE=CD，CE⊥CD．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)如图2，BE交AD于点O，连接BD，F是BD的中点，分别连接AE，OF.若AE=AB，求BD与OF的数量关系．
21.(本小题9分)
阅读下面的材料，并解答问题．
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”.例如：将分式x−3x2−1表示成部分分式，∵x−3x2−1=x−3(x+1)(x−1)，∴设x−3x2−1=ax+1+bx−1，接下来求a，b的值.去分母，得x−3=(a+b)x+(b−a)，∴a+b=1b−a=−3，解得a=2b=−1，∴x−3x2−1=2x+1+−1x−1．
(1)若1x2+x=ax+bx+1(a,b为常数)，则a= ______，b= ______；
(2)已知5x(x+1)(x−3)=ax+1+bx−3(a,b为常数)，用材料中的解法求a，b的值；
(3)化简：1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+⋯+1(2x+1)(2x+2)．
22.(本小题12分)
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解.例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2．
(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______(直接列出等式即可)；
(2)若a+b+c=13，a2+b2+c2=57，求ab+ac+bc的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式2a2+7ab+3b2因式分解，并画出图形．
23.(本小题12分)
综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．
(1)【观察发现】如图1，若∠BCC′=15°，EC′⊥AB，BC=4+2 3，求EC的长；
(2)【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.B
6.B
7.B
8.B
9.C
10.C
11.x(x+7)(x−7)
12.8
13.7
14.32 3
15.8 3
16.解：(1)原方程去分母得：(x−1)2−x(x−1)=x+2，
整理得：x2−2x+1−x2+x=x+2，
即−x+1=x+2，
解得：x=−12，
检验：当x=−12时，(x−1)2≠0，
故原方程的解为x=−12；
(2)解第一个不等式得：x>−2，
解第一个不等式得：x≤−1，
故原不等式组的解集为−2．
17.证明：∵AC⊥BE，AC⊥DF，
∴∠BEO=∠DFO=90°，
在△BEO与△DFO中，
∠EOB=∠FOD,∠BEO=∠DFO,BE=DF,
∴△BEO≌△DFO(AAS)，
∴EO=FO，BO=DO，
又∵AF=CE，
∴AF−FO=CE−EO，
∴AO=CO，
又∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
18.(1)解：如图，△A1B1C1即为所求．
(2)证明：∵△ABC绕点P(0,−3)旋转180°后得到的△A1B1C1，
∴AA1与CC1均经过点P，且均被点P平分．
由勾股定理得，AC2=22+42=20，AP2=32+32=18，CP2=12+12=2，
∴AP2+CP2=AC2，
由勾股定理的逆定理得，∠APC=90°，
∴AA1⊥CC1，
∴AA1与CC1互相垂直平分．
19.解：(1)设每套A型号的价格是x元，则每套B型号的价格是(x−30)元，
则：10x+20(x−30)=2400，
解得：x=100，
∴x−30=70，
答：每套A型号的价格是100元，每套B型号的价格是70元；
(2)设购进B型号a套，则购进A型号(60−a)套，
则：100(60−a)+70a≤4500,a≤6(60−a),
解得：50≤a≤5137，
∴a的整数解为50，51．
当购进10套A型号“文房四宝”，50套B型号“文房四宝”，费用为：10×100+70×50=4500(元)；
当购进9套A型号“文房四宝”，51套B型号“文房四宝”，费用=9×100+70×51=4470(元)；
∵4500>4470，
∴当购进9套A型号“文房四宝”，51套B型号“文房四宝”时费用最低，最低费用是4470元．
20.(1)证明：∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°．
∵∠ACB=90°，∠ACB+∠DCB=∠DCE+∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
在△ACD与△BCE中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)解：BD=2OF，理由如下：
如图2，连接DE，设BE交CD于点H，
由(1)得△ACD≌△BCE，
∴∠CDA=∠CEB，
∵∠DHO=∠CHE，
∴∠DOH=∠ECD=90°，
∵AE=AB，
∴EO=BO，
∴AD垂直平分BE，
∴DE=DB，
∵EO=BO，
∴点O是BE的中点，
又∵点F是BD的中点，
∴OF是△BED的中位线，
∴ED=2OF，
∴BD=2OF．
21.（1）1 −1
22.（1）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
23.解：(1)由折叠知EC=EC，
∴∠EC′C=∠ECC′=15°，
∴∠BEC′=∠ECC′+∠ECC=30°，
∵EC⊥AB，
∴∠EC′B=90°，
∴BE=2BC．
由勾股定理得，EC′= BE2−(BC′)2= 4(BC)2−(BC′)2= 3BC′，
∴EC=EC′= 3BC′，
∴BC=BE+EC=2BC′+ 3BC′=4+2 3，
∴BC=2，
∴EC=2 3；
(2)证明：由折叠知∠CEF=∠CEF，∠EFD=∠EFD.由▱ABCD得AD//BC，∠D=∠B，
∴∠CEF+∠EFD=180°．
∴∠C′EF+∠EFD′=180°.，
∴CE//DF．
∴∠BCE=∠D′=∠D=∠B．
∴BE=CE=CE．
∴C′E=12BC，
∵AD//BC，点D在BA延长线上，
∴∠B=∠DAF=∠D．
∴AF=DF=DF．
∴D′F=12AD，
∵AD=BC，
∴CE=DF．
又∵CE//DF，
∴四边形ECDF是平行四边形．
1.如图所示四个图标中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的有( )
①在83，π，−3.1415928， 3中，共有2个无理数；
②若a=b，则a2=b2，它的逆命题是真命题；
③若n边形的内角和是其外角和的2倍，则它是八边形．
A. ①B. ①②C. ①③D. ②③
3.已知a
A. x(x−1)=x2−xB. x2+4x+4=(x+2)2
C. x2+xy+9=x(x+y)+9D. x2+6x+4=(x+3)2−5
5.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是( )
A. 120° B. 180°
C. 240° D. 360°
6.如果分式|x|−3x+3的值为0，那么x的值为( )
A. −3B. 3C. −3或3D. 3或0
7.将一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，顶点A，B，C，D在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG等于( )
A. 64°
B. 84°
C. 72°
D. 90°
8.若函数y=2x和y=bx+3的图象如图所示，则关于x的不等式2x−bx≤3的解集是( )
A. x≥2
B. x≤1
C. x≤2
D. x≥1
9.如图，在△ABC中，∠A=28°，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE.则∠EDF的度数是( )
A. 62°
B. 60°
C. 52°
D. 45°
10.如图，将Rt△ABC沿BC方向平移4个单位长度得到Rt△EFG，EF与AC相交于点H，∠ACB=90°，AC=10，AH=4，则图中阴影部分的面积为( )
A. 16
B. 20
C. 32
D. 40
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：x3−49x=______．
12.已知点P(a+b,−2)与点Q(−6,2a+b)关于原点对称，则3a+2b= ______．
13.定义运算aΔb=2a+1ab，如：1Δ2=21+12=52，若xΔ(−4)=14，则x的值为______．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=9，用尺规作图法构造∠CAB的平分线，交BC于点D，则CD的长为______．
15.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC边上的点，且AB=16，
BD=CE=3，M是AB边上的一动点，以M，D，E为顶点，DE为对角线构造
平行四边形MDNE，则MN的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：1−xx−1=x+2x2−2x+1；
(2)解不等式组：−2x+6<103(x−2)−2x≤−7，并将解集在数轴上表示出来．
17.(本小题7分)
如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE=DF，AF=CE，依次连接点A，B，C，D.求证：四边形ABCD为平行四边形．
18.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−3,0)，B(−5,−4)，C(−1,−4)．
(1)画出将△ABC绕点P(0,−3)旋转180°后得到的△A1B1C1；
(2)求证：AA1与CC1互相垂直平分．
19.(本小题9分)
笔、墨、纸、砚是中国独有的书法绘画工具，又称“文房四宝”.某校计划购买A，B两种型号的“文房四宝”，其中每套B型号的价格比每套A型号的价格少30元，买10套A型号和20套B型号共用2400元．
(1)求每套A，B型号的“文房四宝”的价格；
(2)若该校需购进A，B两种型号的“文房四宝”共60套，总费用不超过4500元，要求购进B型号的数量不超过A型号数量的6倍，求购得以上工具的最低费用．
20.(本小题9分)
如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E，D是三角形外的两点，分别连接CE，CD，AD，BE，其中CE=CD，CE⊥CD．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)如图2，BE交AD于点O，连接BD，F是BD的中点，分别连接AE，OF.若AE=AB，求BD与OF的数量关系．
21.(本小题9分)
阅读下面的材料，并解答问题．
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”.例如：将分式x−3x2−1表示成部分分式，∵x−3x2−1=x−3(x+1)(x−1)，∴设x−3x2−1=ax+1+bx−1，接下来求a，b的值.去分母，得x−3=(a+b)x+(b−a)，∴a+b=1b−a=−3，解得a=2b=−1，∴x−3x2−1=2x+1+−1x−1．
(1)若1x2+x=ax+bx+1(a,b为常数)，则a= ______，b= ______；
(2)已知5x(x+1)(x−3)=ax+1+bx−3(a,b为常数)，用材料中的解法求a，b的值；
(3)化简：1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+⋯+1(2x+1)(2x+2)．
22.(本小题12分)
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解.例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2．
(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______(直接列出等式即可)；
(2)若a+b+c=13，a2+b2+c2=57，求ab+ac+bc的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式2a2+7ab+3b2因式分解，并画出图形．
23.(本小题12分)
综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．
(1)【观察发现】如图1，若∠BCC′=15°，EC′⊥AB，BC=4+2 3，求EC的长；
(2)【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.B
6.B
7.B
8.B
9.C
10.C
11.x(x+7)(x−7)
12.8
13.7
14.32 3
15.8 3
16.解：(1)原方程去分母得：(x−1)2−x(x−1)=x+2，
整理得：x2−2x+1−x2+x=x+2，
即−x+1=x+2，
解得：x=−12，
检验：当x=−12时，(x−1)2≠0，
故原方程的解为x=−12；
(2)解第一个不等式得：x>−2，
解第一个不等式得：x≤−1，
故原不等式组的解集为−2
17.证明：∵AC⊥BE，AC⊥DF，
∴∠BEO=∠DFO=90°，
在△BEO与△DFO中，
∠EOB=∠FOD,∠BEO=∠DFO,BE=DF,
∴△BEO≌△DFO(AAS)，
∴EO=FO，BO=DO，
又∵AF=CE，
∴AF−FO=CE−EO，
∴AO=CO，
又∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
18.(1)解：如图，△A1B1C1即为所求．
(2)证明：∵△ABC绕点P(0,−3)旋转180°后得到的△A1B1C1，
∴AA1与CC1均经过点P，且均被点P平分．
由勾股定理得，AC2=22+42=20，AP2=32+32=18，CP2=12+12=2，
∴AP2+CP2=AC2，
由勾股定理的逆定理得，∠APC=90°，
∴AA1⊥CC1，
∴AA1与CC1互相垂直平分．
19.解：(1)设每套A型号的价格是x元，则每套B型号的价格是(x−30)元，
则：10x+20(x−30)=2400，
解得：x=100，
∴x−30=70，
答：每套A型号的价格是100元，每套B型号的价格是70元；
(2)设购进B型号a套，则购进A型号(60−a)套，
则：100(60−a)+70a≤4500,a≤6(60−a),
解得：50≤a≤5137，
∴a的整数解为50，51．
当购进10套A型号“文房四宝”，50套B型号“文房四宝”，费用为：10×100+70×50=4500(元)；
当购进9套A型号“文房四宝”，51套B型号“文房四宝”，费用=9×100+70×51=4470(元)；
∵4500>4470，
∴当购进9套A型号“文房四宝”，51套B型号“文房四宝”时费用最低，最低费用是4470元．
20.(1)证明：∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°．
∵∠ACB=90°，∠ACB+∠DCB=∠DCE+∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
在△ACD与△BCE中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)解：BD=2OF，理由如下：
如图2，连接DE，设BE交CD于点H，
由(1)得△ACD≌△BCE，
∴∠CDA=∠CEB，
∵∠DHO=∠CHE，
∴∠DOH=∠ECD=90°，
∵AE=AB，
∴EO=BO，
∴AD垂直平分BE，
∴DE=DB，
∵EO=BO，
∴点O是BE的中点，
又∵点F是BD的中点，
∴OF是△BED的中位线，
∴ED=2OF，
∴BD=2OF．
21.（1）1 −1
22.（1）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
23.解：(1)由折叠知EC=EC，
∴∠EC′C=∠ECC′=15°，
∴∠BEC′=∠ECC′+∠ECC=30°，
∵EC⊥AB，
∴∠EC′B=90°，
∴BE=2BC．
由勾股定理得，EC′= BE2−(BC′)2= 4(BC)2−(BC′)2= 3BC′，
∴EC=EC′= 3BC′，
∴BC=BE+EC=2BC′+ 3BC′=4+2 3，
∴BC=2，
∴EC=2 3；
(2)证明：由折叠知∠CEF=∠CEF，∠EFD=∠EFD.由▱ABCD得AD//BC，∠D=∠B，
∴∠CEF+∠EFD=180°．
∴∠C′EF+∠EFD′=180°.，
∴CE//DF．
∴∠BCE=∠D′=∠D=∠B．
∴BE=CE=CE．
∴C′E=12BC，
∵AD//BC，点D在BA延长线上，
∴∠B=∠DAF=∠D．
∴AF=DF=DF．
∴D′F=12AD，
∵AD=BC，
∴CE=DF．
又∵CE//DF，
∴四边形ECDF是平行四边形．
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