第05讲 一元二次方程根与系数的关系-初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）试卷

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韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ．
那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．
【考点剖析】
题型1：求根与系数关系
例1．（2020秋·广东揭阳·九年级统考期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值得为___________．
题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值
例2．（2023·山东济宁·统考二模）已知方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A．1B．C．2023D．
例3．（2023·江苏南京·统考二模）已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是______．
例4．（2023·湖北鄂州·统考二模）若实数分别满足，且，则代数式的值为______．
题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围）
例5．（2023·河北邯郸·统考三模）已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值为____________，的值是__________．
例6．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是_____.
题型4：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值
例7．（2023·北京海淀·统考二模）已知关于的一元二次方程．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．
题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题
例8.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长．
例9.已知关于x的方程有两根，其中且，求m的取值范围．
例10.已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ）
A．19B．18C．16D．15
2．（2023·四川绵阳·统考三模）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为( )
A．11B．C．11或D．11或或1
3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·云南昆明·统考二模）一元二次方程的两个根分则为和，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·湖北武汉·武汉市卓刀泉中学统考模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，且代数式的值为，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖北咸宁·统考一模）已知关于的一元二次方程（k为常数），下列说法错误的是（ ）
A．该方程有两个不相等的实数根B．该方程有两个异号实数根
C．抛物线与直线必相交D．该方程有两实根但不互为相反数
8．（2023春·浙江·八年级期末）已知关于x的一元二次方程：，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
9．（2023·四川成都·校考三模）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为____________．
10．（2023·湖南永州·校考三模）已知，分别为一元二次方程的两个实数解，则的值为______．
11．（2023·新疆博尔塔拉·校考二模）已知，是方程的两根，则的值为__________．
12．（2023·山东济南·统考三模）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是______．
13．（2023·湖北恩施·统考二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则__________．
14．（2023·山东日照·统考二模）关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________；
15．（2023·江西吉安·统考一模）已知方程的两个解分别为，则的值为_______．
16．（2023·江苏泰州·统考二模）关于x的方程的两个实根分别为，，则_______．
17．（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则________．
18．（2023·江苏泰州·统考二模）是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是______
19．（2023·四川成都·统考二模）已知，是方程的两个实数根，且，则______．
20．（2023·四川成都·统考二模）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为___________．
21．（2023·江西抚州·校联考三模）设m，n是方程的两个实数根，则的值为______．
三、解答题
22．（2023·河南南阳·统考二模）【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)填空：______，______．
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根______，______．
……
(3)已知关于x的方程的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出的值．
23．（2023·江苏·统考二模）问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：．
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考：
令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
．
可以发现：．
从而可知构造的方程两个根分别是1和
利用根与系数的关系得： _____；_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
24．（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)试说明：对于任意实数，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于，另一根小于，求的取值范围．
25．（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)若为正整数，求的值；
(2)若满足，求的值．
26．（2023·湖北随州·统考一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
27．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：
已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______；
(2)间接应用：在（1）条件下，求的值；
(3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______．
28．（2022春·八年级单元测试）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
一元二次方程根与系数的关系通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，，则有恒等式，即．比较两边系数可得：______，______．