第04讲 勾股定理逆定理（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课

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勾股定理逆定理：
在△ABC中，如果三角形的三边分别是且满足 ，则该三角形一定是有一个直角三角形。
直角三角形的判定：
有一个角是 的两个三角形是直角三角形。
有两个角 的三角形是直角三角形。
满足 的三角形是直角三角形。
勾股数：
满足 的三个 是一组勾股数。
满足勾股定理的常见类型：
（1）3、4、5的倍数型。即 。
奇数型满足（为奇数） 。
偶数型满足（为偶数） 。
1．下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB2+BC2＝AC2B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A+∠B＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．B．
C．0.3、0.4、0.5D．25、60、65
3．如表中a，b，c组成的五组“勾股数”反映出一定的规律，那么当a＝90时，按此规律b的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
4．若一个三角形的三条边长分别为8、15、17，则它的面积是（ ）
A．127.5B．120C．68D．60
5．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠2+∠3的度数为（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
6．三角形的三边分别为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝13：5：12B．a＝，b＝，c＝
C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．a2﹣b2＝c2
7．已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标分别为（0，b），（m，m+1）（m＞0），（c，b），（m，m+3），若对角线AC，BD互相平分，且b+m＝4，则∠ABC的值为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移8m，则梯子AB的长为（ ）
A．24B．25C．15D．20
9．如图所示的圆柱形杯子的内直径为6cm，内部高度为9cm，小颖把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，则吸管的长度（整厘米数）最短是（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
10．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．15cmB．18cmC．21cmD．24cm
11．如图，某处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”，仅仅少走了 米．
12．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，则这块四边形空地的面积为 m2．
第12题 第13题
13．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口2小时后两船相距 海里．
14．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度之比为4：3，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距50海里．
（1）求两船速度分别是多少？
（2）求客船航行方向．
15．如图，Rt ABC中，∠ABC＝90°，BM⊥AC，垂足为M，在下列说法中：
①以AB2，BC2，AC2为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形；
②以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形；
③以（AC+BM），（AB+CB），BM为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形；
④以，，为长度的线段首尾相连不能组成直角三角形；其中正确的说法有 （填写正确说法的序号）．
16．【问题背景】
勾股定理是重要的数学定理，它有很多种证明方法
【定理表述】
（1）用文字语言叙述勾股定理的内容： 。
【定理证明】
（2）以图1中的直角三角形为基础，延长BE到点C，使CE＝a，过点C作：CD⊥CE，使CD＝b，连接DE，AD（如图2），则AE⊥DE，AD＝c，四边形ABCD是以a为底、（a+b）为高的直角梯形，请利用图2证明勾股定理．
【定理应用】
（3）当a≠b时，利用图2，可以证明a+b＜c．
证明步骤如下：
如图3，过点A作AF⊥CD于点F，则AF＜AD，∠AFC＝90°，
∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴四边形ABCF为 ，
∴AF＝ ，
∴BC AD，
又∵BC＝a+b，AD＝c，
∴a+b＜c．
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…