2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.3.2函数的极值与最大(小)值(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.3.2函数的极值与最大(小)值(精讲)(原卷版+解析)，共70页。试卷主要包含了函数的极值，函数的最大值，函数的最值与极值的关系等内容，欢迎下载使用。

第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：函数图象与极值（点）的关系
重点题型二：求已知函数的极值（点）
重点题型三：根据函数的极值（点）求参数
重点题型四：求函数的最值（不含参）
重点题型五：求函数的最值（含参）
重点题型六：根据函数的最值求参数
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·甘肃·兰州市七里河区教育局高三阶段练习（理））函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个B．个C．个D．个
2．(2023·湖北·南漳县第一中学高二阶段练习）函数的极大值为（ ）
A．-2B．2C．D．不存在
3．(2023·湖北·华中师范大学潜江附属中学高二期中）已知函数，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·广东·华南师大附中高三阶段练习）函数的极小值为______．
5．(2023·全国·高二专题练习）函数的极值点为______．
6．(2023·全国·高二专题练习）函数在上的最小值为______．
7．(2023·全国·高二专题练习）函数的最大值为______．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：函数图象与极值（点）的关系
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（ ）．
A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
例题2．(2023·贵州遵义·高二期末（文））函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
例题3．(2023·浙江·杭州市西湖高级中学高二期中）设函数在上可导，导函数为图象如图所示，则（ ）
A．有极大值，极小值B．有极大值，极小值
C．有极大值，极小值D．有极大值，极小值
例题4．(2023·上海市青浦高级中学高二阶段练习）如果函数的导数的图像如题图所示，则以下关于函数的判断：
①在区间上为严格增函数；
②在区间上为严格减函数；
③在区间上为严格增函数；
④是极小值点；
⑤是极大值点．
其中正确的序号是______．
同类题型归类练
1．(2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
2．(2023·北京市第三十五中学高二期中）函数的导函数图象如图所示，下列正确的是（ ）
A．函数在区间内单调递增
B．函数在区间内单调递减
C．当时，函数有极大值
D．当时，函数有极大值
3．(2023·广东·广州市从化区第三中学高二期中）如图所示的是的导函数的图象，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是减函数，在区间上是增函数；
④是的极小值点．
其中正确结论的序号是（ ）．
A．①②③B．②③C．③④D．①③④
4．(2023·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数f(x)( )．
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
重点题型二：求已知函数的极值（点）
典型例题
例题1．(2023·河南新乡·高二期末（文））已知函数，则的极大值点为（ ）
A．1B．C．－1D．2
例题2．(2023·北京房山·高二期末）已知函数，以下4个命题：
①函数为偶函数；
②函数在区间单调递减；
③函数存在两个零点；
④函数存在极大值和极小值．
正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题3．(2023·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数的极小值为_________.
例题4．(2023·全国·高三专题练习）函数的极值点是___________.
同类题型归类练
1．(2023·湖北·高二阶段练习）若是函数的一个极值点，则的极大值为（ ）
A．B．C．5D．1
2．(2023·河北石家庄·高二阶段练习）已知函数，则该函数的极小值为（ ）
A．B．3C．0D．1
3．(2023·全国·高二课时练习）在上的极小值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数，则函数的极小值为______．
重点题型三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题
例题1．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数有极值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·福建·漳州市第一外国语学校高二期末）函数在处有极值，则的值等于（ ）
A．0B．6C．3D．2
例题3．(2023·广西玉林·高二期中（理））已知函数在处有极值10，则（ ）
A．0或－7B．0C．－7D．1或－6
例题4．(2023·河南·南阳中学模拟预测（文））已知函数在处取得极值0，则______．
例题5．(2023·全国·高三专题练习）函数在处有极值为10，则的值为 __.
例题6．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的极小值大于零，则实数的取值范围是_____.
例题7．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数是上的奇函数，当时，取得极值.
(1)求的单调区间和极大值；
(2)证明：对任意，不等式恒成立.
例题8．(2023·黑龙江·大庆中学高二阶段练习）已知是的一个极值点.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设函数，若函数在区间[1，2]内单调递减，求实数的取值范围.
例题9．(2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知函数．
(1)若函数在处的极值为10，求实数，的值；
(2)若函数在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．
同类题型归类练
1．(2023·四川省成都市新都一中高二期中（文））已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若是函数的极值点，则a为（ ）
A．B．0C．1D．2
3．(2023·北京市第三十五中学高二期中）已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
4．(2023·四川凉山·高二期中（理））设函数f(x)＝ln x＋在内有极值，求实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河南开封·高二期末（理））已知函数的极大值是4，则___________.
6．(2023·重庆·万州纯阳中学校高二期中）已知函数在时有极值0，则= ______ .
7．(2023·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）已知函数当时，取得极值.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间和极大值.
8．(2023·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段练习）已知函数.
(1)若在处的切线方程为，求实数，的值；
(2)记，若在时有极值0，求实数，的值.
9．(2023·福建·莆田二中高三阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
重点题型四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．(2023·四川乐山·高二期末（文））已知函数，则函数在上的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
例题2．(2023·新疆·新和县实验中学高二期末（文））函数在区间上的最小值为__________．
例题3．(2023·湖南·南县第一中学高二期中）函数的最大值为______．
例题4．(2023·全国·高三专题练习（文））函数在区间上的最大、最小值分别为（ ）
A．B．C．D．
例题5．(2023·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
同类题型归类练
1．(2023·河南平顶山·高二期末（文））函数在区间上的最大值是（ ）
A．B．1C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习（文））函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
3．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是______．
4．(2023·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数，则在上的最大值为___________.
5．(2023·江西赣州·高二阶段练习（理））函数在上的最大值为______．
重点题型五：求函数的最值（含参）
典型例题
例题1．(2023·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（理））已知函数的最小值为， 则 （ ）
A．B．C．eD．
例题2．(2023·浙江·高二期中）已知，函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极小值，则在上的最大值为______．
例题4．(2023·上海市虹口高级中学高二期末）已知是函数的极值点，则该函数在上的最大值是______.
例题5．(2023·北京·北师大实验中学高三阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数的单调递减区间；
(2)若，求函数在区间上的最大值；
(3)若在区间上恒成立，求的最大值.
例题6．(2023·江西江西·高三阶段练习（理））已知函数，求：
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在的最小值.
例题7．(2023·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（理））已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)求在区间上的最小值.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习（文））已知，函数的最小值为，则（ ）
A．1或2B．2C．1或3D．2或3
2．(2023·全国·高三专题练习）已知，函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·黑龙江·铁人中学高二开学考试）若函数恰有两个零点，则在上的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
4．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.
5．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在的最小值.
6．(2023·北京·清华附中高一阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求证:函数存在最小值.
重点题型六：根据函数的最值求参数
典型例题
例题1．(2023·浙江·高二阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·广东·揭东二中高三阶段练习）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·浙江·高二期中）函数在区间上有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题4．(2023·辽宁实验中学高二期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是______．
例题5．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______．
例题6．(2023·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数的取值范围是___________.
例题7．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））已知，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数，使在区间上的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
例题8．(2023·云南·高三阶段练习）已知函数是奇函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的零点；
(2)若在区间内有最大值，求的取值范围.
例题9．(2023·山东省实验中学高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的极值点的个数；
(2)若函数在上的最小值是，求实数的值．
同类题型归类练
1．(2023·重庆市朝阳中学高二阶段练习）函数在上的最大值为2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习（文））若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·福建·漳州市第一外国语学校高二阶段练习）若函数在上的最大值是4，则（ ）
A．0B．C．9D．
5．(2023·全国·高三专题练习（理））已知函数在上的最大值为，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高二课时练习）若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（ ）
A．0B．1
C．2D．
7．(2023·全国·高二专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a的值是___________.
8．(2023·河北秦皇岛·三模）已知，函数在上的最小值为1，则__________．
9．(2023·四川绵阳·高二期末（文））已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，函数在区间上的最大值为9，求实数k的值．
10．(2023·四川省绵阳第一中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求的极大值；
(2)若在上的最大值为28，求的取值范围.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
2．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高考真题）函数的最小值为______.
4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
5．（2023·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
5.3.2函数的极值与最大（小）值（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：函数图象与极值（点）的关系
重点题型二：求已知函数的极值（点）
重点题型三：根据函数的极值（点）求参数
重点题型四：求函数的最值（不含参）
重点题型五：求函数的最值（含参）
重点题型六：根据函数的最值求参数
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·甘肃·兰州市七里河区教育局高三阶段练习（理））函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个B．个C．个D．个
答案：A
【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，
在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.
故选：A.
2．(2023·湖北·南漳县第一中学高二阶段练习）函数的极大值为（ ）
A．-2B．2C．D．不存在
答案：A
【详解】＝1－＝．令得或（舍）．
由于，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
故函数在处取得极大值．
故选：A
3．(2023·湖北·华中师范大学潜江附属中学高二期中）已知函数，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】函数的定义域为，
,
令，解得或，
故
所以的极大值为，
故选：B.
4．(2023·广东·华南师大附中高三阶段练习）函数的极小值为______．
答案：##
【详解】由题设，
当时，递减；
当时，递增；
所以的极小值为.
故答案为：
5．(2023·全国·高二专题练习）函数的极值点为______．
答案：##
【详解】由题设，
当时，，递减；
当时，，递增；
所以由极小值点为，无极大值点.
故答案为：
6．(2023·全国·高二专题练习）函数在上的最小值为______．
答案：3
【详解】，令，得．
当时，；当时，．
在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
故答案为：3．
7．(2023·全国·高二专题练习）函数的最大值为______．
答案：.
【详解】，，即函数是单调递增的，
∴当时取得最大值.
故答案为：.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：函数图象与极值（点）的关系
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（ ）．
A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
答案：A
【详解】解：设的根为，，，且，
则由图可知，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减；
所以函数在区间内有极小值，
当，时，是函数在区间内的最小值，所以A错误，B正确；
函数在区间内有极大值、，所以C正确；
当，，时，函数在内没有零点，所以D正确．
故选：A．
例题2．(2023·贵州遵义·高二期末（文））函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
答案：C
【详解】由导函数的图象可知，当或时，，
当或时，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
所以和为极小值点，为极大值点，所以函数有3个极值点，
所以和中的最小的，为函数的最小值，无最大值，
所以ABD正确，C错误，
故选：C
例题3．(2023·浙江·杭州市西湖高级中学高二期中）设函数在上可导，导函数为图象如图所示，则（ ）
A．有极大值，极小值B．有极大值，极小值
C．有极大值，极小值D．有极大值，极小值
答案：C
【详解】解：由图象知，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
即当时，，当时，，
当时，，
即当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值.
故选：C.
例题4．(2023·上海市青浦高级中学高二阶段练习）如果函数的导数的图像如题图所示，则以下关于函数的判断：
①在区间上为严格增函数；
②在区间上为严格减函数；
③在区间上为严格增函数；
④是极小值点；
⑤是极大值点．
其中正确的序号是______．
答案：③⑤
【详解】由导函数的图象可知，当或时，，
当时，，
所以在和上递减，在上递增，
所以是函数的极小值，是函数的极大值点，
所以正确的序号有③⑤，
故答案为：③⑤
同类题型归类练
1．(2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
答案：D
【详解】对A，在上，故函数在上单调，故A错误；
对B，，故函数在的切线的斜率大于0，故B错误；
对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点；
对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，故D正确；
故选：D
2．(2023·北京市第三十五中学高二期中）函数的导函数图象如图所示，下列正确的是（ ）
A．函数在区间内单调递增
B．函数在区间内单调递减
C．当时，函数有极大值
D．当时，函数有极大值
答案：D
【详解】由图知：、上，、上，
所以在、上递减，、上递增，
故有极小值点，极大值点.
所以A、B、C错误，D正确.
故选：D
3．(2023·广东·广州市从化区第三中学高二期中）如图所示的是的导函数的图象，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是减函数，在区间上是增函数；
④是的极小值点．
其中正确结论的序号是（ ）．
A．①②③B．②③C．③④D．①③④
答案：B
【详解】由的图象知在和上是减函数，在上是增函数，是极小值点，是极大值点，即②③正确．
故选:B．
4．(2023·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数f(x)( )．
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
答案：C
【详解】试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与有四个交点，其中两个极大值，两极小值.
重点题型二：求已知函数的极值（点）
典型例题
例题1．(2023·河南新乡·高二期末（文））已知函数，则的极大值点为（ ）
A．1B．C．－1D．2
答案：B
【详解】因为，
所以f（x）在，上单调递减，在上单调递增，
所以f（x）的极大值点为．所以B正确.
故选：B.
例题2．(2023·北京房山·高二期末）已知函数，以下4个命题：
①函数为偶函数；
②函数在区间单调递减；
③函数存在两个零点；
④函数存在极大值和极小值．
正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【详解】由得，故为偶函数，①对，当时，，单调递减，故②，
令或，故③对；
当时，，故在上单调递减，由于为偶函数，故在上单调递增，故没有极小值，故④错误.
故选：C
例题3．(2023·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数的极小值为_________.
答案：
【详解】解：，令，可得或.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
故当时，取得极小值.
故答案为:.
例题4．(2023·全国·高三专题练习）函数的极值点是___________.
答案：1
【详解】的定义域为，，
所以令，解得，令，解得，
所以为的极值点.
故答案为：1.
同类题型归类练
1．(2023·湖北·高二阶段练习）若是函数的一个极值点，则的极大值为（ ）
A．B．C．5D．1
答案：C
【详解】因为，所以，
所以，.
令，解得或，
所以当单调递增；
当时，单调递减；
当单调递增，
所以的极大值为.
故选：C.
2．(2023·河北石家庄·高二阶段练习）已知函数，则该函数的极小值为（ ）
A．B．3C．0D．1
答案：A
【详解】解：由题意得，
令，得或－1，
当或时，，当时，，
所以，
所以极小值为e．
故选：A．
3．(2023·全国·高二课时练习）在上的极小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】因为，，
所以，
令，
得或，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以时，取极小值，
且极小值为，
故选：D.
4．(2023·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数，则函数的极小值为______．
答案：
【详解】，令，解得：，，
当时，；当时，；
在和上单调递增，在上单调递减，
的极小值为.
故答案为：.
重点题型三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题
例题1．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数有极值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，
则，解得.
故选：D.
例题2．(2023·福建·漳州市第一外国语学校高二期末）函数在处有极值，则的值等于（ ）
A．0B．6C．3D．2
答案：A
【详解】
因为在处有极值，
所以，解得
所以
故选：A
例题3．(2023·广西玉林·高二期中（理））已知函数在处有极值10，则（ ）
A．0或－7B．0C．－7D．1或－6
答案：C
【详解】解：由，
得，
，即，
解得或（经检验应舍去），
，
故选：C．
例题4．(2023·河南·南阳中学模拟预测（文））已知函数在处取得极值0，则______．
答案：11
【详解】，则，即，解得或
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，
令，得或；令，得．
所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．
故答案为：11．
例题5．(2023·全国·高三专题练习）函数在处有极值为10，则的值为 __.
答案：
【详解】，，
依题意可知，即，
解得或.
当时，，
在区间递减；在区间递增，
所以是的极小值，符合题意.
当时，，在上递增，没有极值.
所以.
故答案为：
例题6．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的极小值大于零，则实数的取值范围是_____.
答案：
【详解】解：由，得．
令，则，
因为的极小值大于0，所以，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以极小值为，
所以，
综上，的取值范围为．
故答案为：．
例题7．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数是上的奇函数，当时，取得极值.
(1)求的单调区间和极大值；
(2)证明：对任意，不等式恒成立.
答案：(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是和，
(2)见解析
（1）
（1）由奇函数的定义，应有R，
即.
因此，，
由条件为的极值，得，
即，
解得，
，
令，则有，
列表如下：
由表知：函数的单调递减区间是，单调递增区间是和，
.
（2）
证明：由（1）知，的单调递减区间是，
在是减函数，
且在上的最大值为，
在上的最小值为，
对任意，
恒有.
例题8．(2023·黑龙江·大庆中学高二阶段练习）已知是的一个极值点.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设函数，若函数在区间[1，2]内单调递减，求实数的取值范围.
答案：(1)（1，）
(2)(－∞，－10]
(1)
f(x)＝2x＋＋ln x，定义域为(0，＋∞).
∴f′(x)＝2－＋＝.
因为x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点，
所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.
解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.
所以f′(x)＝2－＋＝，
令f′(x)>0，得x>1.
所以函数f(x)的单调递增区间为（1，）.
(2)
函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，则g′(x)在[1，2]上恒成立.
又g′(x)＝2＋＋，g′(x)≤0在[1，2]恒成立等价于当x∈[1，2]时，a≤－2x2－x恒成立，
又t＝－2x2－x＝－2＋，x∈[1，2]是减函数，∴当x＝2时，t＝－2x2－x取得最小值－10.
所以a≤－10，即实数a的取值范围为(－∞，－10].
例题9．(2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知函数．
(1)若函数在处的极值为10，求实数，的值；
(2)若函数在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．
答案：(1)；
(2).
（1）
因为，
∴，，
又函数在处的极值为10，
∴，
解得或，
当时，，
函数单调递增，无极值，故不合题意，
当时，，
由，可得或，由，可得，
所以函数在处有极值，
所以；
（2）
由题可知，
∴，
∴存在使得，
即在区间内成立，
令，，则，
所以函数，单调递减，
∴，
∴，即实数的取值范围为.
同类题型归类练
1．(2023·四川省成都市新都一中高二期中（文））已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】；
在上没有极值，，即，
解得：，即实数的取值范围为.
故选：C.
2．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若是函数的极值点，则a为（ ）
A．B．0C．1D．2
答案：D
【详解】，是函数的极值点，
所以，
所以.
故选：D.
3．(2023·北京市第三十五中学高二期中）已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
答案：B
【详解】由，又有极大值、极小值，
所以有两个变号零点，则，
整理得，可得或.
故选：B
4．(2023·四川凉山·高二期中（理））设函数f(x)＝ln x＋在内有极值，求实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】由，
因为函数f(x)＝ln x＋在内有极值，
所以在内有解，
即在内有解，
，
设，
当时，单调递减，所以，
要想方程在时有解，只需，
故选：A
5．(2023·河南开封·高二期末（理））已知函数的极大值是4，则___________.
答案：
【详解】解：，
令得：
又，则只能为极大值点，
故答案为：
6．(2023·重庆·万州纯阳中学校高二期中）已知函数在时有极值0，则= ______ .
答案：
【详解】∵，，函数在时有极值0，
可得即 ，解得或，
若时，函数，
所以函数在上单调递增，函数无极值，故舍，
所以，所以
故答案为：．
7．(2023·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）已知函数当时，取得极值.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间和极大值.
答案：(1)
(2)单调递增区间是和，单调递减区间为，．
（1）
解：由题意可得，
又当时，取得极值，
，即，解得，
．
（2）
解：，令，得，
当时，，函数单调递减；
当或时，，函数单调递增；
函数的单调递增区间是和，单调递减区间为．
因此，在处取得极大值，且．
8．(2023·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段练习）已知函数.
(1)若在处的切线方程为，求实数，的值；
(2)记，若在时有极值0，求实数，的值.
答案：(1)；
(2)，.
（1）
函数，求导得，
因在处的切线方程为，则，解得，
所以.
（2）
依题意，，求导得，
因在时有极值0，则，解得或，
当，，，函数在上单调递增，在处没有极值，
当，时，，当时，，当时，，
则函数在时有极值0，所以，.
9．(2023·福建·莆田二中高三阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
答案：(1)递减区间是；递增区间是，
(2)
（1）
解：由题意，函数，可得，
因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，
可得，即，解得，
所以，可得，
令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下：
所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．
（2）
解：由函数，，
则，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
要使得有三个零点，则满足，即，解得，
所以的取值范围为．
重点题型四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．(2023·四川乐山·高二期末（文））已知函数，则函数在上的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
答案：A
【详解】，当时，，则在上单调递增，
则在上的最小值为.
故选：A.
例题2．(2023·新疆·新和县实验中学高二期末（文））函数在区间上的最小值为__________．
答案：
【详解】解：因为，
所以，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得极小值，
又，
所以在区间上的最小值为，
故答案为：
例题3．(2023·湖南·南县第一中学高二期中）函数的最大值为______．
答案：
【详解】因为，
所以，，
因为，
所以单调递减，的最大值为，
故答案为：.
例题4．(2023·全国·高三专题练习（文））函数在区间上的最大、最小值分别为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由题意，，，
，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
.
故选：C
例题5．(2023·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】，使得成立，则，
由题得，
当时，，当时，，
所以函数在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，
所以，
由题得，
∴
故选：B.
同类题型归类练
1．(2023·河南平顶山·高二期末（文））函数在区间上的最大值是（ ）
A．B．1C．D．
答案：C
【详解】解：因为，，
所以，
所以在上单调递减，所以；
故选：C
2．(2023·全国·高三专题练习（文））函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
答案：C
【详解】解：因为，所以，
令可得，令可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，即最大值，所以．
故选：C．
3．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是______．
答案：0
【详解】解：因为定义域为，
所以．
当时，；当时，．
所以在上为增函数，在上为减函数，
从而．
故答案为：．
4．(2023·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数，则在上的最大值为___________.
答案：16
【详解】由题意，得，，
时，，递减，时，，递增，
所以，又16，，
所以最大值为16．
故答案为：16．
5．(2023·江西赣州·高二阶段练习（理））函数在上的最大值为______．
答案：
【详解】由得，
当时，，即在上单调递增，
又，所以在上的最大值为．
故答案为：.
重点题型五：求函数的最值（含参）
典型例题
例题1．(2023·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（理））已知函数的最小值为， 则 （ ）
A．B．C．eD．
答案：D
【详解】由，得，
当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意，
当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
时，函数有最小值，
解得.
故选：D.
例题2．(2023·浙江·高二期中）已知，函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】方法一：由题意得：；
令，则，在上单调递增，
又，当时，，，使得，
则当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
；
由得：，
即，
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，.
方法二：令，则当时，，
令，则，
当时，；当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
，即.
故选：A.
例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极小值，则在上的最大值为______．
答案：
【详解】因为，所以，
由题意可得，解得，
则，，
令，可得x=1或x=2，当x在上变化时，与的变化情况如下表：
所以函数的极大值为，极小值为，
又因为，
且，所以，
所以，
故答案为：
例题4．(2023·上海市虹口高级中学高二期末）已知是函数的极值点，则该函数在上的最大值是______.
答案：
【详解】记
，
因为是函数的极值点，
所以，解得
令，解得或
当时，，递减；当时，，递增
又，
所以，该函数在上的最大值是
故答案为：
例题5．(2023·北京·北师大实验中学高三阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数的单调递减区间；
(2)若，求函数在区间上的最大值；
(3)若在区间上恒成立，求的最大值.
答案：(1)
(2)答案见详解
(3)1
（1）
当时，，则，
令．因为 ，则
所以函数的单调递减区间是
（2）
．
令，由，解得，（舍去）．
当，即时，在区间上，函数在上是减函数．
所以函数在区间上的最大值为；
当，即时，在上变化时，的变化情况如下表
所以函数在区间上的最大值为．
综上所述：
当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为．
（3）
当时，则在上恒成立
∴函数在上是减函数，则
∴成立
当时，由（2）可知：
①当时，在区间上恒成立，则成立；
②当时，由于在区间上是增函数，
所以 ，即在区间上存在使得，不成立
综上所述：的取值范围为，即的最大值为．
例题6．(2023·江西江西·高三阶段练习（理））已知函数，求：
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在的最小值.
答案：(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)答案见解析.
（1）
由题设，，
令，解得；
令，解得.
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）
由（1）知，当时在上单调递减，
，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
.
例题7．(2023·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（理））已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)求在区间上的最小值.
答案：(1)极大值，极小值；
(2)答案见解析.
（1）
由题设且，则，
当或时，当时，故在、上递增，在上递减，
所以极大值，极小值.
（2）
由，
当时，在、上，在上，
所以在、上递增，在上递减，故上最小值为；
当时，在上，即在上递增，故上最小值为；
当时，在、上，在上，
所以在、上递增，在上递减，
若，上最小值为；
若，上最小值为；
若，上最小值为；
综上，时，最小值为；
时，最小值为；
时，最小值为.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习（文））已知，函数的最小值为，则（ ）
A．1或2B．2C．1或3D．2或3
答案：A
【详解】由（），得（，），
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，得，
解得或2.
故选：A
2．(2023·全国·高三专题练习）已知，函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】解：由题意得：
令，其最小值为
再令，则
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增.
故时，
故的最小值为.
故选：B
3．(2023·黑龙江·铁人中学高二开学考试）若函数恰有两个零点，则在上的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
答案：B
【详解】解：由，得，令，得或，
若，则，所以单调递增，函数最多只有一个零点，不符合题意，所以，
因为恰有2个零点，，
所以另一个极值点必为零点，
所以，得，
所以，
所以，
所以在上的最小值为，
故选：B
4．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.
答案：(1)答案见解析；
(2).
(1)
因为，故可得，
令，可得或；
当时，，此时在上单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时， 在上单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递增，在单调递减.
(2)
由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增
又，，故在单调递减，在单调递增.
则的最小值；
又，
当时，的最大值，
此时；
当时，的最大值，
此时，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以；
所以的取值范围为.
5．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在的最小值.
答案：（1）；（2）答案见解析.
【详解】解：（1）当时，，∴，
又得切点，∴，
所以切线方程为，即；
（2），∴，
令，∴
由，得，所以在上为单调增函数
又，
所以在上恒成立
即在恒成立
当时，，知在上为减函数，从而
当时，，知在上为增函数，从而；
综上，当时，；当时.
6．(2023·北京·清华附中高一阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求证:函数存在最小值.
答案：(1)
(2)证明见解析
(1)
解：当时，，则，
所以，又，所以切线方程为；
(2)
证明：因为，，
所以，
①当时，令，则，
所以在上单调递减，且，，所以存在，使得，即当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
②当时，因为，所以恒成立，且当时等号成立，
所以，
综上可得函数存在最小值；
重点题型六：根据函数的最值求参数
典型例题
例题1．(2023·浙江·高二阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】由题意可得：
∵，则
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立
当，令，则
∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立
故选：A.
例题2．(2023·广东·揭东二中高三阶段练习）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】∵，
∴，
∴当时，，当时，，
可知，在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得极小值，
又∵在区间上有最小值，
∴，解得．
故选：A．
例题3．(2023·浙江·高二期中）函数在区间上有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】解：因为，所以，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，因为在上有最大值，
所以极大值点，
又，当时，即，解得或，
所以，
故选：D．
例题4．(2023·辽宁实验中学高二期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是______．
答案：
【详解】
，
当时，单调递减；当或时，单调递增，
∴在取得极大值，处取得极小值.
令，整理得，解得：或
∵函数在上存在最小值，
∴，解得.
故答案为：.
例题5．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______．
答案：
【详解】由题知，，，
因为在区间上单调递增，
若函数在区间有最小值，
则，即，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
例题6．(2023·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数的取值范围是___________.
答案：
【详解】因为函数，所以，
当时，， ，又，
所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；
当时，则有两个不等实根，
设两个不等实根，
则，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
所以是函数的极小值点，
又时，，所以，
所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，
即，所以，
即，解得，所以.
故答案为：.
例题7．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））已知，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数，使在区间上的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案：（1）单调递减，上单调递增；（2）存在；．
【详解】（1）当时，，定义域为，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上：在单调递减，上单调递增；
（2），
假设存在实数，使有最小值3.
①当时，因为，所以，
所以在上单调递减，
，解得（舍去）；
②当时，在上单调递减，在上单调通增，
∴，解得，满足条件；
③当时，因为，所以，
∴在上单调递减，
∴.解得，舍去.
综上，存在实数，使得当时，有最小值3.
例题8．(2023·云南·高三阶段练习）已知函数是奇函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的零点；
(2)若在区间内有最大值，求的取值范围.
答案：(1)的零点有3个，分别是，0，
(2)
（1）
由题是奇函数，
所以对一切实数恒成立，即，
恒成立，所以，.
所以，，，
曲线在点处的切线方程为，
所以，，解得，，
所以，令，即，得或或，
所以的零点有3个，分别是，0，.
（2）
解：由（1）知，，
当或时，，在、上单调递减;
当时，，在上单调递增，
故是函数的极小值点，是函数的极大值点，
因为在区间内有最大值，
所以，即
解不等式得，
解不等式得，
不等式，即为，故，解得，
所以，不等式的解为，
所以的取值范围为.
例题9．(2023·山东省实验中学高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的极值点的个数；
(2)若函数在上的最小值是，求实数的值．
答案：(1)时，个极值点；时，个极值点.
(2)
（1）
，
当时，在上递增，个极值点.
当时，，
在区间递减；在区间递增，
所以当时，取得极小值，所以有个极值点.
（2）
由（1）知：
当时，在上递增，
，不符合.
当时，，在区间上递减，
，不符合.
当时，，
，符合.
当时，，在上递增，
，不符合.
综上所述，的值为.
同类题型归类练
1．(2023·重庆市朝阳中学高二阶段练习）函数在上的最大值为2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】解:由函数的解析式可得:，
当≤0时,即时，在内恒成立，函数在区间上单调递增,而,不合题意;
当≥2，即时,在内恒成立，函数导函数在区间[0, 2]上单调递减,而f(0)=2 ,满足题意;
当，即时，在区间上, 函数单调递减,在区间 上, 函数单调递增，满足题意时有 ,即: , 解得 ,此时 ,
综上可得,实数的取值范围是[4 , +∞) .
故选: D.
2．(2023·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】因为函数，
所以，
当或时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
又，且在区间上有最大值，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是
故选：D
3．(2023·全国·高三专题练习（文））若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由，若函数在区间内有最小值.此时函数必定存在极值点，由，设，为一元二次方程的两根，有不妨设，故只需要即可，令，有，解得.
故选：C.
4．(2023·福建·漳州市第一外国语学校高二阶段练习）若函数在上的最大值是4，则（ ）
A．0B．C．9D．
答案：B
【详解】解：因为，所以.
当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减.
所以在上的最大值是，解得.
故选：B
5．(2023·全国·高三专题练习（理））已知函数在上的最大值为，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】由，
得，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增，
故当时，函数有最大值，
解得，不符合题意.
当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.
当时，函数在上单调递减.此时最大值为，
解得，符合题意.
故a的值为.
故选：A.
6．(2023·全国·高二课时练习）若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（ ）
A．0B．1
C．2D．
答案：C
【详解】，易知，当时，，当或时，，
所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，
，当时，，所以最大值为，解得.
故选：C
7．(2023·全国·高二专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a的值是___________.
答案：1或.##e或1
【详解】因为，，
当时，，所以是上的减函数，
函数无最小值，不符合题意；
当时，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
函数的最小值为，
由，得，解得或.
故答案为：1或.
8．(2023·河北秦皇岛·三模）已知，函数在上的最小值为1，则__________．
答案：1
【详解】由题意得，
当，即时，，在上递增，
故，解得；
当，即时，当 时，，递减，
当 时，，递增，
故，解得，不符合，舍去，
综上，.
故答案为：1
9．(2023·四川绵阳·高二期末（文））已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，函数在区间上的最大值为9，求实数k的值．
答案：(1)极大值为1，极小值为-3
(2)
（1）
解：当时，，
则，
当或时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值；
（2）
解：在区间上单调递增，
当时，
∵对任意，有，
∴函数在区间上单调递增，
∴函数在区间上的最大值为，解得．
10．(2023·四川省绵阳第一中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求的极大值；
(2)若在上的最大值为28，求的取值范围.
答案：(1)
(2)
（1）
因为，所以的定义域为，，由解或，
由解得，∴变化时，的变化情况如下表：
所以当时，有极大值.
（2）
由（1）知在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
且，，因为在上的最大值为28，所以的取值范围.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
答案：B
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
2．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）函数的最小值为______.
答案：1
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
答案：(1)
(2)
（1）
当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2）
，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
5．（2023·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
答案：（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
x
2
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
－1
＋
0
－
0
＋
2
x
1
2
0
0
递增
极大值
递减
极小值
递增
x
+
+
-
↗
↘
1
+
0
0
+
单调递增
28
单调递减
单调递增
增
极大值
减
极小值
增