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2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.3.2函数的极值与最大(小)值(精练)(原卷版+解析)
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这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.3.2函数的极值与最大(小)值(精练)(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·宁夏·吴忠中学高二期中（文））如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数
B．在内是减函数
C．在时取得极小值
D．当时取得极大值
2．(2023·全国·高三专题练习）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值为B．的极大值为
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
5．(2023·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，现有如下说法：①；②；③；则正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．(2023·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））对任意，函数不存在极值点的充要条件是（ ）
A．B．C．或D．或
7．(2023·广东实验中学高三阶段练习）设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·重庆·高三阶段练习）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的零点B．为函数的极小值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最小值
10．(2023·辽宁丹东·高二期末）已知函数的极值点，则（ ）
A．是的极小值点B．有三个零点
C．D．
三、填空题
11．(2023·全国·高二单元测试）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为______．
12．(2023·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．
四、解答题
13．(2023·黑龙江·铁人中学高三开学考试）已知函数在处取得极大值1.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)求过点与曲线相切的直线方程.
14．(2023·贵州·高三阶段练习（文））设函数.
(1)若是的极值点，求的单调区间；
(2)若直线是曲线的切线，求a的值.
B能力提升
15．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）已知．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时函数的最大值为，求实数a的值.
C综合素养
16．(2023·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求处的切线方程；
(2)求证：有且仅有一个极值点；
(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.
17．(2023·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）设函数，.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的单调性和极小值（其中为自然对数的底数）；
(2)若对任意的恒成立，求k的取值范围.
5.3.2函数的极值与最大（小）值（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·宁夏·吴忠中学高二期中（文））如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数
B．在内是减函数
C．在时取得极小值
D．当时取得极大值
答案：B
【详解】时， ，此时在单调递减
时， ，此时在 单调递增
时，，此时在 单调递减
时，，此时在 单调递增
在处左增右减，故在时取得极大值
在处左减右增，故在时取得极小值
综上可知：B正确
故选：B
2．(2023·全国·高三专题练习）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】，令得：或，令得：，故在处取得极大值，在处取得极小值，且，，，所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是3，-17.
故选：C
3．(2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：A
【详解】解：因为函数在处取得极值，，
所以，解得，
检验当时，函数在处取得极大值，
所以.
故选：A.
4．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值为B．的极大值为
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
答案：B
【详解】因为，所以，
令，得或；令，得；
所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
所以在处有极大值，极大值为；
在处有极小值，极小值为.
故选：B.
5．(2023·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，现有如下说法：①；②；③；则正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：B
【详解】因为，故③错误；
，记函数的极值点分别为，，
则，故，故①错误；
而，则，故②正确；
故选：B.
6．(2023·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））对任意，函数不存在极值点的充要条件是（ ）
A．B．C．或D．或
答案：A
【详解】由已知，
若，则是一次函数，无极值点，
若，无极值点，则，，
综上，．
故选：A．
7．(2023·广东实验中学高三阶段练习）设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】，为单调函数，所以函数在区间有极值点，即，代入解得，
解得取值范围为，
故选：B．
8．(2023·重庆·高三阶段练习）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】解：求导有，
因为函数有唯一的极值点，
所以，有唯一正实数根，
因为，
所以在上无解，
所以，在上无解，
记，则有，
所以，当时，，在上递减，
当时，，在上递增．
此时时，有最小值，
所以， ，即，
所以，即的取值范围是
故选：A
二、多选题
9．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的零点B．为函数的极小值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最小值
答案：BC
【详解】由已知，根据函数的导函数的图像可知，
在时，，所以函数在区间单调递减；
在时，，所以函数在区间单调递增；
在时，，所以函数在区间单调递减；
在时，，所以函数在区间单调递增；
所以和为函数的极小值点，为函数的极大值点，
所以，选项A，并不能确定为函数的零点；
选项B，正确；
选项C，正确；
选项D，是函数的极小值，并不一定是最小值，故不正确.
故选：BC.
10．(2023·辽宁丹东·高二期末）已知函数的极值点，则（ ）
A．是的极小值点B．有三个零点
C．D．
答案：ABD
【详解】由，
得，
由是函数的极值点，得，解得，
故函数，，
令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
故为极小值点，A选项正确；
又，，，，
所以函数分别在，，上各有一个零点，共三个零点，B选项正确；
又在上单调递减，且，
所以，
又，故，C选项错误；
同理，
且，
，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题
11．(2023·全国·高二单元测试）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为______．
答案：
【详解】解：函数在区间上有极值点，
所以在区间上有变号零点．
且函数在区间上单调，所以，即，
解得．
故答案为：．
12．(2023·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．
答案：
【详解】由题意，函数，可得，
函数在处取得极值，且极值为0，
可得，解得或，
当时，，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得极值，符合题意．
综上所述，，所以．
故答案为：.
四、解答题
13．(2023·黑龙江·铁人中学高三开学考试）已知函数在处取得极大值1.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)求过点与曲线相切的直线方程.
答案：(1)；
(2)．
（1）
因为，由题意得，即，
所以；，
，，，，
所以函数在处取得极大值，符合题意.又，，
所以函数图象在处的切线方程为，即.
（2）
设切点为，，，所以，即切线方程为，又点在切线上，所以，，即，即，解得：，所以切线方程为：．
14．(2023·贵州·高三阶段练习（文））设函数.
(1)若是的极值点，求的单调区间；
(2)若直线是曲线的切线，求a的值.
答案：(1)的增区间为，减区间为
(2)
（1）
因为，所以.
因为是的极值点，所以，即.
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
所以的增区间为，减区间为.
（2）
因为，所以.
设直线与曲线的切点为，
所以，即，①
，②
由①②得.
设，因为在上单调递增，且，即，
所以
B能力提升
15．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）已知．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时函数的最大值为，求实数a的值.
答案：(1)答案见解析；
(2).
（1）
因为，所以，
当时，由得，故，
所以在上单调递增；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）
由（1）得，
当时，在上单调递增，故，解得，显然不满足题意；
当时，
若，即，有，
所以由在上单调递增，得在上单调递增，故由上述分析可知，又不满足题意；
若，即，易得，不满足题意；
若，则，得在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，满足题意；
综上：，故实数a的值为.
C综合素养
16．(2023·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求处的切线方程；
(2)求证：有且仅有一个极值点；
(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.
答案：(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】（1）
，而，故，
所以在处的切线方程为.
（2）
，令，则，
当时，，当时，，
故即在上为增函数，在上为减函数，
而时，恒成立，
当时，，
故在仅有一个变号零点，故有且仅有一个极值点.
（3）
令，由题设可得：函数的最大值不大于0，
，根据（2）的结论可知有唯一极值点，
且当时，，时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
所以，此时，
所以，故，
由可得.
又由的存在性可得，
令，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，，
综上所述.
17．(2023·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）设函数，.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的单调性和极小值（其中为自然对数的底数）；
(2)若对任意的恒成立，求k的取值范围.
答案：(1)在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为2.
(2)
（1）
由条件得，
因为在点处的切线与直线平行，
所以，即，得，
所以
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，且，所以的极小值为2.
（2）
由题意知对任意的恒成立，
设，则，
所以在上单调递减，
所以在上恒成立，
即当时，恒成立，所以，
故的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常通过分离参数转化为最值问题，用到以下两个结论：
(1)恒成立⇔；
(2)恒成立⇔.
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·宁夏·吴忠中学高二期中（文））如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数
B．在内是减函数
C．在时取得极小值
D．当时取得极大值
2．(2023·全国·高三专题练习）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值为B．的极大值为
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
5．(2023·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，现有如下说法：①；②；③；则正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．(2023·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））对任意，函数不存在极值点的充要条件是（ ）
A．B．C．或D．或
7．(2023·广东实验中学高三阶段练习）设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·重庆·高三阶段练习）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的零点B．为函数的极小值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最小值
10．(2023·辽宁丹东·高二期末）已知函数的极值点，则（ ）
A．是的极小值点B．有三个零点
C．D．
三、填空题
11．(2023·全国·高二单元测试）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为______．
12．(2023·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．
四、解答题
13．(2023·黑龙江·铁人中学高三开学考试）已知函数在处取得极大值1.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)求过点与曲线相切的直线方程.
14．(2023·贵州·高三阶段练习（文））设函数.
(1)若是的极值点，求的单调区间；
(2)若直线是曲线的切线，求a的值.
B能力提升
15．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）已知．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时函数的最大值为，求实数a的值.
C综合素养
16．(2023·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求处的切线方程；
(2)求证：有且仅有一个极值点；
(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.
17．(2023·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）设函数，.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的单调性和极小值（其中为自然对数的底数）；
(2)若对任意的恒成立，求k的取值范围.
5.3.2函数的极值与最大（小）值（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·宁夏·吴忠中学高二期中（文））如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数
B．在内是减函数
C．在时取得极小值
D．当时取得极大值
答案：B
【详解】时， ，此时在单调递减
时， ，此时在 单调递增
时，，此时在 单调递减
时，，此时在 单调递增
在处左增右减，故在时取得极大值
在处左减右增，故在时取得极小值
综上可知：B正确
故选：B
2．(2023·全国·高三专题练习）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】，令得：或，令得：，故在处取得极大值，在处取得极小值，且，，，所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是3，-17.
故选：C
3．(2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：A
【详解】解：因为函数在处取得极值，，
所以，解得，
检验当时，函数在处取得极大值，
所以.
故选：A.
4．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值为B．的极大值为
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
答案：B
【详解】因为，所以，
令，得或；令，得；
所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
所以在处有极大值，极大值为；
在处有极小值，极小值为.
故选：B.
5．(2023·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，现有如下说法：①；②；③；则正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：B
【详解】因为，故③错误；
，记函数的极值点分别为，，
则，故，故①错误；
而，则，故②正确；
故选：B.
6．(2023·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））对任意，函数不存在极值点的充要条件是（ ）
A．B．C．或D．或
答案：A
【详解】由已知，
若，则是一次函数，无极值点，
若，无极值点，则，，
综上，．
故选：A．
7．(2023·广东实验中学高三阶段练习）设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】，为单调函数，所以函数在区间有极值点，即，代入解得，
解得取值范围为，
故选：B．
8．(2023·重庆·高三阶段练习）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】解：求导有，
因为函数有唯一的极值点，
所以，有唯一正实数根，
因为，
所以在上无解，
所以，在上无解，
记，则有，
所以，当时，，在上递减，
当时，，在上递增．
此时时，有最小值，
所以， ，即，
所以，即的取值范围是
故选：A
二、多选题
9．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的零点B．为函数的极小值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最小值
答案：BC
【详解】由已知，根据函数的导函数的图像可知，
在时，，所以函数在区间单调递减；
在时，，所以函数在区间单调递增；
在时，，所以函数在区间单调递减；
在时，，所以函数在区间单调递增；
所以和为函数的极小值点，为函数的极大值点，
所以，选项A，并不能确定为函数的零点；
选项B，正确；
选项C，正确；
选项D，是函数的极小值，并不一定是最小值，故不正确.
故选：BC.
10．(2023·辽宁丹东·高二期末）已知函数的极值点，则（ ）
A．是的极小值点B．有三个零点
C．D．
答案：ABD
【详解】由，
得，
由是函数的极值点，得，解得，
故函数，，
令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
故为极小值点，A选项正确；
又，，，，
所以函数分别在，，上各有一个零点，共三个零点，B选项正确；
又在上单调递减，且，
所以，
又，故，C选项错误；
同理，
且，
，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题
11．(2023·全国·高二单元测试）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为______．
答案：
【详解】解：函数在区间上有极值点，
所以在区间上有变号零点．
且函数在区间上单调，所以，即，
解得．
故答案为：．
12．(2023·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．
答案：
【详解】由题意，函数，可得，
函数在处取得极值，且极值为0，
可得，解得或，
当时，，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得极值，符合题意．
综上所述，，所以．
故答案为：.
四、解答题
13．(2023·黑龙江·铁人中学高三开学考试）已知函数在处取得极大值1.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)求过点与曲线相切的直线方程.
答案：(1)；
(2)．
（1）
因为，由题意得，即，
所以；，
，，，，
所以函数在处取得极大值，符合题意.又，，
所以函数图象在处的切线方程为，即.
（2）
设切点为，，，所以，即切线方程为，又点在切线上，所以，，即，即，解得：，所以切线方程为：．
14．(2023·贵州·高三阶段练习（文））设函数.
(1)若是的极值点，求的单调区间；
(2)若直线是曲线的切线，求a的值.
答案：(1)的增区间为，减区间为
(2)
（1）
因为，所以.
因为是的极值点，所以，即.
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
所以的增区间为，减区间为.
（2）
因为，所以.
设直线与曲线的切点为，
所以，即，①
，②
由①②得.
设，因为在上单调递增，且，即，
所以
B能力提升
15．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）已知．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时函数的最大值为，求实数a的值.
答案：(1)答案见解析；
(2).
（1）
因为，所以，
当时，由得，故，
所以在上单调递增；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）
由（1）得，
当时，在上单调递增，故，解得，显然不满足题意；
当时，
若，即，有，
所以由在上单调递增，得在上单调递增，故由上述分析可知，又不满足题意；
若，即，易得，不满足题意；
若，则，得在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，满足题意；
综上：，故实数a的值为.
C综合素养
16．(2023·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求处的切线方程；
(2)求证：有且仅有一个极值点；
(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.
答案：(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】（1）
，而，故，
所以在处的切线方程为.
（2）
，令，则，
当时，，当时，，
故即在上为增函数，在上为减函数，
而时，恒成立，
当时，，
故在仅有一个变号零点，故有且仅有一个极值点.
（3）
令，由题设可得：函数的最大值不大于0，
，根据（2）的结论可知有唯一极值点，
且当时，，时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
所以，此时，
所以，故，
由可得.
又由的存在性可得，
令，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，，
综上所述.
17．(2023·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）设函数，.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的单调性和极小值（其中为自然对数的底数）；
(2)若对任意的恒成立，求k的取值范围.
答案：(1)在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为2.
(2)
（1）
由条件得，
因为在点处的切线与直线平行，
所以，即，得，
所以
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，且，所以的极小值为2.
（2）
由题意知对任意的恒成立，
设，则，
所以在上单调递减，
所以在上恒成立，
即当时，恒成立，所以，
故的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常通过分离参数转化为最值问题，用到以下两个结论：
(1)恒成立⇔；
(2)恒成立⇔.
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