2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.3.1函数的单调性(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.3.1函数的单调性(精讲)(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了已知函数在区间上单调，已知函数在区间上存在单调区间等内容，欢迎下载使用。

第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求函数的单调区间
重点题型二：函数与导函数图象间的关系
重点题型三：已知函数的单调性求参数取值范围：
角度1：已知函数在区间上单调，求参数
角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数
角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数
角度4：已知函数在区间上不单调，求参数
重点题型四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
角度3：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
函数在区间内可导，
(1)若，则在区间内是单调递增函数；
(2)若，则在区间内是单调递减函数；
(3)若恒有，则在区间内是常数函数．
注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则
知识点二：求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
知识点三：由函数的单调性求参数的取值范围的方法
1、已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
2、已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间使得有解
②已知在区间上存在单调减区间使得有解
3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点
知识点四：含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·江苏常州·高三阶段练习）如图是的图像，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·河北邯郸·高二阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·甘肃·秦安县第一中学高二期中（理））如图是导函数的图象，那么函在下面哪个区间是减函数（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（文））函数的单调减区间为__________．
5．(2023·全国·高二专题练习）已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求函数的单调区间
典型例题
例题1．(2023·四川·泸县五中高二期中（文））函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．(2023·重庆市朝阳中学高二期中）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））函数的单调递减区间是__________.
例题4．(2023·福建省宁德第一中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是_________．
同类题型归类练
1．(2023·北京房山·高二期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））已知函数的导函数为，，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．，
C．D．
3．(2023·辽宁省实验中学东戴河分校高三阶段练习）已知函数，则的单调减区间为______.
4．(2023·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数的单调增区间为_________.
重点题型二：函数与导函数图象间的关系
典型例题
例题1．(2023·河南·高三阶段练习（文））如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．(2023·福建·厦门双十中学高三阶段练习）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．(2023·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，则不等式的解集为______________.
例题4．(2023·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例题5．(2023·上海市第三女子中学高二期末）在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
同类题型归类练
1．(2023·浙江省淳安中学高二期中）已知函数的导函数的图象如右下图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·福建·莆田二中高二期中）函数的图象如图所示，则不等式的解集（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·河南省实验中学高二期中（理））设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（文））若定义在R上的函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
B．C．D．
重点题型三：已知函数的单调性求参数取值范围：
角度1：已知函数在区间上单调，求参数
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，若在内为减函数，则实数的取值范围是______．
例题3．(2023·黑龙江·佳木斯一中三模（文））已知函数，，若在单调递增，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
同类题型归类练
1．(2023·福建宁德·高二期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·全国·高二课时练习）已知在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·陕西·大荔县教学研究室高二期末（文））已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数
典型例题
例题1．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（理））设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·全国·高三专题练习（文））已知函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是______．
同类题型归类练
1．(2023·浙江金华第一中学高一期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·北京市第五中学高三开学考试）若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是________ .
角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数
典型例题
例题1．(2023·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（文））若函数的单调递增区间为，求的取值范围（ ）
A．－6B．6C．6或－6D．
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的单调递减区间为，则的值为________．
例题3．(2023·陕西·大荔县教学研究室高二期末（文））已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）若函数的单调递减区间恰为，则实数的值为______.
2．(2023·全国·高二课时练习）若函数的单调递减区间为，则__________．
角度4：已知函数在区间上不单调，求参数
典型例题
例题1．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（理））若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．或或B．或
C．D．不存在这样的实数
例题2．(2023·四川省成都市新都一中高二期中（理））函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·江西赣州·高二期中（理））已知函数在上不单调，则实数的取值范围是______．
同类题型归类练
1．(2023·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·全国·高二专题练习）若函数在上为单调减函数，则实数的取值范围是_________.
3．(2023·江西·南城县第二中学高二阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______．
重点题型四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，讨论的单调性．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令，讨论的单调性.
同类题型归类练
1．(2023·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
2．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期中（文））已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）求函数的单调区间.
例题2．(2023·江西·高三阶段练习（文））已知．
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
例题3．(2023·甘肃·兰州市七里河区教育局高三阶段练习（文））已知函数 (为常数)．
(1)若在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若，讨论函数的单调性．
同类题型归类练
1．(2023·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（文））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
2．(2023·天津市武清区天和城实验中学高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
3．(2023·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
角度3：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
典型例题
例题1．(2023·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性，
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，试讨论的单调区间.
同类题型归类练
1．(2023·广西柳州·模拟预测（理））已知函数．
（1）讨论当时，f(x)单调性．
2．(2023·江苏·海门中学高二阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·海南·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））若函数在定义域内是单调函数，则实数a的取值范围是___________.
3．（2023·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
4．（2023·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
5．(2023·湖北·模拟预测）已知
(1)若，讨论函数的单调性；条件
恒有
结论
函数在区间上可导
在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数
5.3.1函数的单调性（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求函数的单调区间
重点题型二：函数与导函数图象间的关系
重点题型三：已知函数的单调性求参数取值范围：
角度1：已知函数在区间上单调，求参数
角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数
角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数
角度4：已知函数在区间上不单调，求参数
重点题型四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
角度3：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
函数在区间内可导，
(1)若，则在区间内是单调递增函数；
(2)若，则在区间内是单调递减函数；
(3)若恒有，则在区间内是常数函数．
注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则
知识点二：求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
知识点三：由函数的单调性求参数的取值范围的方法
1、已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
2、已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间使得有解
②已知在区间上存在单调减区间使得有解
3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点
知识点四：含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·江苏常州·高三阶段练习）如图是的图像，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】由图象知或时，，因此减区间是，．
故选：B．
2．(2023·河北邯郸·高二阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】由题意在上单调递减，所以符号不确定
故选：D
3．(2023·甘肃·秦安县第一中学高二期中（理））如图是导函数的图象，那么函在下面哪个区间是减函数（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】当时，函数单调递减，由图可知，时，，
所以函数的单调递减区间是.
故选：B
4．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（文））函数的单调减区间为__________．
答案：
【详解】∵，则
令，则
∴函数的单调减区间为
故答案为：.
5．(2023·全国·高二专题练习）已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________.
答案：
【详解】定义在R上的函数的导函数，
在R上单调递增，
由，得，即．
实数的取值范围为．
故答案为：．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求函数的单调区间
典型例题
例题1．(2023·四川·泸县五中高二期中（文））函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】由，或，
故选：A
例题2．(2023·重庆市朝阳中学高二期中）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】解：因为定义域是，
所以，
令，解得：，
故在上单调递减，
故选：A．
例题3．(2023·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））函数的单调递减区间是__________.
答案：
【详解】定义域为，，
令，得，
故答案为：
例题4．(2023·福建省宁德第一中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是_________．
答案：
【详解】解：，定义域为，
则，
令，则，
所以函数的单调递减区间是.
故答案为：.
同类题型归类练
1．(2023·北京房山·高二期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
，
令，则，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故选：C.
2．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））已知函数的导函数为，，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．，
C．D．
答案：C
【详解】由得，所以，，
，
因为，所以由得，
故选：C．
3．(2023·辽宁省实验中学东戴河分校高三阶段练习）已知函数，则的单调减区间为______.
答案：
【详解】函数的定义域为，
，
令，即，解得：，
∴函数的单调递减区间为.
故答案为：.
4．(2023·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数的单调增区间为_________.
答案：，
【详解】因为函数的定义域为，而，所以函数的单调增区间为，．
故答案为：，．
重点题型二：函数与导函数图象间的关系
典型例题
例题1．(2023·河南·高三阶段练习（文））如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】解：由图象知在上先减后增，故在上函数值先负后正，
同理在上的符号是先负后正，四个选项中仅有选项A符合.
故选：A.
例题2．(2023·福建·厦门双十中学高三阶段练习）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；
当时，,函数单调递减；
当时，,函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选:C.
例题3．(2023·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，则不等式的解集为______________.
答案：
【详解】由函数图象可得，在定义域内函数的单调递减区间为 ，
故不等式的解集为：，
故答案为：
例题4．(2023·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】因为的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以当时，，当时，，
等价于，或，
解得或．
故选：B
例题5．(2023·上海市第三女子中学高二期末）在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
答案：或
【详解】由的图象可得的解为或，
的解为.
而即为或，
故或，
故答案为：或
同类题型归类练
1．(2023·浙江省淳安中学高二期中）已知函数的导函数的图象如右下图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】由题可知，函数单调递增，，函数单调递增.
故BCD错误.
故选：A.
2．(2023·福建·莆田二中高二期中）函数的图象如图所示，则不等式的解集（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】由函数的单调性可得，在上，在上
又因为在为负，在为正
故的区间为
故选：A
3．(2023·河南省实验中学高二期中（理））设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, .
因为可化为或，解得：0所以不等式的解集为.
故选:C
4．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（文））若定义在R上的函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
B．C．D．
答案：A
【详解】由图象可知：在为正，在为负，
，可化为：或，解得或．
故选：A．
重点题型三：已知函数的单调性求参数取值范围：
角度1：已知函数在区间上单调，求参数
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选:B.
例题2．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，若在内为减函数，则实数的取值范围是______．
答案：
【详解】解：，
∵在内为减函数，
∴在内恒成立，
∴，即，
解得．
所以实数a的取值范围是．
故答案为：．
例题3．(2023·黑龙江·佳木斯一中三模（文））已知函数，，若在单调递增，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】因为在单调递增，
故在区间恒成立，
即，令
则，故在单调递增，
则，故，的取值范围为.
故选：B.
同类题型归类练
1．(2023·福建宁德·高二期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】由题意在上恒成立，
，时，是增函数，（时取得），
所以．
故选：A．
2．(2023·全国·高二课时练习）已知在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】由可得，
由题意得，即在上恒成立，而，故．
故选：B
3．(2023·陕西·大荔县教学研究室高二期末（文））已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
答案：
【详解】由题设，，由单调递减区间是，
∴的解集为，则是的解集，
∴，可得，故.
故答案为：
角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数
典型例题
例题1．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（理））设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】由题可知，在内存在解，因为，所以在内存在解，等价于在内存在解，易知函数在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取得，所以．
故选：D．
例题2．(2023·全国·高三专题练习（文））已知函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是______．
答案：
【详解】因为在上存在单调递增区间，
所以在有解，
令，则，
得
故答案为：.
同类题型归类练
1．(2023·浙江金华第一中学高一期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】，当时，，不符合题意；
当时，令，解得，所以，解得．
故选：A．
2．(2023·北京市第五中学高三开学考试）若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是________ .
答案：
【详解】，则，
函数在区间（-1，1）上存在减区间，
只需在区间上有解，，
记，对称轴，开口向下，
只需，
所以，解得，
故答案为：
角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数
典型例题
例题1．(2023·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（文））若函数的单调递增区间为，求的取值范围（ ）
A．－6B．6C．6或－6D．
答案：A
【详解】由题意知：，又单调递增区间为，，解得.
此时，令，解得，即单调递增区间为.
故选：A.
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的单调递减区间为，则的值为________．
答案：
【详解】函数的定义域为，且，
由题意可知，不等式的解集为，所以，，解得.
故答案为：.
例题3．(2023·陕西·大荔县教学研究室高二期末（文））已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
答案：
【详解】由题设，，由单调递减区间是，
∴的解集为，则是的解集，
∴，可得，故.
故答案为：
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）若函数的单调递减区间恰为，则实数的值为______.
答案：
【详解】的导函数为.
因为函数f(x)的单调递减区间恰为，
所以-1和4是的两根，
所以.
故答案为:-4.
2．(2023·全国·高二课时练习）若函数的单调递减区间为，则__________．
答案：1
【详解】，由题知是方程的解，故.
角度4：已知函数在区间上不单调，求参数
典型例题
例题1．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（理））若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．或或B．或
C．D．不存在这样的实数
答案：B
【详解】解：
，
令，解得，或，所以当或时，
当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，
即函数极值点为，
若函数在区间上不是单调函数，
则或，
所以或，
解得或
故选：B．
例题2．(2023·四川省成都市新都一中高二期中（理））函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】，
令，则或（舍），
因为在区间上不单调，故即，
故选：A.
例题3．(2023·江西赣州·高二期中（理））已知函数在上不单调，则实数的取值范围是______．
答案：
【详解】解：因为函数，
所以，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为函数在上不单调，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
同类题型归类练
1．(2023·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】由于函数在不是单调函数，
则在内存在极值点，所以在内有解，
即在内有解，
．
故选：D
2．(2023·全国·高二专题练习）若函数在上为单调减函数，则实数的取值范围是_________.
答案：
【详解】对于函数，，
∴，，
由，可得，
因为函数在上为单调减函数，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
3．(2023·江西·南城县第二中学高二阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______．
答案：
【详解】由可得，
当时，，在上单调递增，不满足题意；
当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
要使得函数在区间上不单调，则，
解得．
故答案为：.
重点题型四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，讨论的单调性．
答案：答案见解析
【详解】解： ，
，
当时，，函数在上单调递增
当时，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令，讨论的单调性.
答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）答案见解析.
【详解】（1）
当时
令得或（舍）
当时，；时，
于是的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意得
于是
①当时
在恒成立
②当时
在恒成立；在恒成立
综上所述当时，在上单调递增
当时，在单调递减，在单调递增.
同类题型归类练
1．(2023·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
答案：（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）且，
∴当时，，递增；
当时：若时，，递减；当时，，递增；
∴时，在上递增；时，在上递减，在上递增；
2．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期中（文））已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）.
【详解】（1）函数定义域是，
，
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，，递减，时，，递增．
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）求函数的单调区间.
答案：见解析
【详解】因为，所以.
由，解得x＝0或x＝2a.
当a＝0时，，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（0，2a）；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（2a，0）.
例题2．(2023·江西·高三阶段练习（文））已知．
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
答案：(1)；
(2)答案见解析
（1）
当时，，所以，
所以，，
所以函数的图象在点处的切线方程为即；
（2）
由可得
令，解得或，
当时，当或时，， 单调递减，
当时，， 单调递增；
当时，当，， 单调递减；
当时，当或时，， 单调递减，
当时，， 单调递增；
综上所述，当时，的递减区间是和，递增区间是；
当时，的递减区间是，无递增区间；
当时，的递减区间是和，递增区间是
例题3．(2023·甘肃·兰州市七里河区教育局高三阶段练习（文））已知函数 (为常数)．
(1)若在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若，讨论函数的单调性．
答案：(1)4
(2)见解析.
（1）
由题意知，，
则，由于函数的图象在处的切线与直线垂直，则，所以，因此，；
（2）
，则，,
①若时，得，当或时，，时，，所以在和单调递增，在单调递减,
若时，，对任意的恒成立，在单调递增；
③若时，，当或时，，时，，所以在和单调递增，在单调递减.
综上所述：当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减.
同类题型归类练
1．(2023·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（文））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
答案：(1)答案见解析
（1）
∵，
∴，且，
令，得，，
当时，令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，得；令，得，故在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，故在上单调递增；
当时，令，得；令，得；
故在上单调递减，在和上单调递增.
2．(2023·天津市武清区天和城实验中学高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
答案：(1)
(2)答案见解析
（1）
由，则，，
，，切线方程：，
则.
（2）
由，
求导得，
①当时，，
，解得，，解得，
则：单减区间：，单增区间：；
②当时，令，解得或（舍去）
当时，，当时，，
则：单减区间：，单增区间：；
③当时，令，解得或，
当时，，当时，，
则：单减区间：和，单增区间：；
④当时，，则：单减区间：；
⑤当时，令，解得或，
当时，，当时，，
则：单减区间：和，单增区间：；
综上，当时，单减区间：，单增区间：
当时，单减区间：和，单增区间：
当时，单减区间：
当时，单减区间：和，单增区间：.
3．(2023·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
答案：(1)
(2)单调性见解析
（1）
解：当时，，，
∴，又，
∴曲线在处的切线方程为；
（2）
解：因为.
当时，在上为增函数；
当时，当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，当时，，当时，有，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.
角度3：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
典型例题
例题1．(2023·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性，
答案：(1)
(2)见解析
1）
当时，，所以，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为即；
（2）
由可得
当时，，所以，所以在单调递减；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上所述，当时，的单调递减区间是，无增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，试讨论的单调区间.
答案：当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间.
【详解】解析：因为，所以，
令.
①当a＝0时，，，所以的单调递增区间为R，无单调递减区间.
②当时，.
（i）当时，，令，得，，且，
所以当或时，，，当时，，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间；
（ii）当时，，所以，，所以的单调递增区间为R，无单调递减区间.
综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间.
同类题型归类练
1．(2023·广西柳州·模拟预测（理））已知函数．
（1）讨论当时，f(x)单调性．
答案：（1）见解析；
【详解】（1）解：由题意可知
对于二次函数．
当时，恒成立，f(x)在上单调递减；
当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是，
当，f(x)在单调递增；
当，f(x)在和单调递减
综上：当时，f(x)在（0，＋∞）单调递减
当时f(x)在单调递增；单调递减．
2．(2023·江苏·海门中学高二阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
答案：(1)见解析
(1)
解：
当时，
当时，，则
令，则，或，，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·海南·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】在上单调递减，在上恒成立，
即在上恒成立，
又，，实数的取值范围为.
故选：C.
2．(2023·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））若函数在定义域内是单调函数，则实数a的取值范围是___________.
答案：
【详解】由题意，，函数是单调的等价于无变号零点，
即函数与的图象相切或无交点，
在同一坐标系中，作出函数与的图象如下，
设函数与的切点为，
所以，所以，解得：.
当时，直线与函数的图象相切，
结合图象可知，.
故答案为：.
3．（2023·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
答案：(1)答案见解析；(2) 和.
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
4．（2023·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
答案：（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【详解】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
5．(2023·湖北·模拟预测）已知
(1)若，讨论函数的单调性；
答案：(1)单调性见解析
定义域为
ⅰ）即时，
，或
ⅱ）即时，，恒成立
ⅲ）即，
，或
综上：
时，，单调递减；、，单调递增
时，，单调递增
时，，单调递减；、，单调递增
条件
恒有
结论
函数在区间上可导
在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数