2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.2导数的运算(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.2导数的运算(精讲)(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了两个函数和的和的导数法则等内容，欢迎下载使用。

第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：导数公式与运算法则的简单应用
重点题型二：利用导数公式与运算法则求复合函数的导数
重点题型三：解析式中含的导数问题
重点题型四：求切线方程或切线斜率
重点题型五：利用相切关系求最小距离
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：基本初等函数的导数公式
知识点二：导数的四则运算法则
1、两个函数和的和（或差）的导数法则：
.
2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；
.
3、由函数的乘积的导数法则可以得出，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
知识点三：复合函数的导数
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
知识点四：切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）函数的导数为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．-eB．-1C．1D．e
3．(2023·辽宁·高二期末）过点且与曲线相切的直线方程是__________.
4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，其中，求．
5．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在处的切线方程.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：导数公式与运算法则的简单应用
典型例题
例题1．(2023·四川遂宁·高二期末（理））下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．(2023·福建省福安市第一中学高二阶段练习）记函数的导函数为．若，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．(2023·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
例题4．(2023·甘肃·高台县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.
(1)；
(2).
同类题型归类练
1．(2023·四川泸州·高二期末（文））曲线在处切线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）(2023·全国·高二课时练习）下列函数求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
4．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））求下列函数的导数.
(1)
(2)
5．(2023·北京·北理工附中高二阶段练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)
重点题型二：利用导数公式与运算法则求复合函数的导数
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例题2．(2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
例题3．(2023·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数：
(1)；
(2)
(3)
例题4．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
2．(2023·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
3．(2023·湖南·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
重点题型三：解析式中含的导数问题
典型例题
例题1．(2023·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（文））已知函数 的导函数为，且满足，则 （ ）
A．B．C．1D．
例题2．(2023·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知函数的导数为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·天津一中高三阶段练习）已知函数的导函数，满足，则等于_______________.
例题4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的导数是，且满足，则 __________．
例题5．(2023·北京·北师大二附中高三开学考试）已知函数的导函数，满足，则等于___________.
同类题型归类练
1．(2023·四川·高三阶段练习（理））已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·四川·树德怀远中学高三开学考试（文））已知函数的导函数为，且满足，则（ ）．
A．B．C．1D．e
3．(2023·吉林·高二期末）已知函数，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
4．(2023·江苏省响水中学高二阶段练习）已知函数（是的导函数），则______．
5．(2023·辽宁锦州·高二期末）已知函数的导函数为，且满足，则______．
重点题型四：求切线方程或切线斜率
典型例题
例题1．(2023·浙江·高二阶段练习）曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）(2023·江苏南通·高三阶段练习）函数过点的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）已知函数，若，则函数的图像在点处的切线方程为____________．
例题4．(2023·全国·高三阶段练习（理））过原点且与相切的直线方程为___________.
例题5．(2023·全国·成都七中高三开学考试（理））函数的一条过原点的切线方程为____________.
同类题型归类练
1．(2023·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（文））函数的图象在处的切线方程为______.
3．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）函数在点处的切线的方程为_________.
4．(2023·云南大理·模拟预测）过点作曲线的切线，则切线方程是__________．
5．(2023·全国·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．
重点题型五：利用相切关系求最小距离
典型例题
例题1．(2023·全国·高二期末）已知分别是曲线与曲线上的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·浙江·效实中学模拟预测）已知且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
例题3．(2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题4．(2023·全国·高三专题练习）已知实数、、、满足，则的最小值为______．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·河南河南·高二期末（理））已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（ ）．
A．M的最小值为B．当M最小时，点Q的横坐标为
C．M的最小值为D．当M最小时，点Q的横坐标为
3．(2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·辽宁鞍山·一模）若实数，，，满足，则的最小值为__________.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·河南平顶山·模拟预测（理））已知函数，，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
2．(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
3．（2023·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
4．(2023·河南洛阳·模拟预测（理））曲线在处的切线方程是________．
5．(2023·广西柳州·模拟预测（理））已知直线是曲线的一条切线，则b＝___．
6．(2023·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数，则函数___________.
原函数
导函数
(为常数)
5.2导数的运算（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：导数公式与运算法则的简单应用
重点题型二：利用导数公式与运算法则求复合函数的导数
重点题型三：解析式中含的导数问题
重点题型四：求切线方程或切线斜率
重点题型五：利用相切关系求最小距离
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：基本初等函数的导数公式
知识点二：导数的四则运算法则
1、两个函数和的和（或差）的导数法则：
.
2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；
.
3、由函数的乘积的导数法则可以得出，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
知识点三：复合函数的导数
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
知识点四：切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）函数的导数为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】定义域为，
故选：B
2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．-eB．-1C．1D．e
答案：B
【详解】由题意，函数，可得，
所以，则．
故选：B.
3．(2023·辽宁·高二期末）过点且与曲线相切的直线方程是__________.
答案：（或）
【详解】解：由题意可知切点坐标为，由得，
，即切线的斜率，切线方程为，即（或）.
故答案为：
4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，其中，求．
答案：
【详解】解：因为，
所以．
5．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在处的切线方程.
答案：(1)
(2)
（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，；
又，所以曲线在处的切线方程为，即.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：导数公式与运算法则的简单应用
典型例题
例题1．(2023·四川遂宁·高二期末（理））下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确．
故选：D
例题2．(2023·福建省福安市第一中学高二阶段练习）记函数的导函数为．若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】因为，则.
故选：B.
例题3．(2023·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
答案：(1)
(2)
(3)
（1）
解：因为，
所以
，
即；
（2）
解：因为，
则.
（3）
解：因为，
所以.
例题4．(2023·甘肃·高台县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
(1)
(2)，.
同类题型归类练
1．(2023·四川泸州·高二期末（文））曲线在处切线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】，则，
当时，，
故选：B
2．（多选）(2023·全国·高二课时练习）下列函数求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【详解】A：，错误；
B：，正确；
C：，正确；
D：，正确．
故选：BCD
3．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
（1）
，
所以.
（2）
，
所以.
4．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））求下列函数的导数.
(1)
(2)
答案：(1)
(2)
(1)因为，所以
.
(2)
.
5．(2023·北京·北理工附中高二阶段练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)
答案：(1)；
(2)；
(3).
（1）.
（2）.
（3）.
重点题型二：利用导数公式与运算法则求复合函数的导数
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
（1）
设，，则．
（2）
设，，，
则．
（3）
设，，，
则．
（4）
设，，则
例题2．(2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
（1）
因为，
所以.
（2）
.
例题3．(2023·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数：
(1)；
(2)
(3)
答案：(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
例题4．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【详解】（1）
．
（2）方法一：
．
方法二：∵，∴．
（3）∵
，∴．
（4）∵，
∴．
（5）方法一：
．
方法二：∵，
∴．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
答案：(1)
(2)
(1)
应为，所以．
(2)
因为，所以．
2．(2023·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
答案：(1)
(2)
(1)
(2)
3．(2023·湖南·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
答案：(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(1)
由；
(2)
由；
(3)
由；
(4)
由.
重点题型三：解析式中含的导数问题
典型例题
例题1．(2023·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（文））已知函数 的导函数为，且满足，则 （ ）
A．B．C．1D．
答案：B
【详解】由，可得，所以 ，则 .
故选：B.
例题2．(2023·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知函数的导数为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】，，解得：，
，.
故选：A.
例题3．(2023·天津一中高三阶段练习）已知函数的导函数，满足，则等于_______________.
答案：
【详解】由，得，
令，得，解得，
所以，
故答案为：.
例题4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的导数是，且满足，则 __________．
答案：2
【详解】由得，，则，可得，则，.
故答案为：2
例题5．(2023·北京·北师大二附中高三开学考试）已知函数的导函数，满足，则等于___________.
答案：
【详解】∵，
∴，
∴，即.
故答案为：.
同类题型归类练
1．(2023·四川·高三阶段练习（理））已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】由，
得，
令，则，
解得，
故选：B.
2．(2023·四川·树德怀远中学高三开学考试（文））已知函数的导函数为，且满足，则（ ）．
A．B．C．1D．e
答案：B
【详解】，将代入得：，
解得：.
故选：B
3．(2023·吉林·高二期末）已知函数，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
答案：B
【详解】解：因为，所以，
所以，解得．
故选：B
4．(2023·江苏省响水中学高二阶段练习）已知函数（是的导函数），则______．
答案：
【详解】因为是一个常数，，
所以，故，得，
所以，故.
故答案为：.
5．(2023·辽宁锦州·高二期末）已知函数的导函数为，且满足，则______．
答案：
【详解】由，
解得，
故答案为：
重点题型四：求切线方程或切线斜率
典型例题
例题1．(2023·浙江·高二阶段练习）曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】对函数求导得,故当时,斜率，
又切线过点，故切线方程为，即
故选：C.
例题2．（多选）(2023·江苏南通·高三阶段练习）函数过点的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
【详解】设切点坐标为，由，∴在处的切线斜率为，
切线方程为，由切线过，
，解得或，时切线方程，选D；
时切线方程，选A.
故选：AD
例题3．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）已知函数，若，则函数的图像在点处的切线方程为____________．
答案：
【详解】当时，（）,所以；
由，则函数在点处的切线斜率，
所以函数的图像在点处的切线方程为：，
即.
故答案为：.
例题4．(2023·全国·高三阶段练习（理））过原点且与相切的直线方程为___________.
答案：
【详解】设切点坐标，
由，得，
所以切线的斜率为
切线方程为
又切线过原点，
所以
解得
所以切线方程为，
故答案为：
例题5．(2023·全国·成都七中高三开学考试（理））函数的一条过原点的切线方程为____________.
答案：
【详解】解：因为，所以，
设切点为，则，
所以​，即​，
令，，则，
所以在上单调递增，又，所以​，则，，
所以函数​过原点的一条切线方程为​.
故答案为：
同类题型归类练
1．(2023·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】由题意得，切线和垂直，切线斜率显然存在，设为，根据直线垂直的斜率关系可得，，那么切线斜率，由导数的几何意义：，而，，解得.
故选：D
2．(2023·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（文））函数的图象在处的切线方程为______.
答案：
【详解】由得，则 ，又 ，
所以切线方程为：，
故答案为：
3．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）函数在点处的切线的方程为_________.
答案：
【详解】由题，，
则，
所以切线方程为，
故答案为：
4．(2023·云南大理·模拟预测）过点作曲线的切线，则切线方程是__________．
答案：
【详解】函数定义域为，，
设切点为，，
所以切线方程为，
代入，得，
解得：，所以切线方程为，
整理得：．
故答案为：
5．(2023·全国·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．
答案：或
【详解】由题意，设切点坐标为，则，
又由函数，可得，可得，所以，
根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，
解得或，所以切线的斜率为或，
所以切线方程为或，即或.
故答案为：或.
重点题型五：利用相切关系求最小距离
典型例题
例题1．(2023·全国·高二期末）已知分别是曲线与曲线上的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】曲线与曲线互为反函数，其图象关于对称，
求出点到的最小距离
设曲线上斜率为的切线为
，由 得，切点坐标为，即
的最小值为，无最大值，即
故选：B.
例题2．(2023·浙江·效实中学模拟预测）已知且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
答案：B
【详解】代数式
可以看成点到点距离的平方，点在平面直角坐标系中，表示单位圆上的点，
点表示曲线上的点，如下图所示：
，由，
所以曲线在点处的切线方程为：，
此时直线与直线垂直于点，交圆于点，
由数形结合思想可以确定：
当点运动到点时，当点运用到点时，有最小值，即，
故选：B
例题3．(2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，
将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时，Q到直线的距离，故，
所以．
故选：B
例题4．(2023·全国·高三专题练习）已知实数、、、满足，则的最小值为______．
答案：
【详解】因为实数、、、满足，所以，，，
所以，点在曲线上，点在曲线上，
的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．
考查曲线上和直线平行的切线，
对函数求导得，
令，解得，所以，切点为，
该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，
故的最小值为．
故答案为：.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】解：由，则点在函数上，
，则点在函数上，
则表示、两点的距离的平方，
要求的最小值，即求的最小值，
当过的点切线与直线平行时，点到直线的距离即为的最小值，
由可得，所以，解得，
所以，即，
所以到的距离，即，
所以的最小值为；
故选：C
2．(2023·河南河南·高二期末（理））已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（ ）．
A．M的最小值为B．当M最小时，点Q的横坐标为
C．M的最小值为D．当M最小时，点Q的横坐标为
答案：B
【详解】将化为，
即直线l的斜率为，
因为，所以，
令，得，
∴当M最小时，点P的坐标为，
此时点P到直线的距离为，
所以M的最小值为；
过点P且垂直于的直线方程为，
联立，得，
即点Q的横坐标为.
故选:B．
3．(2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】，，令，解得，所以，故的最小值为到的距离，．
故选：B．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】根据题意，点是函数图像上一点，
点是直线上一点
函数的导函数为，
所以其图像上一点处切线的斜率为
当过点的切线与直线平行时，点与点之间的距离最小
且两点间的距离可转化两平行线之间的距离
此时有，，从而可得
此时函数图像上过点的切线方程为
化简为，其与直线间的距离为
所以的最小值为.
故选：C.
5．(2023·辽宁鞍山·一模）若实数，，，满足，则的最小值为__________.
答案：2
【详解】解：因为，所以，，
即，，
令，，
设直线与曲线相切于点，
由，得，
则，由，解得或（舍去），所以．
，则到直线的距离．
而的几何意义为曲线上的点与直线上点的距离的平方，
则的最小值为．
故答案为：．
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·河南平顶山·模拟预测（理））已知函数，，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
答案：A
【详解】由，得（），
因为，
所以，化简得
解得或（舍去），
故选：A
2．(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
答案：
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
3．（2023·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
答案：（答案不唯一，均满足）
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
4．(2023·河南洛阳·模拟预测（理））曲线在处的切线方程是________．
答案：
【详解】由，得，
当时，，，
所以切线方程为，
即．
故答案为：
5．(2023·广西柳州·模拟预测（理））已知直线是曲线的一条切线，则b＝___．
答案：2
【详解】解：函数的定义域为，
，
令，则，
所以切点为，
代入，得，
所以.
故答案为：2.
6．(2023·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数，则函数___________.
答案：
【详解】由题意得，且，
令，得，故
故答案为：
原函数
导函数
(为常数)