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- 2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.2等差数列的前n项和公式(精讲)(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.1等比数列的概念(精练)(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
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2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.1等比数列的概念(精讲)(原卷版+解析)
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这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.1等比数列的概念(精讲)(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了当或时，等比数列为递增数列；，当或时，等比数列为递减数列；，当时，等比数列为常数列，当时，等比数列为摆动数列.等内容，欢迎下载使用。
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列通项公式的应用
重点题型二：等比中项
重点题型三：等比数列的判断与证明
重点题型四：等比数列性质的应用
重点题型五：构造等比数列求通项公式（构造法求通项）
重点题型六：等比数列在传统文化中的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()
符号语言（或者）(为常数，，)
知识点二：等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
知识点三：等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比．
知识点四：等比数列的单调性
已知等比数列的首项为，公比为
1、当或时，等比数列为递增数列；
2、当或时，等比数列为递减数列；
3、当时，等比数列为常数列（）
4、当时，等比数列为摆动数列.
知识点五：等比数列的判断（证明）
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
知识点六：等比数列常用性质
设数列是等比数列，是其前项和．
（1）
(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为().
(4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
2．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二期末）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只B．520只C． 只D． 只
3．(2023·四川省峨眉第二中学校高一期中（理））已知等比数列，，是方程的两根，则（ ）
A．8B．10C．14D．16
4．（多选）(2023·全国·高二课时练习）下列数列是等比数列的是（ ）．
A．1，1，1，1，1B．0，0，0，0，…
C．，，，…D．，，1，，…
5．(2023·上海市晋元高级中学高一期末）设等比数列满足，，则___________.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列通项公式的应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）数列是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项是等比数列的第6，8，10项，则的公比是______．
例题2．(2023·河北邢台·高二期末）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则______．
例题3．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，公比为．
(1)若，，求通项公式；
(2)若，，求并写出通项公式；
(3)若，，，求项数．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高一专题练习）已知首项为－1的等比数列{}，若，则数列{}的公比为___．
2．(2023·河南省杞县高中模拟预测（文））在等比数列中，，则的公比______．
3．(2023·全国·高二课时练习）设四个数中前三个数依次成等比数列，其和为19，后三个数依次成等差数列，其和为12，求该数列．
4．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，
(1)，，求；
(2)，，若，求n的值．
重点题型二：等比中项
典型例题
例题1．(2023·上海·华师大二附中高一期末）“”是“是、的等比中项”的（ ）条件
A．既不充分也不必要B．充分不必要
C．必要不充分D．充要
例题2．(2023·宁夏·灵武市第一中学高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（ ）
A．32B．C．D．
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）若、、成等比数列，则称为和的等比中项．
(1)求和的等比中项；
(2)已知两个数和的等比中项是，求．
同类题型归类练
1．(2023·海南·高二期末）和的等差中项与等比中项分别为（ ）
A．，B．2，C．，D．1，
2．(2023·全国·高二课时练习）方程两根的等比中项是______．
重点题型三：等比数列的判断与证明
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）(2023·全国·高二课时练习）设数列为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式.
例题4．(2023·四川成都·高一期末（理））设数列的前项和为，前n项积为，且．
(1)求证：数列是等比数列；
同类题型归类练
1．（多选）(2023·全国·高二课时练习）（多选）若是等比数列，则下列是等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）(2023·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设是等比数列，则下列四个命题正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式．
重点题型四：等比数列性质的应用
典型例题
例题1．(2023·四川成都·高一期末）若等比数列中，则该数列前11项的乘积为（ ）
A．32B．C．16D．
例题2．(2023·四川·射洪中学高二开学考试）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．20B．15C．8D．
例题3．（多选）(2023·湖南怀化·一模）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，则下列选项中成立的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
例题4．(2023·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）已知是等比数列，若，，则______．
2．(2023·江西上饶·高二期末（文））在正项等比数列中，已知，则________．
3．(2023·全国·高二专题练习）已知各项均为正数的等比数列，，，则______．
4．(2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，且，则数列有______项．
5．(2023·全国·高二课时练习）若等比数列的各项均为正数，且，求的值．
重点题型五：构造等比数列求通项公式（构造法求通项）
典型例题
例题1．(2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知数列满足，设.
(1)证明：数列为等比数列；
例题2．(2023·宁夏·灵武市第一中学高一期末）在数列中，，，．
(1)求证：是等比数列；
例题3．(2023·辽宁·沈阳二中高二期中）已知数列中，是它的前项和，并且，.
(1)设，求证：是等比数列；
例题4．(2023·湖北·襄阳四中模拟预测）已知等差数列满足，且前四项和为28，数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式，并判断是否为等比数列；
同类题型归类练
1．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等比数列；
2．(2023·全国·高二期末）已知数列的前项和为，且
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式
3．(2023·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
4．(2023·河北石家庄·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
重点题型六：等比数列在传统文化中的应用
典型例题
例题1．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，则插入的第8个数为（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·全国·高三专题练习（文））九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解连环需要的步骤为，，研究发现是等比数列，已知，则（ ）
A．127B．128C．255D．256
例题3．(2023·江苏·金陵中学高三学业考试）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 ___________；数列的前项和___________.
同类题型归类练
1．(2023·江苏南通·高二期末）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲､乙､丙､丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲､乙､丙､丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲､丙所得之和为石，则“衰分比”为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）(2023·福建省同安第一中学高二阶段练习）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C．D．
3．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
2．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列为等比数列，，，则______.
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）.用上面的方法可以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案……，若最大的三角形边长为2，则操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为___________，挖去的面积为___________.
5．(2023·江苏南通·模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．
① ② ③ ④
若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．
4.3.1等比数列的概念（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列通项公式的应用
重点题型二：等比中项
重点题型三：等比数列的判断与证明
重点题型四：等比数列性质的应用
重点题型五：构造等比数列求通项公式（构造法求通项）
重点题型六：等比数列在传统文化中的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()
符号语言（或者）(为常数，，)
知识点二：等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
知识点三：等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比．
知识点四：等比数列的单调性
已知等比数列的首项为，公比为
1、当或时，等比数列为递增数列；
2、当或时，等比数列为递减数列；
3、当时，等比数列为常数列（）
4、当时，等比数列为摆动数列.
知识点五：等比数列的判断（证明）
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
知识点六：等比数列常用性质
设数列是等比数列，是其前项和．
（1）
(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为().
(4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
答案：B
【详解】，
由于是等比数列，所以，
即.
故选：B
2．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二期末）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只B．520只C． 只D． 只
答案：B
【详解】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……
按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列
则第天的蜜蜂数
第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数
故选：B．
3．(2023·四川省峨眉第二中学校高一期中（理））已知等比数列，，是方程的两根，则（ ）
A．8B．10C．14D．16
答案：B
【详解】 ，是方程的两根
根据等比数列的性质有：
故选：B
4．（多选）(2023·全国·高二课时练习）下列数列是等比数列的是（ ）．
A．1，1，1，1，1B．0，0，0，0，…
C．，，，…D．，，1，，…
答案：AC
【详解】解：A选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1，公比为1的等比数列，故A正确；
B选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0，一定不是等比数列，故B错误；
C选项，由等比数列的定义可知，首项为，公比为的等比数列，故C正确；
D选项，由等比数列的定义可知，，故不是等比数列，故D错误.
故选：AC.
5．(2023·上海市晋元高级中学高一期末）设等比数列满足，，则___________.
答案：12
【详解】等比数列中，，所以，所以，.
故答案为：12.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列通项公式的应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）数列是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项是等比数列的第6，8，10项，则的公比是______．
答案：
【详解】设的公差为，的公比为，
则①，②，③，
②÷①得：，
③÷②得：
所以，
解得：，
因为，
所以，
将代入①得：，
将代入②得：，
两式相除得：，
所以
故答案为：
例题2．(2023·河北邢台·高二期末）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则______．
答案：
【详解】因为，所以，解得．又，，成等比数列，所以.
设公差为d，所以，整理得，
因为，所以，从而．
故答案为：
例题3．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，公比为．
(1)若，，求通项公式；
(2)若，，求并写出通项公式；
(3)若，，，求项数．
答案：(1)(2)，(3)5
（1）因为，，
所以
（2）由题知，，解得
所以
（3）由题可知，，即
所以，所以
同类题型归类练
1．(2023·全国·高一专题练习）已知首项为－1的等比数列{}，若，则数列{}的公比为___．
答案：±1
【详解】依题意，，设公比为，若，则，即，得，故，得，
故答案为：±1.
2．(2023·河南省杞县高中模拟预测（文））在等比数列中，，则的公比______．
答案：或##或
【详解】因为，所以，
所以，因为，所以或．
故答案为：或．
3．(2023·全国·高二课时练习）设四个数中前三个数依次成等比数列，其和为19，后三个数依次成等差数列，其和为12，求该数列．
答案：或
【详解】根据后三个数成等差数列，和为可设后三个数为，
再根据前三个数成等比数列可得这四个数分别为：，
则由前三个数和为可列方程得，，
整理得，，解得或，
故该数列分别为：或
4．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，
(1)，，求；
(2)，，若，求n的值．
答案：(1)(2)
(1)设数列的公比为q，
因为，所以，，
所以．
(2)因为，所以．
由，得．
由，解得．
重点题型二：等比中项
典型例题
例题1．(2023·上海·华师大二附中高一期末）“”是“是、的等比中项”的（ ）条件
A．既不充分也不必要B．充分不必要
C．必要不充分D．充要
答案：A
【详解】当时，满足，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如，但不满足，故“”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件
故选：A
例题2．(2023·宁夏·灵武市第一中学高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（ ）
A．32B．C．D．
答案：D
【详解】由题，该等比数列为，设第2项与第4项的等比中项为则，故
故选：D
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）若、、成等比数列，则称为和的等比中项．
(1)求和的等比中项；
(2)已知两个数和的等比中项是，求．
答案：(1)
(2)或
(1)解：由题意可知，和的等比中项为.
(2)解：由题意可得，解得或.
同类题型归类练
1．(2023·海南·高二期末）和的等差中项与等比中项分别为（ ）
A．，B．2，C．，D．1，
答案：C
【详解】和的等差中项为，
和的等比中项为.
故选：C.
2．(2023·全国·高二课时练习）方程两根的等比中项是______．
答案：
【详解】由题，，存在不等两根.
由韦达定理，两根，故两根的等比中项为.
故答案为：
重点题型三：等比数列的判断与证明
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】易知，且，在的两边同时取常用对数，得，
故，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
故选:C．
例题2．（多选）(2023·全国·高二课时练习）设数列为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
【详解】设数列的首项为，公比为q．
对于A，，所以数列是公比为q的等比数列；
对于B，，所以数列是公比为的等比数列；
对于C，，所以当时，，不是一个非零常数，所以数列不是等比数列；
对于D，当时，，,不是一个非零常数，所以数列不是等比数列．
故选：AB．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式.
答案：.
【详解】由题意，数列的前项和为，
当时，，解得；
当时，，
两式相减得到，可得，即，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为.
例题4．(2023·四川成都·高一期末（理））设数列的前项和为，前n项积为，且．
(1)求证：数列是等比数列；
答案：(1)证明见解析
(2)；
(3)证明见解析.
(1)因为，即，
当时，，
两式相减可得，整理可得，
所以数列是等比数列；
同类题型归类练
1．（多选）(2023·全国·高二课时练习）（多选）若是等比数列，则下列是等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
【详解】设的公比为q，则，
A. （常数），故A正确；
B. 若q＝－1，则．（等比数列的各项不能为0），故B错误；
C. （常数），故C正确；
D. （常数），故D正确.
故选：ACD
2．（多选）(2023·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设是等比数列，则下列四个命题正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
答案：ABC
【详解】设公比为，则，，即是首项为，公比为的等比数列，A正确；
，即是首项为，公比为的等比数列，B正确；
，即1an是首项为，公比为的等比数列，C正确；
若数列的首项，则，此时不是等比数列，D错误.
故选：ABC.
3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式．
答案：.
【详解】解：当时， ，解得：，
当时，，得，
因为，可得，所以，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以.
重点题型四：等比数列性质的应用
典型例题
例题1．(2023·四川成都·高一期末）若等比数列中，则该数列前11项的乘积为（ ）
A．32B．C．16D．
答案：B
【详解】根据等比中项性质可得，所求.
故选：B
例题2．(2023·四川·射洪中学高二开学考试）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．20B．15C．8D．
答案：B
【详解】是等比数列，则，，，
，
故选：B．
例题3．（多选）(2023·湖南怀化·一模）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，则下列选项中成立的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
答案：ABD
【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，
又，
，，B正确；
，，即，A正确；
由得，，所以，而，，因此，C错；
由上知，先增后减，与均为的最大值，D正确．
故选：ABD．
例题4．(2023·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．
答案：
【详解】根据题意，在各项均为正数的等比数列中，，
即，
∴，当且仅当，即公比为1时等号成立，
故的最大值是.
故答案为：.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）已知是等比数列，若，，则______．
答案：50
【详解】解：由题意得，在等比数列中，，
由等比数列的性质得，是与的等比中项，则，
则，解得.
故答案为：50．
2．(2023·江西上饶·高二期末（文））在正项等比数列中，已知，则________．
答案：##
【详解】由等比中项的性质可得，则，
因此，.
故答案为：.
3．(2023·全国·高二专题练习）已知各项均为正数的等比数列，，，则______．
答案：9
【详解】由，，得，
又因为各项均为正数，所以．
故答案为：9.
4．(2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，且，则数列有______项．
答案：12
【详解】由题意及等比数列的性质得，
即，则，
故有12项．
故答案为：12.
5．(2023·全国·高二课时练习）若等比数列的各项均为正数，且，求的值．
答案：50
【详解】由，可得
=.
故答案为：50.
重点题型五：构造等比数列求通项公式（构造法求通项）
典型例题
例题1．(2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知数列满足，设.
(1)证明：数列为等比数列；
答案：(1)见解析
(2)
（1）证明：因为，所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列
例题2．(2023·宁夏·灵武市第一中学高一期末）在数列中，，，．
(1)求证：是等比数列；
答案：(1)证明见解析
(2)
(1)由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
例题3．(2023·辽宁·沈阳二中高二期中）已知数列中，是它的前项和，并且，.
(1)设，求证：是等比数列；
答案：(1)证明见解析
(1)，，则，解之得
由时，
则，
则，整理得，
即，又，
故是以3为首项，2为公比的等比数列
例题4．(2023·湖北·襄阳四中模拟预测）已知等差数列满足，且前四项和为28，数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式，并判断是否为等比数列；
答案：(1)，判断答案见解析
∵是等差数列，，且前四项和为28，
∴，解得
∴.
∵，∴当时，，两式相减得，
即，又∴
∴当时，数列的通项公式为.不是等比数列
当时，数列是首项为，公比为3的等比数列，∴.
同类题型归类练
1．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等比数列；
答案：(1)证明见解析
证明：当时，，得，
由题意得 ，
相减得：，，
由，得
所以是首项为2，公比为2的等比数列
所以
2．(2023·全国·高二期末）已知数列的前项和为，且
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式
答案：(1)证明见解析；
(2)；
(1)当时，，
当时，，
整理得，
，
是以-15为首项，为公比的等比数列；
(2)由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列，
得，所以，
3．(2023·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
答案：(1)，，，，；
(2)证明见解析；
(3).
(1)解：因为数列满足，，.
所以，
，
，
，
所以数列的前5项为：，，，，；
(2)解：，，
因此，数列是等比数列；
(3)解：由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.
4．(2023·河北石家庄·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
答案：(1)证明见解析
证明：由，得．
又，所以．于是，
所以是首项为1，公比为2的等比数列．
重点题型六：等比数列在传统文化中的应用
典型例题
例题1．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，则插入的第8个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】由题意可知，
在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列
设公比为 ，则 ，
故 ，
故 ，
故选：B
例题2．(2023·全国·高三专题练习（文））九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解连环需要的步骤为，，研究发现是等比数列，已知，则（ ）
A．127B．128C．255D．256
答案：C
【详解】由题知，，，又{an+1}是等比数列，
则，，{an+1}是以4为首项，2为公比的等比数列，
即，
，
故选：C
例题3．(2023·江苏·金陵中学高三学业考试）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 ___________；数列的前项和___________.
答案：
【详解】解：由题意可知，第代龙曲线是在将个第代龙曲线的首尾顶点相接，
则，所以，，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，则，
，则，
，
因此，.
故答案为：；.
同类题型归类练
1．(2023·江苏南通·高二期末）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲､乙､丙､丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲､乙､丙､丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲､丙所得之和为石，则“衰分比”为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，
又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，
已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，
则，，
解得：，，
故选：A
2．（多选）(2023·福建省同安第一中学高二阶段练习）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C．D．
答案：BD
【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列，
，即.
所以BD选项正确.
故选：BD
3．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.
答案：
【详解】由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍，
则周长之间的关系为，
所以{}是公比为的等比数列，而首项，所以，
当时，“雪花”状多边形的周长为.
故答案为：
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
答案：C
【详解】设的公比为q，则，
解得，所以，
故选：C．
2．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，
因为，则，，可得，
由已知、，所以，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
3．(2023·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列为等比数列，，，则______.
答案：6
【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，
由题意可得即，
易得，所以两式相除，解得，
将代入可得，所以，
故答案为：6
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）.用上面的方法可以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案……，若最大的三角形边长为2，则操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为___________，挖去的面积为___________.
答案： ##
【详解】观察图中黑色三角形以及白色三角形的个数，
设白色三角形个数为，黑色三角形个数为，
可以知道 ，，，，
故 ，则，
即操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为40；
由题意可知，设图中黑色三角形面积为 ，则，
每次挖去的白色三角形面积都是上一个图形中对应的黑色三角形面积的，
故每次操作后图中剩余黑色三角形的面积都是上一个图中黑色部分面积的，
故图中黑色三角形面积构成首项为 ，公比为的等比数列，
故操作4次后得到的第5个图案中黑色三角形面积为 ，
则挖去的面积为，
故答案为：40；
5．(2023·江苏南通·模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．
① ② ③ ④
若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．
答案：
【详解】第一个三角形面积，
第二个图形在第一个基础上多了三个小正三角形，
故．
记第n个图形为，三角形边长为，边数，周长，
有条边，边长；有条边，边长；有条边，
边长
，即，，
周长．故答案为：；
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列通项公式的应用
重点题型二：等比中项
重点题型三：等比数列的判断与证明
重点题型四：等比数列性质的应用
重点题型五：构造等比数列求通项公式（构造法求通项）
重点题型六：等比数列在传统文化中的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()
符号语言（或者）(为常数，，)
知识点二：等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
知识点三：等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比．
知识点四：等比数列的单调性
已知等比数列的首项为，公比为
1、当或时，等比数列为递增数列；
2、当或时，等比数列为递减数列；
3、当时，等比数列为常数列（）
4、当时，等比数列为摆动数列.
知识点五：等比数列的判断（证明）
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
知识点六：等比数列常用性质
设数列是等比数列，是其前项和．
（1）
(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为().
(4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
2．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二期末）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只B．520只C． 只D． 只
3．(2023·四川省峨眉第二中学校高一期中（理））已知等比数列，，是方程的两根，则（ ）
A．8B．10C．14D．16
4．（多选）(2023·全国·高二课时练习）下列数列是等比数列的是（ ）．
A．1，1，1，1，1B．0，0，0，0，…
C．，，，…D．，，1，，…
5．(2023·上海市晋元高级中学高一期末）设等比数列满足，，则___________.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列通项公式的应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）数列是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项是等比数列的第6，8，10项，则的公比是______．
例题2．(2023·河北邢台·高二期末）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则______．
例题3．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，公比为．
(1)若，，求通项公式；
(2)若，，求并写出通项公式；
(3)若，，，求项数．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高一专题练习）已知首项为－1的等比数列{}，若，则数列{}的公比为___．
2．(2023·河南省杞县高中模拟预测（文））在等比数列中，，则的公比______．
3．(2023·全国·高二课时练习）设四个数中前三个数依次成等比数列，其和为19，后三个数依次成等差数列，其和为12，求该数列．
4．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，
(1)，，求；
(2)，，若，求n的值．
重点题型二：等比中项
典型例题
例题1．(2023·上海·华师大二附中高一期末）“”是“是、的等比中项”的（ ）条件
A．既不充分也不必要B．充分不必要
C．必要不充分D．充要
例题2．(2023·宁夏·灵武市第一中学高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（ ）
A．32B．C．D．
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）若、、成等比数列，则称为和的等比中项．
(1)求和的等比中项；
(2)已知两个数和的等比中项是，求．
同类题型归类练
1．(2023·海南·高二期末）和的等差中项与等比中项分别为（ ）
A．，B．2，C．，D．1，
2．(2023·全国·高二课时练习）方程两根的等比中项是______．
重点题型三：等比数列的判断与证明
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）(2023·全国·高二课时练习）设数列为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式.
例题4．(2023·四川成都·高一期末（理））设数列的前项和为，前n项积为，且．
(1)求证：数列是等比数列；
同类题型归类练
1．（多选）(2023·全国·高二课时练习）（多选）若是等比数列，则下列是等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）(2023·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设是等比数列，则下列四个命题正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式．
重点题型四：等比数列性质的应用
典型例题
例题1．(2023·四川成都·高一期末）若等比数列中，则该数列前11项的乘积为（ ）
A．32B．C．16D．
例题2．(2023·四川·射洪中学高二开学考试）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．20B．15C．8D．
例题3．（多选）(2023·湖南怀化·一模）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，则下列选项中成立的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
例题4．(2023·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）已知是等比数列，若，，则______．
2．(2023·江西上饶·高二期末（文））在正项等比数列中，已知，则________．
3．(2023·全国·高二专题练习）已知各项均为正数的等比数列，，，则______．
4．(2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，且，则数列有______项．
5．(2023·全国·高二课时练习）若等比数列的各项均为正数，且，求的值．
重点题型五：构造等比数列求通项公式（构造法求通项）
典型例题
例题1．(2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知数列满足，设.
(1)证明：数列为等比数列；
例题2．(2023·宁夏·灵武市第一中学高一期末）在数列中，，，．
(1)求证：是等比数列；
例题3．(2023·辽宁·沈阳二中高二期中）已知数列中，是它的前项和，并且，.
(1)设，求证：是等比数列；
例题4．(2023·湖北·襄阳四中模拟预测）已知等差数列满足，且前四项和为28，数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式，并判断是否为等比数列；
同类题型归类练
1．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等比数列；
2．(2023·全国·高二期末）已知数列的前项和为，且
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式
3．(2023·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
4．(2023·河北石家庄·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
重点题型六：等比数列在传统文化中的应用
典型例题
例题1．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，则插入的第8个数为（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·全国·高三专题练习（文））九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解连环需要的步骤为，，研究发现是等比数列，已知，则（ ）
A．127B．128C．255D．256
例题3．(2023·江苏·金陵中学高三学业考试）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 ___________；数列的前项和___________.
同类题型归类练
1．(2023·江苏南通·高二期末）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲､乙､丙､丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲､乙､丙､丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲､丙所得之和为石，则“衰分比”为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）(2023·福建省同安第一中学高二阶段练习）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C．D．
3．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
2．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列为等比数列，，，则______.
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）.用上面的方法可以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案……，若最大的三角形边长为2，则操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为___________，挖去的面积为___________.
5．(2023·江苏南通·模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．
① ② ③ ④
若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．
4.3.1等比数列的概念（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列通项公式的应用
重点题型二：等比中项
重点题型三：等比数列的判断与证明
重点题型四：等比数列性质的应用
重点题型五：构造等比数列求通项公式（构造法求通项）
重点题型六：等比数列在传统文化中的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()
符号语言（或者）(为常数，，)
知识点二：等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
知识点三：等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比．
知识点四：等比数列的单调性
已知等比数列的首项为，公比为
1、当或时，等比数列为递增数列；
2、当或时，等比数列为递减数列；
3、当时，等比数列为常数列（）
4、当时，等比数列为摆动数列.
知识点五：等比数列的判断（证明）
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
知识点六：等比数列常用性质
设数列是等比数列，是其前项和．
（1）
(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为().
(4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
答案：B
【详解】，
由于是等比数列，所以，
即.
故选：B
2．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二期末）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只B．520只C． 只D． 只
答案：B
【详解】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……
按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列
则第天的蜜蜂数
第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数
故选：B．
3．(2023·四川省峨眉第二中学校高一期中（理））已知等比数列，，是方程的两根，则（ ）
A．8B．10C．14D．16
答案：B
【详解】 ，是方程的两根
根据等比数列的性质有：
故选：B
4．（多选）(2023·全国·高二课时练习）下列数列是等比数列的是（ ）．
A．1，1，1，1，1B．0，0，0，0，…
C．，，，…D．，，1，，…
答案：AC
【详解】解：A选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1，公比为1的等比数列，故A正确；
B选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0，一定不是等比数列，故B错误；
C选项，由等比数列的定义可知，首项为，公比为的等比数列，故C正确；
D选项，由等比数列的定义可知，，故不是等比数列，故D错误.
故选：AC.
5．(2023·上海市晋元高级中学高一期末）设等比数列满足，，则___________.
答案：12
【详解】等比数列中，，所以，所以，.
故答案为：12.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列通项公式的应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）数列是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项是等比数列的第6，8，10项，则的公比是______．
答案：
【详解】设的公差为，的公比为，
则①，②，③，
②÷①得：，
③÷②得：
所以，
解得：，
因为，
所以，
将代入①得：，
将代入②得：，
两式相除得：，
所以
故答案为：
例题2．(2023·河北邢台·高二期末）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则______．
答案：
【详解】因为，所以，解得．又，，成等比数列，所以.
设公差为d，所以，整理得，
因为，所以，从而．
故答案为：
例题3．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，公比为．
(1)若，，求通项公式；
(2)若，，求并写出通项公式；
(3)若，，，求项数．
答案：(1)(2)，(3)5
（1）因为，，
所以
（2）由题知，，解得
所以
（3）由题可知，，即
所以，所以
同类题型归类练
1．(2023·全国·高一专题练习）已知首项为－1的等比数列{}，若，则数列{}的公比为___．
答案：±1
【详解】依题意，，设公比为，若，则，即，得，故，得，
故答案为：±1.
2．(2023·河南省杞县高中模拟预测（文））在等比数列中，，则的公比______．
答案：或##或
【详解】因为，所以，
所以，因为，所以或．
故答案为：或．
3．(2023·全国·高二课时练习）设四个数中前三个数依次成等比数列，其和为19，后三个数依次成等差数列，其和为12，求该数列．
答案：或
【详解】根据后三个数成等差数列，和为可设后三个数为，
再根据前三个数成等比数列可得这四个数分别为：，
则由前三个数和为可列方程得，，
整理得，，解得或，
故该数列分别为：或
4．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，
(1)，，求；
(2)，，若，求n的值．
答案：(1)(2)
(1)设数列的公比为q，
因为，所以，，
所以．
(2)因为，所以．
由，得．
由，解得．
重点题型二：等比中项
典型例题
例题1．(2023·上海·华师大二附中高一期末）“”是“是、的等比中项”的（ ）条件
A．既不充分也不必要B．充分不必要
C．必要不充分D．充要
答案：A
【详解】当时，满足，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如，但不满足，故“”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件
故选：A
例题2．(2023·宁夏·灵武市第一中学高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（ ）
A．32B．C．D．
答案：D
【详解】由题，该等比数列为，设第2项与第4项的等比中项为则，故
故选：D
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）若、、成等比数列，则称为和的等比中项．
(1)求和的等比中项；
(2)已知两个数和的等比中项是，求．
答案：(1)
(2)或
(1)解：由题意可知，和的等比中项为.
(2)解：由题意可得，解得或.
同类题型归类练
1．(2023·海南·高二期末）和的等差中项与等比中项分别为（ ）
A．，B．2，C．，D．1，
答案：C
【详解】和的等差中项为，
和的等比中项为.
故选：C.
2．(2023·全国·高二课时练习）方程两根的等比中项是______．
答案：
【详解】由题，，存在不等两根.
由韦达定理，两根，故两根的等比中项为.
故答案为：
重点题型三：等比数列的判断与证明
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】易知，且，在的两边同时取常用对数，得，
故，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
故选:C．
例题2．（多选）(2023·全国·高二课时练习）设数列为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
【详解】设数列的首项为，公比为q．
对于A，，所以数列是公比为q的等比数列；
对于B，，所以数列是公比为的等比数列；
对于C，，所以当时，，不是一个非零常数，所以数列不是等比数列；
对于D，当时，，,不是一个非零常数，所以数列不是等比数列．
故选：AB．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式.
答案：.
【详解】由题意，数列的前项和为，
当时，，解得；
当时，，
两式相减得到，可得，即，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为.
例题4．(2023·四川成都·高一期末（理））设数列的前项和为，前n项积为，且．
(1)求证：数列是等比数列；
答案：(1)证明见解析
(2)；
(3)证明见解析.
(1)因为，即，
当时，，
两式相减可得，整理可得，
所以数列是等比数列；
同类题型归类练
1．（多选）(2023·全国·高二课时练习）（多选）若是等比数列，则下列是等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
【详解】设的公比为q，则，
A. （常数），故A正确；
B. 若q＝－1，则．（等比数列的各项不能为0），故B错误；
C. （常数），故C正确；
D. （常数），故D正确.
故选：ACD
2．（多选）(2023·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设是等比数列，则下列四个命题正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
答案：ABC
【详解】设公比为，则，，即是首项为，公比为的等比数列，A正确；
，即是首项为，公比为的等比数列，B正确；
，即1an是首项为，公比为的等比数列，C正确；
若数列的首项，则，此时不是等比数列，D错误.
故选：ABC.
3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式．
答案：.
【详解】解：当时， ，解得：，
当时，，得，
因为，可得，所以，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以.
重点题型四：等比数列性质的应用
典型例题
例题1．(2023·四川成都·高一期末）若等比数列中，则该数列前11项的乘积为（ ）
A．32B．C．16D．
答案：B
【详解】根据等比中项性质可得，所求.
故选：B
例题2．(2023·四川·射洪中学高二开学考试）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．20B．15C．8D．
答案：B
【详解】是等比数列，则，，，
，
故选：B．
例题3．（多选）(2023·湖南怀化·一模）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，则下列选项中成立的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
答案：ABD
【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，
又，
，，B正确；
，，即，A正确；
由得，，所以，而，，因此，C错；
由上知，先增后减，与均为的最大值，D正确．
故选：ABD．
例题4．(2023·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．
答案：
【详解】根据题意，在各项均为正数的等比数列中，，
即，
∴，当且仅当，即公比为1时等号成立，
故的最大值是.
故答案为：.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）已知是等比数列，若，，则______．
答案：50
【详解】解：由题意得，在等比数列中，，
由等比数列的性质得，是与的等比中项，则，
则，解得.
故答案为：50．
2．(2023·江西上饶·高二期末（文））在正项等比数列中，已知，则________．
答案：##
【详解】由等比中项的性质可得，则，
因此，.
故答案为：.
3．(2023·全国·高二专题练习）已知各项均为正数的等比数列，，，则______．
答案：9
【详解】由，，得，
又因为各项均为正数，所以．
故答案为：9.
4．(2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，且，则数列有______项．
答案：12
【详解】由题意及等比数列的性质得，
即，则，
故有12项．
故答案为：12.
5．(2023·全国·高二课时练习）若等比数列的各项均为正数，且，求的值．
答案：50
【详解】由，可得
=.
故答案为：50.
重点题型五：构造等比数列求通项公式（构造法求通项）
典型例题
例题1．(2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知数列满足，设.
(1)证明：数列为等比数列；
答案：(1)见解析
(2)
（1）证明：因为，所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列
例题2．(2023·宁夏·灵武市第一中学高一期末）在数列中，，，．
(1)求证：是等比数列；
答案：(1)证明见解析
(2)
(1)由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
例题3．(2023·辽宁·沈阳二中高二期中）已知数列中，是它的前项和，并且，.
(1)设，求证：是等比数列；
答案：(1)证明见解析
(1)，，则，解之得
由时，
则，
则，整理得，
即，又，
故是以3为首项，2为公比的等比数列
例题4．(2023·湖北·襄阳四中模拟预测）已知等差数列满足，且前四项和为28，数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式，并判断是否为等比数列；
答案：(1)，判断答案见解析
∵是等差数列，，且前四项和为28，
∴，解得
∴.
∵，∴当时，，两式相减得，
即，又∴
∴当时，数列的通项公式为.不是等比数列
当时，数列是首项为，公比为3的等比数列，∴.
同类题型归类练
1．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等比数列；
答案：(1)证明见解析
证明：当时，，得，
由题意得 ，
相减得：，，
由，得
所以是首项为2，公比为2的等比数列
所以
2．(2023·全国·高二期末）已知数列的前项和为，且
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式
答案：(1)证明见解析；
(2)；
(1)当时，，
当时，，
整理得，
，
是以-15为首项，为公比的等比数列；
(2)由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列，
得，所以，
3．(2023·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
答案：(1)，，，，；
(2)证明见解析；
(3).
(1)解：因为数列满足，，.
所以，
，
，
，
所以数列的前5项为：，，，，；
(2)解：，，
因此，数列是等比数列；
(3)解：由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.
4．(2023·河北石家庄·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
答案：(1)证明见解析
证明：由，得．
又，所以．于是，
所以是首项为1，公比为2的等比数列．
重点题型六：等比数列在传统文化中的应用
典型例题
例题1．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，则插入的第8个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】由题意可知，
在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列
设公比为 ，则 ，
故 ，
故 ，
故选：B
例题2．(2023·全国·高三专题练习（文））九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解连环需要的步骤为，，研究发现是等比数列，已知，则（ ）
A．127B．128C．255D．256
答案：C
【详解】由题知，，，又{an+1}是等比数列，
则，，{an+1}是以4为首项，2为公比的等比数列，
即，
，
故选：C
例题3．(2023·江苏·金陵中学高三学业考试）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 ___________；数列的前项和___________.
答案：
【详解】解：由题意可知，第代龙曲线是在将个第代龙曲线的首尾顶点相接，
则，所以，，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，则，
，则，
，
因此，.
故答案为：；.
同类题型归类练
1．(2023·江苏南通·高二期末）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲､乙､丙､丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲､乙､丙､丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲､丙所得之和为石，则“衰分比”为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，
又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，
已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，
则，，
解得：，，
故选：A
2．（多选）(2023·福建省同安第一中学高二阶段练习）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C．D．
答案：BD
【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列，
，即.
所以BD选项正确.
故选：BD
3．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.
答案：
【详解】由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍，
则周长之间的关系为，
所以{}是公比为的等比数列，而首项，所以，
当时，“雪花”状多边形的周长为.
故答案为：
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
答案：C
【详解】设的公比为q，则，
解得，所以，
故选：C．
2．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，
因为，则，，可得，
由已知、，所以，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
3．(2023·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列为等比数列，，，则______.
答案：6
【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，
由题意可得即，
易得，所以两式相除，解得，
将代入可得，所以，
故答案为：6
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）.用上面的方法可以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案……，若最大的三角形边长为2，则操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为___________，挖去的面积为___________.
答案： ##
【详解】观察图中黑色三角形以及白色三角形的个数，
设白色三角形个数为，黑色三角形个数为，
可以知道 ，，，，
故 ，则，
即操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为40；
由题意可知，设图中黑色三角形面积为 ，则，
每次挖去的白色三角形面积都是上一个图形中对应的黑色三角形面积的，
故每次操作后图中剩余黑色三角形的面积都是上一个图中黑色部分面积的，
故图中黑色三角形面积构成首项为 ，公比为的等比数列，
故操作4次后得到的第5个图案中黑色三角形面积为 ，
则挖去的面积为，
故答案为：40；
5．(2023·江苏南通·模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．
① ② ③ ④
若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．
答案：
【详解】第一个三角形面积，
第二个图形在第一个基础上多了三个小正三角形，
故．
记第n个图形为，三角形边长为，边数，周长，
有条边，边长；有条边，边长；有条边，
边长
，即，，
周长．故答案为：；
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