高考数学微专题集专题5：构造函数解不等式(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题5：构造函数解不等式(原卷版+解析)，共20页。

（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
例1．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】构造函数，该函数的定义域为，
由于函数为奇函数，则，
所以，函数为偶函数.
当时，，所以，函数在上为减函数，
由于函数为偶函数，则函数在上为增函数.
，则且，所以，.
不等式等价于或，解得或.
因此，不等式的解集为.
故选：C.
例2．定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】令，，，
所以，，
，所以，函数为上的奇函数，
，
当时，，即，，
所以，在上单调递增，
由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，函数在上单调递增.
对于A选项，，则，即，A选项错误；
对于B选项，，，即，B选项正确；
对于C选项，，，即，C选项错误；
对于D选项，，，即，D选项错误.
故选：B.
【点睛】本题的解题关键在于利用导数不等式的结构构造函数，充分分析该函数的奇偶性与单调性，结合单调性来比较函数值的大小关系.
【针对训练】
1．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
考法二：构造函数解不等式恒成立（有解）问题
[规律方法] 对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点.
例3．已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.
设函数，则，
当时，，函数在上单调递增，可得当时，，
所以当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.
设函数，则当时，
因为，所以由对任意的，恒成立，
可得，即，解得或，即实数的取值范围是.
例4．已知函数，若的解集为，且中只有两个整数，则（ ）
A．无最值 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
答案：D
【解析】由，得，设，，，所以在的上单调递增，在单调递减，而的图象是一条恒过点的直线，函数与的图象如图所示，
依题意得，，若中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，则，即，解得，故的最小值为，故选：D.
【点睛】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
【针对训练】
3．已知函数，，在上的最大值为，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【强化训练】
5．函数的定义域是R，，对任意，+<1，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
6．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为
A．B．C．D．
7．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为，图象关于y轴对称，且当时，恒成立，设，则，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数.（为自然对数的底数），.若存在实数，使得，且，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
10．已知函数，若当时，有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
专题5：构造函数解不等式
专题5：构造函数解不等式
专题阐述：对所求不等式加以变形或联想构造函数，是解决复杂不等式的主要思考方式，通过恒等变形将解不等式问题转化为函数性质方面的研究，会起到事半功倍的效果．
考法一： 构造函数解抽象函数不等式
[规律方法] 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
例1．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】构造函数，该函数的定义域为，
由于函数为奇函数，则，
所以，函数为偶函数.
当时，，所以，函数在上为减函数，
由于函数为偶函数，则函数在上为增函数.
，则且，所以，.
不等式等价于或，解得或.
因此，不等式的解集为.
故选：C.
例2．定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】令，，，
所以，，
，所以，函数为上的奇函数，
，
当时，，即，，
所以，在上单调递增，
由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，函数在上单调递增.
对于A选项，，则，即，A选项错误；
对于B选项，，，即，B选项正确；
对于C选项，，，即，C选项错误；
对于D选项，，，即，D选项错误.
故选：B.
【点睛】本题的解题关键在于利用导数不等式的结构构造函数，充分分析该函数的奇偶性与单调性，结合单调性来比较函数值的大小关系.
【针对训练】
1．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
考法二：构造函数解不等式恒成立（有解）问题
[规律方法] 对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点.
例3．已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.
设函数，则，
当时，，函数在上单调递增，可得当时，，
所以当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.
设函数，则当时，
因为，所以由对任意的，恒成立，
可得，即，解得或，即实数的取值范围是.
例4．已知函数，若的解集为，且中只有两个整数，则（ ）
A．无最值 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
答案：D
【解析】由，得，设，，，所以在的上单调递增，在单调递减，而的图象是一条恒过点的直线，函数与的图象如图所示，
依题意得，，若中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，则，即，解得，故的最小值为，故选：D.
【点睛】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
【针对训练】
3．已知函数，，在上的最大值为，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【强化训练】
5．函数的定义域是R，，对任意，+<1，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
6．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为
A．B．C．D．
7．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为，图象关于y轴对称，且当时，恒成立，设，则，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数.（为自然对数的底数），.若存在实数，使得，且，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
10．已知函数，若当时，有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
参考答案：
1．B
【解析】引入，得是奇函数，由导数得在上的单调性，从而得在上的单调性，不等式转化为，由单调性可得解．
【详解】∵且，∴是奇函数，
设，则时，，∴在是减函数．
又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，
从而在上是减函数，
不等式为，即，∴．
故选：B．
【点睛】本题考查用导数确定函数的单调性解不等式，解题关键是引入新函数，然后由已知条件确定奇偶性，单调性．引入的新函数可根据要求的式的形式变换，可根据条件结合导数的运算法则确定．
2．A
【解析】令，得到是定义在上的奇函数，且在上是增函数，结合单调性，即可求解.
【详解】令，由是定义在上的偶函数，
可得是定义在上的奇函数，
又因为时，，
所以在上是增函数，所以是定义在上的增函数，
又由，所以，
即.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小问题，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
3．C
分析：利用导数求出的值，利用参变量分离法可知在时恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
，所以，在上恒成立，
由知，，由可得，
所以，在时恒成立，
令，，则，
所以，函数在上为增函数，故，故.
故选：C.
4．B
【解析】不等式有唯一整数解，即不等式有唯一整数解，设，，求出的单调区间，作出其大致图像，恒过定点，数形结合可得答案.
【详解】设，，
，由，解得，由解得
所以在上单调递减，在上单调递增.
又当 ，且，又，则的大致图象如下
由题意由不等式有唯一整数解，即不等式有唯一整数解
即在直线下方的部分，
故，恒过定点，
结合函数图像得，即，
故选：B．
【点睛】本题考查根不等式的解集中整数的个数求参数范围的问题，解答本题的关键的根据题意转化为不等式有唯一整数解，即在直线下方的部分中唯一整数，
讨论出的单调区间，得出其大致图象，属于中档题.
5．B
分析：构造函数，结合条件，求得函数的导数在定义域上恒小于零，即为减函数，从而将不等式转换为，根据单调性求得不等式的解集.
【详解】构造函数，因为，所以为R上的减函数．
又因为，
所以原不等式转化为，即，解得.
故选：B
【点睛】本题主要考查构造函数法解不等式，考查运用函数的导数来求得函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.
6．C
【详解】令 ，则，所以函数在上单调递增，因此不等式等价于 ，选C.
7．B
分析：由题意构造函数，由可得在上恒成立，所以函数在为上单调递减函数，由为偶函数，，可得，故要求不等式的解集等价于的解集，即可得到答案.
【详解】由题意构造函数，则，
定义在上的可导函数的导函数为，满足
在上恒成立，函数在上为单调递减函数；
又为偶函数，则函数 ，即关于对称，
，则，
由于不等式的解集等价于的解集，
根据函数在上为单调递减函数，则，
故答案选B
【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题．
8．B
分析：令，判断函数的奇偶性和单调性，再比较得到，再利用函数的单调性得解.
【详解】解：∵当时，恒成立，∴，∴，
令，∴，∴，∴在上单调递减，
∵，∴，∴为奇函数，在上单调递减．
∵比较，，的大小，
∴，，
∵，∴，
∴，
.
∴，∴，
∴，
即．
故选：B．
9．C
分析：根据可求得，利用得到，将问题转化为，的最大值的求解问题，利用导数求得，从而求得结果.
【详解】，即，又且，
∴，
由，即，整理得：，
令，，则，
和在上均为减函数，
在上单调递减，
，即在上恒成立，
在上单调递减，
，即实数的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得函数最值得到结果.
10．C
分析：设，可将简化，利用参变分离来求解.
【详解】有解，即，设，则，不等式转化成在时有解，则有解，记，则，再令，
则，那么在时递增，所以，于是，在时递增，故，记，，于是有解，只需要.
故选：C
11．B
分析：由得，进而令，易知为偶函数，再结合当时，得函数在上单调递增，由于不等式转化为，进而根据偶函数的性质解即可.
【详解】∵，∴，
令，则，即为偶函数，
当时，
∴，即函数在上单调递增.
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故选：B.
【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性，单调性，解题的关键在于根据已知构造函数，进而将问题转化为，利用的性质求解，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.
12．A
【解析】根据条件变形可知在区间上单调递减，转化恒成立，即可求解.
【详解】不妨设可得
令则在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，
当时，
当时，，
而，
所以在区间上单调递减，则，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题中恒成立，可转化为函数递减是解题的关键，突破此点后，利用导数在区间上恒成立，分离参数就可求解.