高考数学微专题集专题7圆锥曲线之极点与极线微点3圆锥曲线之极点与极线综合训练(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题7圆锥曲线之极点与极线微点3圆锥曲线之极点与极线综合训练(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了已知椭圆的离心率为，短轴长为，已知椭圆C，已知曲线.等内容，欢迎下载使用。

微点3 圆锥曲线之极点与极线综合训练
（2023·内蒙古松山区月考）
1．已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
（2023·泰州期末）
2．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
（2023天津模拟）
3．已知椭圆与轴的交点（点A位于点的上方），为左焦点，原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
（2023滨州一模）
4．已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
（2023·成都模拟）
5．已知椭圆C：经过点，其长半轴长为2.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设经过点的直线与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，求的面积的取值范围.
6．已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明:直线恒过定点.
7．椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.
8．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点．
9．设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积.
（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.
10．已知曲线.
（1）若曲线C表示双曲线，求的范围；
（2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围；
（3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线.
专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点3 圆锥曲线之极点与极线综合训练
专题7 圆锥曲线之极点与极线
微点3 圆锥曲线之极点与极线综合训练
（2023·内蒙古松山区月考）
1．已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
（2023·泰州期末）
2．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
（2023天津模拟）
3．已知椭圆与轴的交点（点A位于点的上方），为左焦点，原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
（2023滨州一模）
4．已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
（2023·成都模拟）
5．已知椭圆C：经过点，其长半轴长为2.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设经过点的直线与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，求的面积的取值范围.
6．已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明:直线恒过定点.
7．椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.
8．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点．
9．设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积.
（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.
10．已知曲线.
（1）若曲线C表示双曲线，求的范围；
（2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围；
（3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线.
参考答案：
1．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）用离心率公式和列方程求得，即可得椭圆方程；
（2）方法一：设直线，，联立椭圆方程，由韦达定理得关系，由直线和方程联立求解交点坐标，并化简得，即可证明问题；
方法二：设，，，两两不等，
因为P，M，N三点共线，由斜率相等得到方程，同理A，M，Q三点共线与B，N，Q三点共线也得到两方程，再结合三条方程求解，即可证明问题.
【详解】解：（1）因为椭圆的离心率，，，
又，．
因为，所以，，
所以椭圆C的方程为．
（2）解法一：设直线，，，
，可得，
所以．
直线AM的方程：①
直线BN的方程：②
由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，
联立①②可得．
因为，
所以
所以点Q在直线上．
解法二：设，，，两两不等，
因为P，M，N三点共线，
所以，
整理得：．
又A，M，Q三点共线，有：①
又B，N，Q三点共线，有②将①与②两式相除得：
即，
将即
代入得：解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故）
所以Q在定直线上．
【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.
2．（1）或；（2）证明见解析.
【解析】（1）设直线的方程为并联立双曲线根据韦达定理可得与关系，结合可得，从而求得值得直线方程；
（2）列出直线与方程，并求点坐标得，故得证.
【详解】解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线
联立方程组，，可得，
则，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直线的方程为或．
（2）直线的方程为，直线的方程为，
直线与的交点为，故，即，
进而得到，又，
故，解得
故点在定直线上．
【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.
3．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）设，原点到直线的距离为，列出方程，即可求解椭圆的离心率；
（2）求出椭圆的方程，联立方程组，通过韦达定理，设，求出的方程，的方程，求出交点坐标，即可推出结果.
【详解】（1）设的坐标为，由面积法有，椭圆的离心率.
（2）若，由(1) 得，椭圆方程为，
联立方程组化简得：，
由，解得：.
由韦达定理得：,,
设，的方程是
，的方程是，
联立化简得，即，
所以直线与直线的交点在定直线上.
4．(1)
(2)恒在直线
分析：（1）设椭圆的标准方程为，由且，求得的值，即可求解；
（2）设直线的方程为，取，得到点在同一直线上，结合结论作出证明：联立方程组求得，设和与交于点和，结合，即可求解.
（1）
解：设椭圆的标准方程为，
根据题意，可得且，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
解：根据题意，可设直线的方程为，
取，可得，
可得直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，可得交点为；
若，由对称性可知交点，
若点在同一直线上，则直线只能为；
以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线上，
由，整理得，
设，则，
设与交于点，由，可得，
设与交于点，由，可得，
因为
，
因为，即与重合，
所以当变化时，点均在直线上，.
5．(1)
(2)
分析：（1）依题意可得，再由椭圆过点，代入椭圆方程，即可求出，即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再表示出的方程，从而求出点坐标，即可得到，令，再根据对勾函数的性质求出面积的取值范围；
(1)
解：由已知得，∴椭圆C的方程为
∵椭圆经过点，
∴，解得
∴椭圆C的方程为
(2)
解：由题意知，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
由，消去得，
∴，，，
∵为点关于轴的对称点，
∴，直线的方程为，
即
令，则
∴，
∴的面积
，
令，则，
∴，又函数在上单调递增，
所以，
∴，
∴的面积的取值范围是
6．（1）；
（2）证明见解析.
分析：（1）根据题意列出方程组，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结设，由椭圆的性质可得出，故而可得，当斜率不存在时，设，解出，当直线斜率存在时，设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出，得出与的关系，代入直线方程即可得定点.
【详解】（1）因为，所以，即椭圆的方程为
（2）连结设则
因为点在椭圆上，所以
因为，所以
当斜率不存在时，设，不妨设在轴上方，
因为，所以
（ii）当斜率存在时，设，
即，所以
因为
所以，即或
当时，，恒过定点，当斜率不存在亦符合:当，，过点与点重合，舍去.
所以直线恒过定点
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b，可得椭圆的方程.
（2）设，，，设过的动直线：，代入椭圆的方程得： ，由韦达定理得：，，再由，，及，，三点共线，化简可得证明点在定直线上.
【详解】（1），由题意，，
所以椭圆的方程.
（2）设，，，过的动直线：，代入椭圆的方程得：
，得：，，
，
分别由，，及，，三点共线，得：，，
两式相除得：
，
得：，即在直线上.
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.
8．（1）；（2）证明见解析．
分析：（1）由，得到，再由点在该椭圆上，求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设的方程为，联立方程组求得，再由的的方程，联立方程组，求得，结合斜率公式，进而得到直线过定点.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，
可得，所以，
又点在该椭圆上，所以，所以，
所以椭圆C的标准方程为
（2）由于的斜率为，设的方程为，
联立方程组，整理得，
所以，所以，
从而，即，
同理可得：由于的斜率为，则，
联立方程组，可得，
即，
所以，所以，
从而，即，
当时即；时，，过点，
当时，，，即，所以直线过点，
综上可得，直线过点.
【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
9．（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】（1）计算得，，代入解方程即可得，故可得椭圆的方程；
（2）设另一焦点为，则轴，计算出点坐标，计算即可；
（3）设点P的坐标为，直线：，与椭圆方程联立，由韦达定理计算得出，同理可得，分，两种情况表示出直线方程，从而确定出定点.
【详解】（1），
，，，解得
即椭圆的方程为.
（2）椭圆的方程为，由题意，设另一焦点为，
设，由线段的中点在y轴上，得轴，所以，
代入椭圆方程得，即
；
（3）证明：由题意，设点P的坐标为，
直线：，与椭圆方程联立
消去得：
由韦达定理得即；
同理；
当，即即时，
直线的方程为；
当时，直线：
化简得，恒过点；
综上所述，直线恒过点.
【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出点的坐标，从而表示出直线，并能通过运算整理成关于的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度.
10．（1）；（2）；（3）见解析
分析：（1）若曲线表示双曲线，则：，解得的范围；（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合，解得，设，，，求出的方程，可得，从而可得，，欲证，，三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明．
【详解】（1）若曲线表示双曲线，则：，
解得：.
（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，
则：，
解得：
（3）当，曲线可化为：，
当时，，
故点坐标为：，，
将直线代入椭圆方程得：，
若与曲线交于不同两点，，
则，解得，
由韦达定理得： ①，
②
设，，，
方程为：，则，
∴，，
欲证，，三点共线，只需证，共线，
即，
将①②代入可得等式成立，则，，三点共线得证．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.