高考数学微专题集专题5：构造函数解不等式(原卷版+解析)

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（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
例1．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】构造函数，该函数的定义域为，
由于函数为奇函数，则，
所以，函数为偶函数.
当时，，所以，函数在上为减函数，
由于函数为偶函数，则函数在上为增函数.
，则且，所以，.
不等式等价于或，解得或.
因此，不等式的解集为.
故选：C.
例2．定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】令，，，
所以，，
，所以，函数为上的奇函数，
，
当时，，即，，
所以，在上单调递增，
由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，函数在上单调递增.
对于A选项，，则，即，A选项错误；
对于B选项，，，即，B选项正确；
对于C选项，，，即，C选项错误；
对于D选项，，，即，D选项错误.
故选：B.
【点睛】本题的解题关键在于利用导数不等式的结构构造函数，充分分析该函数的奇偶性与单调性，结合单调性来比较函数值的大小关系.
【针对训练】
1．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
考法二：构造函数解不等式恒成立（有解）问题
[规律方法] 对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点.
例3．已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.
设函数，则，
当时，，函数在上单调递增，可得当时，，
所以当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.
设函数，则当时，
因为，所以由对任意的，恒成立，
可得，即，解得或，即实数的取值范围是.
例4．已知函数，若的解集为，且中只有两个整数，则（ ）
A．无最值 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
答案：D
【解析】由，得，设，，，所以在的上单调递增，在单调递减，而的图象是一条恒过点的直线，函数与的图象如图所示，
依题意得，，若中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，则，即，解得，故的最小值为，故选：D.
【点睛】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
【针对训练】
3．已知函数，，在上的最大值为，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【强化训练】
5．函数的定义域是R，，对任意，+