高考数学微专题集不动点与函数(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集不动点与函数(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了一次函数的不动点，函数的一阶不动点等内容，欢迎下载使用。

一、一次函数的不动点
设是一个关于x的代数函数（即函数解析式为代数式），称方程的根为的不动点，如果把自变量的值x用数轴上的点（记为）来表示，其对应的函数值也用数轴上的点（记为）来表示（如图）．这样，我们可以把函数看成是给了数轴上的点的一个移动，即把x移动至处．在这个意义下，就表示没有被移动，这个点就称为不动点．
我们知道，一个函数有自己的定义域和值域，若函数有不动点，那么这个点既在的定义域内，又在其值域内，即定义域和值域有公共点．所以，一个函数有不动点的必要条件之一是它的定义域和值域有公共点．如果函数的值域完全包含在定义域内，也就具备了这种必要条件．
定理1：一次函数的不动点为，且
定理2：一次函数的不动点也是的n次迭代函数的不动点，且
证明：
（1）当时，
由定理1可知，不动点，
且，
所以结论成立．
（2）设当时结论成立，即的不动点为，且
则当时，
其不动点
即的不动点亦为，且
所以当时也成立，
综上，对一切，结论正确．
应当指出的是，在一次函数中：
①当时，不动点有无穷多个，也就是说，任何实数都是的不动点，
②当时，函数无不动点，这时函数的n次迭代式不能用不动点来表示，但容易得到，
③当时，，不能再迭代下去．
定义1．对于给定的函数和，若存在一个可逆函数，使得，则称和关于相似，记作，其中称为桥函数．
桥函数相似有如下性质：
①若，则；
②若，则；
③若，则
从上面性质可知，要求一个已知函数的n次迭代，只需找出一个桥函数以及简单函数，确定和可从的不动点来考虑．
若，则，所以，若，则，即是g的不动点，也就是桥函数具有的性质．即它将f的不动点映成g的不动点，通常为了便于求常取，这时的不动点为0或，此时，若有唯一不动点时，则可考虑取（或）．这（或）；若有两个不动点，则可考虑，这时
以下先给出一些较简单的函数的n次迭代式：
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
例1．已知，求
解：的不动点为或，
若，由④即可求得，
若，构造函数（显然以，），
所以
计算，得
因为
所以
例2．若，求
解：函数的不动点为或1，取，则
因为（请读者自算）．
所以（由②迭代式）．
故
例3．已知，求的解析式．
解：因为，
，
易知，
事实上，上述解析式出现了十分有趣的“循环”现象．
即
所以
定义2．若存在最小自然数n，使得对定义域中的一切x均有，则称n为的迭代周期，
二、函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点的关系
相关概念 一阶不动点：对于函数，定义域为I，如果存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点．
根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解不动点：
①从代数的角度，不动点是方程组的解中的；
②从图象的角度，不动点是和图象的交点横坐标；
二阶不动点：对于函数，定义域为I，如果存在，使得，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点．
根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解稳定点：
①从代数的角度，稳定点是方程组的解（这里的可能相等）．显然这两个点都在函数的图象上．当时，A，B两点关于直线对称．
②从图象的角度，稳定点是和图象的交点横坐标以及图象上关于直线对称的两点的横坐标．
二阶周期点：对于函数，定义域为I，如果存在，使得，且，则称为函数的二阶周期点，简称周期点．
根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解周期点：
①从代数的角度，周期点是方程组的解；
②从图象的角度，周期点是图象上关于直线对称的两点的横坐标．
三者的关系 根据上述定义以及分析，我们从两方面来理解三者的关系：
①从集合的角度：设{稳定点}，{不动点}，则{周期点}
因此，不动点一定是稳定点，稳定点不一定是不动点．不动点是稳定点的充分不必要条件．
②从图象的角度：不动点是和图象的交点横坐标；周期点是图象上关于直线对称的两点的横坐标；稳定点是和图象的交点横坐标以及图象上关于直线对称的两点的横坐标．
最后，再给出函数“二阶不动点”的几何解释．由函数不动点的定义可知，函数的一阶不动点，就是方程的解，也就是直线与函数图象交点的横坐标；函数的二阶不动点，就是方程的解，也就是方程组的解．显然，点与都在函数的图象上，且当时，两点关于直线对称当时为函数的一阶不动点，所以函数的二阶不动点就是函数）图象上关于直线对称的两点的横坐标，或直线与函数图象交点的横坐标．
三、二次函数的“不动点”与“稳定点”
对于连续函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．记函数的“不动点”的集合为，“稳定点“的集合为则有：（1）；②若，则
证明：（1）设，则，
则，即，因此
（2）函数“不动点”的几何意义是函数图象与直线交点的横坐标．因为，则函数图象与直线无交点．
①若图象在直线的上方，则恒成立．
则有恒成立，即
②若图象在直线的下方，则恒成立．
则有恒成立，即
综上：若，则
上述结论用文字语言叙述为：函数的“不动点”必为“稳定点”；若函数无“不动点”，则必无“稳定点”．
近年来，有关函数“不动点”与“稳定点”的试题在高考及数学竞赛中时有出现，特别是对于“稳定点”——方程的根，由于方程一般较为复杂，处理起来比较麻烦．
对于二次函数，下面探究它的“不动点”与“稳定点”个数．
方程可化为：
（1）当时，方程无实根，即函数无“不动点”，则无“稳定点”；
（2）当时，方程有两相等实根，即只有一个“不动点”，不妨设为，则，即
则
∵，∴方程只有一个实根，即函数只有一个“稳定点”，且“稳定点”就是“不动点”．
（3）当时，方程有两不相等实根，即有两个“不动点”，不妨设为，则，即
则
记
①当，即，即时，方程无实根，则方程只有两个实根即函数只有两个“稳定点”，且“稳定点”就是“不动点”．
②，即，即时时，方程有两相等实根，不妨设为
又
则，即或，
则或，则方程只有两个实根，即函数只有两个“稳定点”，且“稳定点”就是“不动点”．
③当，即，即时，方程有不相等的实根，不妨设为
又
则，即且，即不是方程的根，即方程有四个实根，即函数有四个“稳定点”．
综上，对于二次函数：
①当时，函数无“不动点”，也无“稳定点”；
②当时，函数有一个“不动点”和一个“稳定点”，且“稳定点”就是“不动点”：
③当时，函数有两个“不动点”和两个“稳定点”，且“稳定点”就是“不动点”；
④当时，函数有两个“不动点”和四个“稳定点”，其中两个“稳定点”就是“不动点”．
四、基本初等函数不动点个数的相关结论
1．若m，n是二次函数的两个不动点，求证：m和n也是四次函数的两个不动点．
2．解方程
3．对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．
4．命题“若定义在上的奇函数图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．
5．已知函数
(1)若函数上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
(2)在（1）的条件下，取的图象上A、两点的横坐标是函数不动点，P为函数图象的另一个点，且其纵坐标大于3，求点P到直线距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．
6．已知函数
(1)当时，求函数的不动点；
(2)若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且A，B两点关于直线对称，求b的最小值．
7．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c （a>0，b，c∈R）．设集合A={x∈R| f（x）=x}，B={x∈R| f（f（x））= f（x）} ，C={x∈R| f（f（x））=0} ．
（Ⅰ）当a=2，A={2}时，求集合B；
（Ⅱ）若，试判断集合C中的元素个数，并说明理由．
8．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
9．已知函数，a为常数且．若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，，试确定a的取值范围．
10．已知函数，且没有实数根，则是否有实数根？证明你的结论．
11．对于任意定义在区间D上的函数，若实数满足，则称为函数在D上的一个不动点．
(1)求函数在上的不动点；
(2)若函数在上没有不动点，求a的取值范围．
12．的定义域是，若，使，则称是的一个不动点．设的不动点数目是有限多个，下述命题是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一个例子说明．
(1)是奇函数，则的不动点数目是奇数；
(2)是偶函数，则的不动点数目是偶数．
13．对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．
14．解方程：．
15．设其中a为常数，，若满足，但，则称为的二阶周期点，若函数有且仅有两个二阶周期点，请求出二阶周期点．
16．已知函数，a为常数且．若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，，试确定a的取值范围．
17．对于函数，若，则称为函数的不动点；若，则称为函数的稳定点．如果函数的稳定点恰是它的不动点，求a的取值范围．
18．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．设函数的不动点（满足）、稳定点（满足）的集合分别为A、B．若，求实数a的取值范围．
20．的定义域是，若，使，则称是的一个不动点．设的不动点数目是有限多个，下述命题是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一个例子说明．
(1)是奇函数，则的不动点数目是奇数；
(2)是偶函数，则的不动点数目是偶数．
21．已知函数，记函数，，，…，，…
(1)求证：如果存在一个实数，满足，那么对一切，都成立；
(2)若实数满足，则称为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；
(3)考察区间，以任意实数，有，，且时，试问是否存在区间，对于区间B内的任意实数x，只要，都有
22．已知函数，且没有实数根，则是否有实数根？证明你的结论．
不动点与函数
不动点与函数
一、一次函数的不动点
设是一个关于x的代数函数（即函数解析式为代数式），称方程的根为的不动点，如果把自变量的值x用数轴上的点（记为）来表示，其对应的函数值也用数轴上的点（记为）来表示（如图）．这样，我们可以把函数看成是给了数轴上的点的一个移动，即把x移动至处．在这个意义下，就表示没有被移动，这个点就称为不动点．
我们知道，一个函数有自己的定义域和值域，若函数有不动点，那么这个点既在的定义域内，又在其值域内，即定义域和值域有公共点．所以，一个函数有不动点的必要条件之一是它的定义域和值域有公共点．如果函数的值域完全包含在定义域内，也就具备了这种必要条件．
定理1：一次函数的不动点为，且
定理2：一次函数的不动点也是的n次迭代函数的不动点，且
证明：
（1）当时，
由定理1可知，不动点，
且，
所以结论成立．
（2）设当时结论成立，即的不动点为，且
则当时，
其不动点
即的不动点亦为，且
所以当时也成立，
综上，对一切，结论正确．
应当指出的是，在一次函数中：
①当时，不动点有无穷多个，也就是说，任何实数都是的不动点，
②当时，函数无不动点，这时函数的n次迭代式不能用不动点来表示，但容易得到，
③当时，，不能再迭代下去．
定义1．对于给定的函数和，若存在一个可逆函数，使得，则称和关于相似，记作，其中称为桥函数．
桥函数相似有如下性质：
①若，则；
②若，则；
③若，则
从上面性质可知，要求一个已知函数的n次迭代，只需找出一个桥函数以及简单函数，确定和可从的不动点来考虑．
若，则，所以，若，则，即是g的不动点，也就是桥函数具有的性质．即它将f的不动点映成g的不动点，通常为了便于求常取，这时的不动点为0或，此时，若有唯一不动点时，则可考虑取（或）．这（或）；若有两个不动点，则可考虑，这时
以下先给出一些较简单的函数的n次迭代式：
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
例1．已知，求
解：的不动点为或，
若，由④即可求得，
若，构造函数（显然以，），
所以
计算，得
因为
所以
例2．若，求
解：函数的不动点为或1，取，则
因为（请读者自算）．
所以（由②迭代式）．
故
例3．已知，求的解析式．
解：因为，
，
易知，
事实上，上述解析式出现了十分有趣的“循环”现象．
即
所以
定义2．若存在最小自然数n，使得对定义域中的一切x均有，则称n为的迭代周期，
二、函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点的关系
相关概念 一阶不动点：对于函数，定义域为I，如果存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点．
根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解不动点：
①从代数的角度，不动点是方程组的解中的；
②从图象的角度，不动点是和图象的交点横坐标；
二阶不动点：对于函数，定义域为I，如果存在，使得，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点．
根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解稳定点：
①从代数的角度，稳定点是方程组的解（这里的可能相等）．显然这两个点都在函数的图象上．当时，A，B两点关于直线对称．
②从图象的角度，稳定点是和图象的交点横坐标以及图象上关于直线对称的两点的横坐标．
二阶周期点：对于函数，定义域为I，如果存在，使得，且，则称为函数的二阶周期点，简称周期点．
根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解周期点：
①从代数的角度，周期点是方程组的解；
②从图象的角度，周期点是图象上关于直线对称的两点的横坐标．
三者的关系 根据上述定义以及分析，我们从两方面来理解三者的关系：
①从集合的角度：设{稳定点}，{不动点}，则{周期点}
因此，不动点一定是稳定点，稳定点不一定是不动点．不动点是稳定点的充分不必要条件．
②从图象的角度：不动点是和图象的交点横坐标；周期点是图象上关于直线对称的两点的横坐标；稳定点是和图象的交点横坐标以及图象上关于直线对称的两点的横坐标．
最后，再给出函数“二阶不动点”的几何解释．由函数不动点的定义可知，函数的一阶不动点，就是方程的解，也就是直线与函数图象交点的横坐标；函数的二阶不动点，就是方程的解，也就是方程组的解．显然，点与都在函数的图象上，且当时，两点关于直线对称当时为函数的一阶不动点，所以函数的二阶不动点就是函数）图象上关于直线对称的两点的横坐标，或直线与函数图象交点的横坐标．
三、二次函数的“不动点”与“稳定点”
对于连续函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．记函数的“不动点”的集合为，“稳定点“的集合为则有：（1）；②若，则
证明：（1）设，则，
则，即，因此
（2）函数“不动点”的几何意义是函数图象与直线交点的横坐标．因为，则函数图象与直线无交点．
①若图象在直线的上方，则恒成立．
则有恒成立，即
②若图象在直线的下方，则恒成立．
则有恒成立，即
综上：若，则
上述结论用文字语言叙述为：函数的“不动点”必为“稳定点”；若函数无“不动点”，则必无“稳定点”．
近年来，有关函数“不动点”与“稳定点”的试题在高考及数学竞赛中时有出现，特别是对于“稳定点”——方程的根，由于方程一般较为复杂，处理起来比较麻烦．
对于二次函数，下面探究它的“不动点”与“稳定点”个数．
方程可化为：
（1）当时，方程无实根，即函数无“不动点”，则无“稳定点”；
（2）当时，方程有两相等实根，即只有一个“不动点”，不妨设为，则，即
则
∵，∴方程只有一个实根，即函数只有一个“稳定点”，且“稳定点”就是“不动点”．
（3）当时，方程有两不相等实根，即有两个“不动点”，不妨设为，则，即
则
记
①当，即，即时，方程无实根，则方程只有两个实根即函数只有两个“稳定点”，且“稳定点”就是“不动点”．
②，即，即时时，方程有两相等实根，不妨设为
又
则，即或，
则或，则方程只有两个实根，即函数只有两个“稳定点”，且“稳定点”就是“不动点”．
③当，即，即时，方程有不相等的实根，不妨设为
又
则，即且，即不是方程的根，即方程有四个实根，即函数有四个“稳定点”．
综上，对于二次函数：
①当时，函数无“不动点”，也无“稳定点”；
②当时，函数有一个“不动点”和一个“稳定点”，且“稳定点”就是“不动点”：
③当时，函数有两个“不动点”和两个“稳定点”，且“稳定点”就是“不动点”；
④当时，函数有两个“不动点”和四个“稳定点”，其中两个“稳定点”就是“不动点”．
四、基本初等函数不动点个数的相关结论
1．若m，n是二次函数的两个不动点，求证：m和n也是四次函数的两个不动点．
2．解方程
3．对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．
4．命题“若定义在上的奇函数图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．
5．已知函数
(1)若函数上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
(2)在（1）的条件下，取的图象上A、两点的横坐标是函数不动点，P为函数图象的另一个点，且其纵坐标大于3，求点P到直线距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．
6．已知函数
(1)当时，求函数的不动点；
(2)若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且A，B两点关于直线对称，求b的最小值．
7．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c （a>0，b，c∈R）．设集合A={x∈R| f（x）=x}，B={x∈R| f（f（x））= f（x）} ，C={x∈R| f（f（x））=0} ．
（Ⅰ）当a=2，A={2}时，求集合B；
（Ⅱ）若，试判断集合C中的元素个数，并说明理由．
8．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
9．已知函数，a为常数且．若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，，试确定a的取值范围．
10．已知函数，且没有实数根，则是否有实数根？证明你的结论．
11．对于任意定义在区间D上的函数，若实数满足，则称为函数在D上的一个不动点．
(1)求函数在上的不动点；
(2)若函数在上没有不动点，求a的取值范围．
12．的定义域是，若，使，则称是的一个不动点．设的不动点数目是有限多个，下述命题是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一个例子说明．
(1)是奇函数，则的不动点数目是奇数；
(2)是偶函数，则的不动点数目是偶数．
13．对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．
14．解方程：．
15．设其中a为常数，，若满足，但，则称为的二阶周期点，若函数有且仅有两个二阶周期点，请求出二阶周期点．
16．已知函数，a为常数且．若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，，试确定a的取值范围．
17．对于函数，若，则称为函数的不动点；若，则称为函数的稳定点．如果函数的稳定点恰是它的不动点，求a的取值范围．
18．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．设函数的不动点（满足）、稳定点（满足）的集合分别为A、B．若，求实数a的取值范围．
20．的定义域是，若，使，则称是的一个不动点．设的不动点数目是有限多个，下述命题是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一个例子说明．
(1)是奇函数，则的不动点数目是奇数；
(2)是偶函数，则的不动点数目是偶数．
21．已知函数，记函数，，，…，，…
(1)求证：如果存在一个实数，满足，那么对一切，都成立；
(2)若实数满足，则称为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；
(3)考察区间，以任意实数，有，，且时，试问是否存在区间，对于区间B内的任意实数x，只要，都有
22．已知函数，且没有实数根，则是否有实数根？证明你的结论．
参考答案：
1．证明见解析
分析：利用不动点的定义证明.
【详解】证明：因为m，n是二次函数的两个不动点，
所以，，
消去b、c，得
则，
∴m，n是的两个不动点．
且的另外不动点由方程给出．
2．
分析：令，转化为求函数的不动点问题求解.
【详解】解：令，则原方程变为，
方程，解得；
又方程，即，
解得
∴所求方程的根为：
3．（1）－1和3.
（2）(0,1)
（3）－
【详解】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，
f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，
∴函数f(x)的不动点为－1和3.
(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0∴a的取值范围为(0,1)．
(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，
则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．
∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，
且A，B在直线y＝x上，
∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．
∴－＝＋⇒b＝－＝－，
利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.
4．正确，证明见解析．
分析：利用新定义“不动点”的性质及奇函数相关知识即可求解.
【详解】证明：因为是奇函数，所以.
又∵，令，则， ∴0是的不动点．
设是奇函数的一个不动点，则
∵，
∴也是函数的一个不动点，且，
这说明奇函数的非零不动点如果存在，则必成对出现．
又根据题设只有有限个不动点，
故函数的不动点数目是奇数个．
5．(1)且
(2)点P到直线距离的最小值为，此时点P的坐标为
分析：（1）由不动点定义列方程，根据两个不动点互为相反数，结合韦达定理可得；
（2）先求不动点，再由点到直线的距离公式结合基本不等式可解.
(1)
设是图象上的不动点，则有，
整理得（*）
根据题意可知方程（*）有两个根，且绝对值相等，符号相反．
故由韦达定理，得
∴，
∴，故a、b应满足且
(2)
在（1）的条件下，当时，
由得函数的两个不动点为，故
设点，因为，即，解出
直线的方程为设点到直线的距离为d，则
当且仅当，即时上式取等号．此时
故点P到直线距离的最小值为，此时点P的坐标为
6．(1)或3
(2)
(3)
分析：（1）根据不动点的定义解方程即可的解；
（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，则方程恒有两个不同的根，则恒成立，从而可得出答案；
（3）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直，找到之间的关系式，整理后利用基本不等式求解可得.
(1)
解：,
解方程，得或,
∴函数的不动点为或3；
(2)
解：∵函数对任意实数b，恒有两个相异不动点，
∴方程恒有两个不同的根，
∴方程对任意的实数b，恒有，
即恒成立，
所以，
∴；
(3)
解：由题意可设，
∵，∴，∴，
又A、B的中点在的图象上，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
故b的最小值为
7．（Ⅰ）B=； （Ⅱ）详见解析．
【详解】试题分析：（Ⅰ） 当a=2，A={2}时,先由此确定的值，再根据f（f（x））= f（x）等价于方程f（x）=2,求出集合B．
（Ⅱ）思路一：由及a>0，得方程f（x）=0有两个不等的实根，记为，利用配方法说明，从而方程与各有两个不相等的实根，集合C中的元素有4个．
思路之二：先考虑方程f（x）=0，即ax2+bx+c=0．证明方程有两个不等的实根x1，x2，再由方程f（f（x））=0等价于方程f（x）= x1或f（x）= x2．分别考虑方程f（x）= x1、方程的判别式，以说明它们各有两个不等的实根且互不相同，从而集合C中的元素有4个．
试题解析：解：（Ⅰ）由a=2，A={2}，得方程f（x）=x有且只有一根2，∴，
即．
由韦达定理可得方程①的另一根为，故集合B=．
（Ⅱ）法一：由及a>0，得方程f（x）=0有两个不等的实根，记为，
且有．从而可设，
∴．
由，得，又a>0，
∴，
∴方程也有两个不等的实根．
另一方面，，∴方程也有两个不等的实根．
由是方程f（x）=0的两个不等实根，知方程f（f（x））=0等价于或．
另外，由于，可知方程与不会有相同的实根．
综上，集合C中的元素有4个．
法二：先考虑方程f（x）=0，即ax2+bx+c=0．
由及，得，得
，所以，方程有两个不等的实根，
记为x1，x2，其中．
由x1，x2是方程f（x）=0的两个不等实根，知方程f（f（x））=0等价于方程f（x）= x1或f（x）= x2．
考虑方程f（x）= x1的判别式
．
当，即时，显然有；
当，即时，由，得
所以，；
总之，无论取何值，都有，从而方程有2个不等的实根．
考虑方程的判别式．
由，得，
从而有，
所以，方程也有2个不等的实根．
另外，由于，可知方程与不会有相同的实根．
综上，集合C中的元素有4个．
考点：1、一元二次函数；2、集合的概念；3、函数的零点与方程的根．
8．A
分析：由题可得，再利用函数的单调性即求.
【详解】显然为增函数，
于是等价于，即，
又，故，
从而，令，
则，
令，则，
可知当时，单调递减，当时，单调递增，
从而，
故在上单调递增，
从而.
故选：A．
9．
分析：首先函数写成分段函数的形式，分，和三种情况求解，根据函数的二阶周期点，求实数的取值范围.
【详解】
当时，
由可解得，而，故不是二阶周期点，
所以不合题意．
当时，
由得解集为，而当时，恒成立，故不合题意．
当时，
由解得或或或
又，
所以恰有两个二阶周期点．
综上，a的取值范围是
10．不存在实数根；证明见解析．
分析：由题意化简，从而化为解方程；再由判别式判断即可．
【详解】解： 没有实数根，
证明如下，
，
∵没有实数根，
∴，且；
即，
所以,
所以，
∴一定没有实数根．
11．(1)1
(2)
分析：（1）解方程，求得其在上的根即可；
（2）先求出在上有解时的a的取值范围，其反面即为函数在上没有不动点时a的范围.
(1)
设是在上的不动点，
则，解得，
即1是在上的不动点．
(2)
设在上有解，
则在上有解，∴，∴或
当时，方程的两根都是负数；
当时，方程的两根都是正数．
因此，当且仅当时，在上有不动点．
于是，在上没有不动点时，
12．(1)正确，证明见解析
(2)错误，答案见解析
分析：（1）分析出是的一个不动点，再利用奇函数的性质分析可知的非零不动点如果存在，则必以互为相反数的形式成对出现，即可证得结论成立；
（2）取特例，利用不动点的定义求出函数的不动点个数，即可得出结论.
(1)
证明：正确，证明如下：
是定义在上的奇函数，则，即，
因此，是的一个不动点．
假设是的不动点，则由定义知，
因为为奇函数，所以，从而也是的不动点．
又因为，所以的非零不动点如果存在，则必以互为相反数的形式成对出现．
又根据题设，只有有限个不动点，因此的不动点数目为奇数．
(2)
解：不正确．
例如：是偶函数，因为，所以是的一个不动点．
设是的不动点，则，又，所以，
因此有且只有一个不动点，故命题不正确．
13．（1）－1和3.
（2）(0,1)
（3）－
【详解】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，
f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，
∴函数f(x)的不动点为－1和3.
(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0∴a的取值范围为(0,1)．
(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，
则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．
∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，
且A，B在直线y＝x上，
∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．
∴－＝＋⇒b＝－＝－，
利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.
14．原方程的4个根分别为
分析：将方程变形为设，令，求出的两个不动点，进而根据综合除法求出结果.
【详解】将方程变形为设，令，可得，
求出的两个不动点为和显然，这两个不动点也是的两个不动点，故是原方程的两个根．
根据综合除法，可得由可得或，
所以原方程的4个根分别为
15．和
分析：根据的二阶周期点的定义，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，函数，若满足，但，
设函数的二阶周期点为，
不妨设，由二阶周期点的性质可知，不能属于同一个单调区间，
因此必有，
因为为函数二阶周期点，可得，即，
解得，
所以函数的二阶周期点为和
16．
分析：首先函数写成分段函数的形式，分，和三种情况求解，根据函数的二阶周期点，求实数的取值范围.
【详解】
当时，
由可解得，而，故不是二阶周期点，
所以不合题意．
当时，
由得解集为，而当时，恒成立，故不合题意．
当时，
由解得或或或
又，
所以恰有两个二阶周期点．
综上，a的取值范围是
17．
分析：根据函数的稳定点恰是它的不动点说明函数有不动点没有周期点，建立不等式与方程求解即可.
【详解】由已知有解，即二次方程有解．
令，解得，
又函数没有二阶周期点，所以方程无解．
由两式相减得，
再代入其中一个表达式，得
因为该方程为二次方程，它无解或有两个相等实根，则，解得
综上
【点睛】关键点点睛：本题条件为稳定点恰好是周期点，说明不存在周期点，因此利用周期点的代数条件或者几何意义来的反面来做．
18．D
分析：函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以有解，但方程组无解，然后利用判别式即得.
【详解】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，
所以有解，但方程组无解，
由，得有解，
所以，解得
由得
两式相减，得，
因为，所以，
消去，得，
因为方程无解或仅有两个相等的实根，
所以，解得，
故a的取值范围是
故选：D.
19．
分析：根据函数的不动点、稳定点的定义结合题意分别求出集合A、B，
再结合结合即可求解.
【详解】由题意可知，， ，
由，得，
当时，则集合，满足题设要求．
当时，当时，方程有解，
对方程根的情况进行分类讨论
若方程有两个不相等的实数根，则
，解得，
此时两个方程没有公共解，集合中有四个元素，不合题意，舍去.
若方程有两个相等的实数根，则
，解得
此时方程的两根分别为，
方程的根为.
验证得
若方程无实数根，此时，则
，解得且
综上所述，实数a的取值范围为.
20．(1)正确，证明见解析
(2)错误，答案见解析
分析：（1）分析出是的一个不动点，再利用奇函数的性质分析可知的非零不动点如果存在，则必以互为相反数的形式成对出现，即可证得结论成立；
（2）取特例，利用不动点的定义求出函数的不动点个数，即可得出结论.
(1)
证明：正确，证明如下：
是定义在上的奇函数，则，即，
因此，是的一个不动点．
假设是的不动点，则由定义知，
因为为奇函数，所以，从而也是的不动点．
又因为，所以的非零不动点如果存在，则必以互为相反数的形式成对出现．
又根据题设，只有有限个不动点，因此的不动点数目为奇数．
(2)
解：不正确．
例如：是偶函数，因为，所以是的一个不动点．
设是的不动点，则，又，所以，
因此有且只有一个不动点，故命题不正确．
21．(1)证明见解析
(2)稳定不动点为0和
(3)存在区间或
分析：（1）用数学归纳法可证明.
（2）由题意稳定不动点只需满足从而可得答案.
（3）要使对一切，都有，必须有或由或，从而得出答案.
(1)
当时，是已知条件，结论成立．
假设当时，结论成立，即，
则，
所以对一切，若，则
(2)
由（1）知，稳定不动点只需满足
而，即
解得或，所以稳定不动点为0和
(3)
由，即，即 或
所以，
或，
要使对一切，都有，
必须有或
而或，
，即，解得
故存在区间或，对于B内的任意实数x，只要，都有
22．不存在实数根；证明见解析．
分析：由题意化简，从而化为解方程；再由判别式判断即可．
【详解】解： 没有实数根，
证明如下，
，
∵没有实数根，
∴，且；
即，
所以,
所以，
∴一定没有实数根．