高考数学微专题集专题2：三次函数图象与性质(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题2：三次函数图象与性质(原卷版+解析)，共27页。

例1．已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】由，得到，
因为函数在上是单调函数，
所以在恒成立，
则，
所以实数a的取值范围是：．
故选：B．
例2．已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
答案：D
【解析】由，可得，（m＞0）
令，解得，即函数（m＞0）的单调递减区间为，
∴，
∴，即m的最大值为6.
故选：D
【点睛】本题在解析式中含参，指定区间也含参，解决的途径为用参数m表达函数的单调递减区间，可得区间长度表示，结合已知，解得m的取值范围.
【针对训练】
1．如果函数在区间内为减函数，在上为增函数，则实数的取值范围是．
A．B．
C．D．或
2．已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考法二：三次函数的极值（最值）
[规律方法] ①利用导数刻画函数的单调性，确定函数的极值；②通过分类讨论，结合图象，实现函数的极值与零点问题的转化.
例3．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】∵函数，∴，
若函数在区间上有极值点，
则在区间内有零点
由可得
∵，∴，
当a＝2时，函数的导函数等于零时值只有1，可是两边的单调性相同，所以a不能等于2．
故选：C．
例4． (多选题)已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（ ）
A. 0 B. 4 C. D.
答案：AB
【解析】，令，解得或.
①当时，可知在上单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.故A正确.
②当时，可知在上单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.故B正确.
③当时，可知在的最小值为，最大值为b或或，，则，与矛盾.若，，则或或，与矛盾.故C､D错误.故选：AB
【点睛】本题难点在于分，，三种情况讨论函数在区间的最小值和最大值，通过建立最大、最小值的表达式，联立，从而解得参数a的值.
例5．已知函数，，若存在唯一的正整数，使得，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】函数的导数，
由得或，此时为增函数，由得，此时函数为减函数，
即当x＝0时，函数取得极大值，当x＝2时函数取得极小值，
当时，不满足条件．
当时，，，，
若存在唯一的正整数，使得，则唯一的正整数，
则满足，即，得，得，
则实数m的取值范围是，故选：C．
【针对训练】
3．已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．函数在上无极值，则m＝______．
5．设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
考法三：运用三次函数的图象研究零点问题
[规律方法] 遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.
例6．已知函数，则方程实根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：C
【解析】由，得，得或，
则问题转化为求函数的图象与直线和的交点的个数，
当时，，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的图象如图：
由图可知，原方程实根的个数为4.
故选：C
【点睛】本题解决的关键是将因式分解后，将问题转化为求函数的图象与直线和的交点的个数问题，结合解析函数的单调区间及函数图象，可给出直观判断.
例7. 已知函数若函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
答案：
【解析】：函数恰有2个不同的零点，即方程恰有2个不相等的根，亦即方程（Ⅰ）和（Ⅱ）共有2个不相等的根.
首先（Ⅰ）中，即，若，则都是方程的根，不符合题意，所以，因此（Ⅰ）中由解得，下面分情况讨论
（1）若是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足，即，此时方程（Ⅱ）必须再有唯一的一个根，即有唯一根，因为，由，得必须有满足的唯一根，首先，其次解得的负根需满足，从而解得，
（2）若不是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足，即，此时方程（Ⅱ）必须有两个不相等的根，即有两个不相等的根，由，得适合，另外还有必须一满足的非零实根，首先，解得的正根需满足，从而解得，但前面已经指出，故，
综合（1）、（2），得实数的取值范围为.
[针对训练]
6．已知函数，若存在异于a的实数m，，使得，则b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的两个极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为､，且.
（1）证明：函数有三个零点；
（2）当时，对任意的实数a，总是函数的最小值，求整数m的最小值.
【强化训练】
8．若在x=1处取得极大值10，则的值为（ ）
A．或B．或C．D．
9．已知t和是函数的零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A．1B．4C．D．
10．已知函数，若不等式的解集为且，则函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数则下列命题正确的有：___________.
①若有两个极值点，则或
②若有极小值点，则
③若有极大值点，则
④使连续的a有3个取值
13．若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
14．设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
15．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_____．
专题2：三次函数图象与性质
专题2：三次函数图象与性质
专题阐述： 三次函数经常被用来考查学生对导数应用的掌握程度及基本技巧掌握的工具函数，它具有简约化及直观化的特点，是研究其它复杂函数性质的门槛，对构造复杂函数及性质的应用有着不可小觑的作用，研究三次函数的图象与性质一般从函数的单调性、极值（最值）、零点等这几个方面考虑.
考法一： 三次函数的单调性问题
[规律方法] 研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究，其中应特别注意含参的讨论.通常考法为含参函数在指定区间（或定义域）内单调或不单调，求参数范围.
例1．已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】由，得到，
因为函数在上是单调函数，
所以在恒成立，
则，
所以实数a的取值范围是：．
故选：B．
例2．已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
答案：D
【解析】由，可得，（m＞0）
令，解得，即函数（m＞0）的单调递减区间为，
∴，
∴，即m的最大值为6.
故选：D
【点睛】本题在解析式中含参，指定区间也含参，解决的途径为用参数m表达函数的单调递减区间，可得区间长度表示，结合已知，解得m的取值范围.
【针对训练】
1．如果函数在区间内为减函数，在上为增函数，则实数的取值范围是．
A．B．
C．D．或
2．已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考法二：三次函数的极值（最值）
[规律方法] ①利用导数刻画函数的单调性，确定函数的极值；②通过分类讨论，结合图象，实现函数的极值与零点问题的转化.
例3．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】∵函数，∴，
若函数在区间上有极值点，
则在区间内有零点
由可得
∵，∴，
当a＝2时，函数的导函数等于零时值只有1，可是两边的单调性相同，所以a不能等于2．
故选：C．
例4． (多选题)已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（ ）
A. 0 B. 4 C. D.
答案：AB
【解析】，令，解得或.
①当时，可知在上单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.故A正确.
②当时，可知在上单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.故B正确.
③当时，可知在的最小值为，最大值为b或或，，则，与矛盾.若，，则或或，与矛盾.故C､D错误.故选：AB
【点睛】本题难点在于分，，三种情况讨论函数在区间的最小值和最大值，通过建立最大、最小值的表达式，联立，从而解得参数a的值.
例5．已知函数，，若存在唯一的正整数，使得，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】函数的导数，
由得或，此时为增函数，由得，此时函数为减函数，
即当x＝0时，函数取得极大值，当x＝2时函数取得极小值，
当时，不满足条件．
当时，，，，
若存在唯一的正整数，使得，则唯一的正整数，
则满足，即，得，得，
则实数m的取值范围是，故选：C．
【针对训练】
3．已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．函数在上无极值，则m＝______．
5．设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
考法三：运用三次函数的图象研究零点问题
[规律方法] 遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.
例6．已知函数，则方程实根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：C
【解析】由，得，得或，
则问题转化为求函数的图象与直线和的交点的个数，
当时，，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的图象如图：
由图可知，原方程实根的个数为4.
故选：C
【点睛】本题解决的关键是将因式分解后，将问题转化为求函数的图象与直线和的交点的个数问题，结合解析函数的单调区间及函数图象，可给出直观判断.
例7. 已知函数若函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
答案：
【解析】：函数恰有2个不同的零点，即方程恰有2个不相等的根，亦即方程（Ⅰ）和（Ⅱ）共有2个不相等的根.
首先（Ⅰ）中，即，若，则都是方程的根，不符合题意，所以，因此（Ⅰ）中由解得，下面分情况讨论
（1）若是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足，即，此时方程（Ⅱ）必须再有唯一的一个根，即有唯一根，因为，由，得必须有满足的唯一根，首先，其次解得的负根需满足，从而解得，
（2）若不是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足，即，此时方程（Ⅱ）必须有两个不相等的根，即有两个不相等的根，由，得适合，另外还有必须一满足的非零实根，首先，解得的正根需满足，从而解得，但前面已经指出，故，
综合（1）、（2），得实数的取值范围为.
[针对训练]
6．已知函数，若存在异于a的实数m，，使得，则b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的两个极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为､，且.
（1）证明：函数有三个零点；
（2）当时，对任意的实数a，总是函数的最小值，求整数m的最小值.
【强化训练】
8．若在x=1处取得极大值10，则的值为（ ）
A．或B．或C．D．
9．已知t和是函数的零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A．1B．4C．D．
10．已知函数，若不等式的解集为且，则函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数则下列命题正确的有：___________.
①若有两个极值点，则或
②若有极小值点，则
③若有极大值点，则
④使连续的a有3个取值
13．若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
14．设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
15．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_____．
参考答案：
1．B
【详解】注意到.
依题意知，当时，；
当时，.
因此，，.解得.
故答案为B
2．D
分析：把题意转化为在内应有异号实数根，利用零点存在定理列不等式即可求得.
【详解】∵，∴
∵函数在区间上不是单调函数
∴在区间上有根
∴当a＝0时，x＝－1不满足条件
当时，∵，∴，
∴.
故选：D．
3．C
分析：把题意转化为在内应有两个不同的异号实数根，利用零点存在定理列不等式组即可求得.
【详解】函数，导函数.
因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．
，解得：，实数a的取值范围.
故选：C．
4．3
分析：把题意转化为在上恒有，对m分类讨论，求出m的范围.
【详解】函数在上无极值即导函数在上无根．
在上恒有 ①；
而，
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．
故答案为：3．
5．C
分析：设在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可.
【详解】由，得
设
或；
则函数在上递减，在和上递增
当时，有极小值，函数恒过定点
则这两个函数图象如图：
要使存在唯一的正整数，使得，只要
即，解得
故选C
【点睛】该题考查的是有关零点存在性定理的应用，在解题的过程中，要正确理解零点存在性定理的内容，会利用其得到相关的不等式组，并且结合图形来研究.
6．A
分析：由题可得是方程的两个不等实根，整理可得，则可得是方程的两个不等实根，利用判别式可得，即.
【详解】，且两两不相等，
，即是方程的两个不等实根，
，
，是方程的两个不等实根，
，即，
，，
方程最多两个根，所以不可能是该方程的根，
即存在a满足，显然成立；
综上，.
故选：A.
【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将题目转化为是方程的两个不等实根，进而得出是方程的两个不等实根，且存在不是该方程的根.
7．（1）证明见解析；（2）最小值为.
【解析】（1）由以及方程的判别式大于0可知有3个零点；
（2）利用导数可得在，上单调递增，在上单调递减，当时，令，求出该方程的另一个根的最大值为，根据三次函数的图象可得结果.
【详解】（1）因为函数的两个极值点分别为､，且.
所以有两个不等的实根，，
所以，所以，
令，得或，
由可知，
所以有两个不等的非零实根，
函数有三个零点.
（2）根据的两个极值点分别为､，且，可得的两根为，且，
根据二次函数知识可知当或时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当时，令
，
所以有一根为，设另一根为，
，，又，即，
所以
，
依题意根据三次函数的图象可得恒成立，而的最大值为，
所以，，
，整数m的最小值为.
【点睛】关键点点睛：第二问的解题关键是找到与的函数值相等的自变量的最大值.
8．C
分析：由于，依题意知，，，于是有，代入f（1）=10即可求得，从而可得答案．
【详解】∵，∴，
又在x=1处取得极大值10，
∴，，
∴，
∴或．
当时，，
当＜x＜1时，，当x＞1时，，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当时，，
当x＜1时，，当＜x＜3时，，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；则，
故选C．
【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，求得，利用，f（1）=10求得是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．
9．B
分析：根据给定条件，结合三次函数的特点可得，再借助导数求出极大值作答.
【详解】因函数在处取得极小值0，又t是函数的另一零点，因此函数只有两个零点，
从而有，求导得：，
当或时，，当时，，
于是，在处取得极小值，在处取得极大值，
所以的极大值为4.
故选：B
10．C
分析：分析可得，且，对比可求得、的值，可得出函数的解析式，求出，解不等式可得出函数的单调递减区间.
【详解】不等式的解集为且，如下图所示：
所以，，且，
即，
所以，，解得，则，
所以，，由，解得，
因此，函数的单调递减区间为.
故选：C.
11．D
分析：求导，由单调性得到在上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m的取值范围.
【详解】，
因为在上为单调递增函数，
所以在上恒成立，
令，
要满足①，或②，
由①得：，由②得：，
综上：实数m的取值范围是.
故选：D
12．③④
分析：同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
①若有两个极值点，则或，故错误；
②当时，是的极小值点，故错误；
③若有极大值点，由图象知：，故正确；
④使连续的a有3个取值-1,0,1故正确；
故答案为：③④
13．(4，5)
分析：由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围.
【详解】解：函数，，
若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，
由得，
令，，，
在递减，在递增，而，，，
所以.
故答案为：.
14．
【详解】试题分析：因为,故得不等式,即,
由于,令得方程,因 , 故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数的到函数，令考虑判别式大于零，根据韦达定理求出的值，代入不等式，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实数的取值范围.
15．
分析：由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．
【详解】由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），
故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，
在（﹣2，0）上是减函数，
作其图象如图，
令x3+x2得，
x＝0或x＝﹣3；
则结合图象可知，
；
解得，a∈[﹣3，0）；
故选C．
【点睛】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．