专题5 构造函数证明不等式（原卷版）+（解析版）

专题5 构造函数证明不等式

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的．

二、解题秘籍

(一) 把证明转化为证明

此类问题一般是有最小值且比较容易求,或者有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围

【例1】（2022届贵州省贵阳市高三摸底考试）已知函数,．

（1）当时,求函数的单调区间和极值；

（2）证明：对任意,都有．

【分析】（1）由,得到,

,再利用导数确定在区间单调递减,在区间单调递增,函数有极小值为,无极大值；

（2）先利用导数法得到,,然后将对任意,都有,转化为证明,,即证明,.令,,只需证,,由在单调递增,可得

 (二) 把证明 转化为证明

此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式.

【例2】已知函数,曲线在点处的切线与直线垂直．

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）求证：当时,．

【分析】（1）由题意可得,得,由得在上单调递减,在上单调递增；,无极大值．

（2）令,,,即在上单调递减,

,故

∴当时,．

(三) 把证明 转化为证明

有时候把证明 转化为证明后,可能会出现的导函数很复杂,很难根据导函数研究的最值,而的最小值及的最大值都比较容易求,可考虑利用证明的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为未必有.

【例3】已知函数.

（1）函数,求的单调区间和极值.

（2）求证：对于,总有.

【分析】（1）解：,在上单调递减,在和上单调递增；

故有一个极小值,无极大值．

（2）要证成立,只需证成立,即证成立,

令,则,在上单调递增,在上单调递减,

,,,故,即．

(四) 把证明转化为证明

若直接证明比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如构造一个中间函数,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数,再通过证明来证明原不等式.

【例4】（2021届江苏省常州市高三下学期4月月考）已知函数.

（1）当时,求的最小值；

（2）若对任意恒有不等式成立,证明：.

【分析】（1）,令,解得,令,在上为增函数,且,得到有唯一实根,得到,在上为减函数,在上为增函数,.

（2）当时,单调递增,不适合题意；当时,由（1）知,

设,时,,单调递增；时,,单调递减,

所以,即.由恒成立,所以,所以,

因此只需证：,因为,只需证,即,

当时,结论成立,当时,设,,

当时,显然单调递增.,故单调递减,

,即.

 (五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式

此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有：

①去分母,把分数不等式转化为整式不等式；

②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；

③两边同时除以,此方法适用于以下两类问题：

(i)不等式为类型,且的符号确定；

(ii)不等式中含有,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑此法.

【例5】（2022届江苏省南京师大附中高三上学期检测）已知函数．

（1）当时,求的单调区间；

（2）当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围；

（3）若,证明：．

【分析】（1）由题意可知,当时,,,,在上单调递减,在上单调递增．

（2）,令,则,

①当,即时,在上,,即单调递增,

所以,即,在上为增函数,,

时满足条件．

②当时,令,

解得,在上,,单调递减,

当时,有,即,则在上为减函数,,不合题意．综上,实数的取值范围为．

（3）由（2）得,当且时,,即,

要证不等式,只需证明,

只需证明,只需证,

设,则,

所以当时,恒成立,故在上单调递增,

又．恒成立,原不等式成立．

(六) 通过减元法构造函数证明不等式

对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数.

【例6】（2022届广东省广州市省四校2022届高三上学期8月联考）已知函数.

（1）若函数为增函数,求实数的取值范围；

（2）设有两个不同零点,.

（i）证明：；

（ii）若,证明：.

【分析】（1）函数是上的增函数∵的定义域为,

,故.

（2）（i）,由有两个不同零点,,即方程的两个根为,,不妨设,则,则,要证：,只需证,整理的得,令,,,在为增函数,∴

（ii）由,则,再根据,得,整理得,令,,

在为增函数,.所以,即,即,所以.

 (七) 与数列前n项和有关的不等式的证明

此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3,,n代换,然后用叠加法证明.

【例7】已知函数.

（1）若,且,求的值；

（2）证明：.

【分析】（1）由题意知,

当时,,所以在上递减,又,所以不符合题意；

当时, 在上递减,上递增,,令,

,而,所以.

（2）证明：由（1）知,当时,,

所以,

令,则,即,

所以,,…,,

累加得

,又,所以,

所以,.

三、典例展示

【例1】（2022届江西省智学联盟体高三上学期第一次联考）已知函数有两个极值点x1,x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）证明：x1x2＜4．

【解析】（1）有两个极值点x1,x2,

在有两不等实根,

,记,

,

单调递减,

单调递增,

最小值

因为在有两根,

所以；

（2）由（1）,

,,

要证x1x2＜4,只需证明：即可,不妨设,则

即证,

即证,只需证明,令,

记函数

,

所以单调递减,

,所以成立,

同理可证当时结论成立,

所以原命题x1x2＜4得证.

【例2】（2022届河南省高三入学考试）已知函数．

（1）当时,求曲线在处的切线方程．

（2）证明：当时,对一切,都有成立．

【解析】（1）解：,,

,则,

所以曲线在处的切线方程为．

（2）证明：因为,所以,

又,所以,

设,

所以,

所以函数在上单调递减,所以

所以．

令,,．

当时,,单调递增；

当时,,单调递减．

所以．

所以,

所以,

所以

所以,当时,对一切,都有．

【例3】（2022届重庆市南开中学高三上学期7月考试）已知函数,.

（1）当时,讨论函数的单调性；

（2）当时,求证：.

【解析】（1）,其定义域为,

,当时,或,

①当,即时,时,；,时；时,,

所以在单调递增,在单调递减,在单调递增；

②当,即时,时,；

所以在单调递增；

③当,时,时,；时,；时,,

所以在单调递增,在单调递减,在单调递增；

④当,即时,时,；时, ,

所以在单调递减,在单调递增.

（2）原式等价于,

∵,∴只需证,

即证明,

而,记,则,

∴在单调递减,又,,

故存在,使得,即,

,

记在上单调递减,,

故只需证：,即

∵,∴在上单调增,成立,

∴原不等式成立.

【例4】已知函数.

（1）若恒成立,求实数的取值范围；

（2）求证：.

【解析】（1）,

,,为增函数,（1）,

不恒成立,

,,,,,

在递增,在,递减,

,；

（2）证明：,,

,即,设,,

,令,解得：,令,解得：,

故在递增,在递减,故（e）,

而,故在递增,故,

故,所以.

【例5】已知函数.

（1）当时,求的单调区间；

（2）①若恒成立,求的值；

②求证：对任意正整数,都有(其中为自然对数的底数)

【解析】（1）的定义域为,

令得或时,；时,；时,

所以,的单调增区间是,单调减区间是,,

（2）①解：由,得对恒成立.

记其中（1）,

,

当时,恒成立,在上单调递减,时,（1）,不符合题意；

当时,令,得,

时,,时,,

所以在上单调递增,在上单调递减,

(a)

记(a),(a).

令(a)得,

时(a)；时,(a),

(a)在上单调递减,在上单调递增.

(a)（1）,即(a),

(a).

又（1）,故

②证明：由①可知：,(当且仅当时等号成立).

令,则,.

,

.

四、跟踪检测

1.（2021届江苏省常州市高三下学期学情检测）已知函数.（）

（1）令,讨论的单调性并求极值；

（2）令,若方程有两个实根,,且,证明：

【解析】（1）函数的定义域为,因为,

所以,,则,

所以单调递减区间为,单调递增区间为

极小值为,无极大值.

（2）有两个实根,令,

有两个零点,,,

所以,则,..

要证,只需证,即证,

所以只需证

,

只需证

设,令,则,所以只需证,即证

令,,则,

,即当时,成立.

所以,即,即.

2.（2021届湖南师大附中高三上学期月考）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设是函数的两个极值点,证明：恒成立.

【解析】（1）的定义域为,.

①当时,令,得,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减；

②当时,令,得或,令,得,

所以在上单调增,在上单调减；

③当时,则,所以在上单调递增；

④当时,令,得或,令,得,

所以在上单调递增,在上单调递减；

综上,当时,在上单调递增,在上单调递减；

当时,在上单调递增,在上单调遂减；

当时,在上单调递增；

当时,在上单调递增,在上单调递减.

（2）,则的定义域为,若有两个极值点,

则方程的判别式,且,所以,

因为,所以,得,

所以,

设,其中,

令得,

又,所以在区间内单调递增,在区间内单调递减,即的最大值为,

而,∴,

从而恒成立.

3．已知函数（）．

（1）讨论的单调性；

（2）当时,证明：．

【解析】（1） 的定义域为,.

当时,,所以在上单调递增.

当时,若,则；

若,则.

所以在上单调递增,在上单调递减.

（2）当时,要证 ,即证,即证.

令函数,则.

令,得；令,得.

所以在上单调递增,在上单调递减,所以,

令函数,则.

当时,；当时,.

所以在上单调递减,在上单调递增,所以.

因为,所以,即,从而 得证.

4.（2021届福建省莆田市高三3月第二次教学质量检测）设函数．

（1）若在上存在零点,求实数的取值范围；

（2）证明：当时,．

【解析】（1）解：设,因为当时,为增函数,

当时,,,

所以在上恒大于零,所以在上不存在零点,

当时,在上为增函数,根据增函数的和为增函数,

所以在上为单调函数,

所以在上若有零点,则仅有1个,

所以,即,解得,

所以实数的取值范围

（2）证明：设,则

,则,

所以 ,

因为,所以,

所以在上递增,在上恒成立,

所以在上递增,而,

因为,所以,所以恒成立,

所以当时,

5. 已知函数,且函数与有相同的极值点.

（1）求实数的值；

（2）若对,不等式恒成立,求实数的取值范围；

（3）求证：.

【解析】（1）的定义域为,,由得,

易知函数在单调递增,在单调递减,故函数的极大值点为,

,依题意有,解得,经验证符合题意,故.

（2）由（1）知,函数在单调递增,在单调递减,

又,且,

当时,,.

① 当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,

则,

,又,

此时的取值范围为；

② 当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,

则,

所以,又,

此时的取值范围为.

综上,实数的取值范围为.

（3）证明：所证不等式即为,

下证：,即证,

设,则,

令,则,

易知函数在上单调递减,且,

故存在唯一的,使得,即,,

且当时,,即单调递增；

当时,,即单调递减,

,

在单调递减,

又时,,故,即；

再证：,即证在上恒成立,

设,,

在单调递增,则,即,

故,

综上,.

6. 已知.

（1）求的单调区间；

（2）,若有两个零点,,且.求证：(左边和右边两个不等式可只选一个证即可)

【解析】（1）函数的定义域为 ,,

当时,,在单调递增；

当时,令,解得,令,解得,

在单调递增,在单调递减；

综上,当时,的单调递增区间为；

当时,的单调递增区间为,单调递减区间为；

（2）证明：,令,则,

设,则,

易知函数在单调递减,在单调递增,且时,,

当时,,（1）,

,

又,则,

①若证所证不等式的左边,即,

即证,

又(b),则,故即证,

即证,

设(b),,则,

(b)在上单调递减,

(b)（1）,即得证；

②若证所证不等式的右边,即,即证,

即证,

又(a),即,故即证,

即证,

设(a),,则,

(a)在单调递减,故(a)（1）,即得证.