高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题27数列求和与数列不等式的证明【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题27数列求和与数列不等式的证明【原卷版+解析】，共47页。

【热点聚焦】
等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容，在历届高考中属于必考内容，既有独立考查的情况，也有二者与其它知识内容综合考查的情况．一般地，选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算，解答题往往综合考查等差数列、等比数列．数列求和问题是高考数列中的另一个易考类型，其中常见的是“裂项相消法”、“错位相减法”.数列求和与不等式证明相结合，又是，数列考题中的常见题型，关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明（数列的和）不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列的和不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，达到解题目的.
【重点知识回眸】
（一）数列的求和
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f (na1＋an,2)＝na1＋eq \f (nn－1,2)d；
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f (a11－qn,1－q)＝\f (a1－anq,1－q)，q≠1.))
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：
①；
②；
③.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
（6）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前n项和中含多少个周期即可.
（二）数列中的不等关系
1.数列中的最值项，要依靠数列的单调性.如何判断数列的单调性：
（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性.由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性
（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）
（3）对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决.也可以考虑相邻项比较.在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定.进而把问题转化成为判断的符号问题.
（三）利用放缩法证明不等式
1.与求和相关的不等式的放缩技巧：
① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）
③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.
④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试.
2.放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
② 等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可.
3.与数列中的项相关的不等式问题：
① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明
4.常见的放缩变形：
（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择.
注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：
（2），从而有：
注：对于还可放缩为：
（3）分子分母同加常数：
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.
（4）

可推广为：
5.利用导数证明数列不等式
（四）数学归纳法证明不等式
【典型考题解析】
热点一 分组求和与并项求和
【典例1】(2023·全国·高三专题练习）已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【典例2】．（2023·河南·高三开学考试（文））已知等比数列的公比大于1，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【总结提升】
分组转化法求和的常见类型
(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
热点二 裂项相消法求和
【典例3】(2023·全国·高考真题（理））(2023新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．
【典例4】(2023·天津·高考真题（理））设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
【典例5】(2023·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
【规律方法】
裂项相消法的步骤、原则及规律
(1)基本步骤：裂项、累加、消项；
(2)裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(3)消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
热点三 错位相减法求和
【典例6】（2023·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【典例7】(2023·云南·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【典例8】(2023·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
【规律方法】
错位相减法求和的具体步骤：
热点四 其它求和方法
【典例9】(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【典例10】(2023·全国·高三专题练习（文））1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前2022项的和为________.
【典例11】(2023·全国·高考真题（文））等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
热点五 与裂项相消法相关的不等式证明
【典例12】(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【典例13】(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求证：.
【总结提升】
(1)与不等式相结合考查裂项相消法求和问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．
(2)放缩法常见的放缩技巧有：
①.
②.
③.
④．
热点六 与错位相减法相关的不等式证明
【典例14】（2023·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【典例15】（2023·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【规律方法】
等差数列的判定与证明的方法
【精选精练】
一.单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ）
A．64B．80C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习（文））斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2022项和为（ ）
A．2698B．2697C．2696D．2695
3.(2023·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A．B．C．D．
二、填空题
4．（2023·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））已知是等比数列，公比大于1，且，.记为在区间中的项的个数，则数列的前60项的和的值为______.
5．(2023·浙江·高三专题练习）古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现：数量为1，3，6，10，…的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，则第5个“三角形数”是___________，前6个“三角形数”的和是___________.
6．(2023·全国·高三专题练习）设函数，定义，其中，，则______.
7．(2023·江苏·高考真题）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
8．(2023·北京·北师大二附中高三开学考试）已知数列满足：，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是___________.
三、解答题
9．(2023·贵州遵义·高三开学考试（文））为数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：当时，．
10．(2023·河南·高三开学考试（理））在数列，中，，，且为正项等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
11．(2023·浙江·高三开学考试）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，数列前项和为.
在①，②中任意选择一个，补充在横线上并证明.选择___________.
12.（2023·内蒙古·包头市第四中学高三期中（理））已知数列和满足.若为等比数列，且，.
(1)求与；
(2)设.记数列的前项和为，求.
13.（2023·浙江·高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
14.（2023·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
15．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，数列满足：当，，成等比数列时，公比为，当，，成等差数列时，公差也为．
（1）求与；
（2）证明：．
16．(2023·云南师大附中高三阶段练习）记为数列的前项和，已知是首项为3，公差为1的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，.
17．(2023·全国·高三专题练习）已知数列前项和为满足，.
（1）求通项公式；
（2）设，求证：.
18．(2023·浙江·高三专题练习）已知数列满足，若记数列前项和为，则对于任意的，.
（1）求证：是等比数列，并写出的通项公式和其前项和的表达式；
（2）已知数列满足，，设数列的前项和为.求证：.
方法
解读
适合题型
定义法
若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
专题27 数列求和与数列不等式的证明
【热点聚焦】
等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容，在历届高考中属于必考内容，既有独立考查的情况，也有二者与其它知识内容综合考查的情况．一般地，选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算，解答题往往综合考查等差数列、等比数列．数列求和问题是高考数列中的另一个易考类型，其中常见的是“裂项相消法”、“错位相减法”.数列求和与不等式证明相结合，又是，数列考题中的常见题型，关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明（数列的和）不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列的和不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，达到解题目的.
【重点知识回眸】
（一）数列的求和
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f (na1＋an,2)＝na1＋eq \f (nn－1,2)d；
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f (a11－qn,1－q)＝\f (a1－anq,1－q)，q≠1.))
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：
①；
②；
③.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
（6）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前n项和中含多少个周期即可.
（二）数列中的不等关系
1.数列中的最值项，要依靠数列的单调性.如何判断数列的单调性：
（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性.由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性
（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）
（3）对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决.也可以考虑相邻项比较.在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定.进而把问题转化成为判断的符号问题.
（三）利用放缩法证明不等式
1.与求和相关的不等式的放缩技巧：
① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）
③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.
④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试.
2.放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
② 等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可.
3.与数列中的项相关的不等式问题：
① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明
4.常见的放缩变形：
（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择.
注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：
（2），从而有：
注：对于还可放缩为：
（3）分子分母同加常数：
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.
（4）

可推广为：
5.利用导数证明数列不等式
（四）数学归纳法证明不等式
【典型考题解析】
热点一 分组求和与并项求和
【典例1】(2023·全国·高三专题练习）已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
答案：(1)证明见解析；
(2)
分析：（1）根据题意结合等比数列定义可证，可得是首项为2，公比为2的等比数列，利用等比数列通项公式代入运算；（2）因为，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式整理运算．
（1）由题意可得：∵所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即因此{}的通项公式为
（2）由（1）知，令则所以．．综上．
【典例2】．（2023·河南·高三开学考试（文））已知等比数列的公比大于1，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
答案：(1)
(2)
分析：（1）设出公比，根据题目条件列方程求解；
（2）先写出，利用裂项求和，分组求和的办法表示出.
（1）
设等比数列的公比为，
由，得，
解之得或（舍去），
由得，，
所以的通项公式为.
（2）
由（1）知，
所以的前项和为
【总结提升】
分组转化法求和的常见类型
(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
热点二 裂项相消法求和
【典例3】(2023·全国·高考真题（理））(2023新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．
答案：
【解析】
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，
数列的前n项和，
裂项可得，
所以．
【典例4】(2023·天津·高考真题（理））设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
答案：(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.
【解析】
【详解】
分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得
（II）（i）由（I），有，则.
（ii）因为，裂项求和可得.
详解：（I）设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 故
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，
故.
（ii）因为，
所以.
【典例5】(2023·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
答案：(1)
(2)
分析：(1)由递推关系取可求，当时，取递推关系中的可求，由此可得数列的通项公式；
(2)由(1)可得，利用裂项相消法求数列的前项和为.
（1）
当时，，
当时，①
②
由①-②得，即.
当时也成立，所以数列的通项公式为
（2）
因为，
所以，
所以.
【规律方法】
裂项相消法的步骤、原则及规律
(1)基本步骤：裂项、累加、消项；
(2)裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(3)消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
热点三 错位相减法求和
【典例6】（2023·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
分析：
(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
【典例7】(2023·云南·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据和的关系式，即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）中结论可得数列的通项公式，再由错位相减法即可求得.
（1）
由已知得．
①当时，；当时，，
得，所以是以为首项，2为公比的等比数列；
所以．
（2）
由（1）得，
所以，①
所以，②
则得：，
化简得．
【典例8】(2023·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
答案：
【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.
所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.
故{an}的公比为－2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和．
由(1)及题设可得，an＝(－2)n－1.
所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1，
－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n.
可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n.
所以Sn＝－.
【规律方法】
错位相减法求和的具体步骤：
热点四 其它求和方法
【典例9】(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据，利用倒序相加法求解.
【详解】解：因为，
且，
令,
又
，
两式相加得：，
解得，
故选：B
【典例10】(2023·全国·高三专题练习（文））1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前2022项的和为________.
答案：
分析：由数列各项除以3的余数，可得为，知是周期为8的数列，即可求出数列的前2022项的和.
【详解】由数列各项除以3的余数，可得为，是周期为8的数列，一个周期中八项和为，又，数列的前2022项的和.
故答案为：.
【典例11】(2023·全国·高考真题（文））等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）24.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和.
试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意有.
解得.
所以的通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
当n=1,2,3时，；
当n=4,5时，；
当n=6,7,8时，；
当n=9,10时，.
所以数列的前10项和为.
热点五 与裂项相消法相关的不等式证明
【典例12】(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
答案：(1)
(2)见解析
【解析】
分析：
（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
(1)
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)

∴
【典例13】(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求证：.
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）将已知条件与两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；
（2）利用裂项相消求和法求出即可证明.
（1）
解：因为，所以，
两式相减得，
当时，， 又，所以，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）
证明：，
所以， 由，得，
所以，
综上，.
【总结提升】
(1)与不等式相结合考查裂项相消法求和问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．
(2)放缩法常见的放缩技巧有：
①.
②.
③.
④．
热点六 与错位相减法相关的不等式证明
【典例14】（2023·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
答案：（1），；（2）证明见解析.
【解析】
分析：
（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】
（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
【典例15】（2023·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
答案：（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
分析：
（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】
（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【规律方法】
等差数列的判定与证明的方法
【精选精练】
一.单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ）
A．64B．80C．D．
答案：C
分析：由已知可得，即数列是等差数列，由此求出，分别令
可求出.
【详解】数列满足，，
则，
可得数列是首项为1、公差为1的等差数列，
即有，即为，
则，
则
.
故选：C.
2．(2023·全国·高三专题练习（文））斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2022项和为（ ）
A．2698B．2697C．2696D．2695
答案：C
分析：根据, 递推得到数列,然后再得到数列是以6为周期的周期数列求解.
【详解】因为
所以数列为
此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列为:
是以 6 为周期的周期数列,
所以.
故选：C.
3.(2023·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
【详解】
令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
【点睛】
构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
二、填空题
4．（2023·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））已知是等比数列，公比大于1，且，.记为在区间中的项的个数，则数列的前60项的和的值为______.
答案：243
分析：第一步求出是等比数列的通项公式，第二步计算为在区间中的项的个数，列举求值即可。
【详解】因为是等比数列，，，得解得或（舍去），由于，
所以对应区间为 则；
对应的区间分别为所以有一项，则；
对应的区间分别为，所以有两项，则；
对应的区间分别为
，所以有三项即
；
对应的区间分别为， 所以有四项，；
对应的区间分别为所以有五项，.
所以
故答案为：243.
5．(2023·浙江·高三专题练习）古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现：数量为1，3，6，10，…的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，则第5个“三角形数”是___________，前6个“三角形数”的和是___________.
答案：
分析：设三角形数构成数列，根据前四项的规律可求出第、个“三角形数”，再求出前项的和即可求解.
【详解】设三角形数构成数列，
由，，，，
可得第5个“三角形数”是，
第6个“三角形数”是，
所以前6个“三角形数”的和是，
故答案为：；.
6．(2023·全国·高三专题练习）设函数，定义，其中，，则______.
答案：0
分析：由函数的解析式可得，由倒序相加法可得答案.
【详解】由题意，
所以
由 ①
则 ②
由①+②得
所以
故答案为：0
7．(2023·江苏·高考真题）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
答案：27
【解析】
【详解】
分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.
详解：设，则
由得
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时，，为等差数列项数，且.
由
得满足条件的最小值为.
8．(2023·北京·北师大二附中高三开学考试）已知数列满足：，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是___________.
答案：
分析：利用等比数列通项公式求出数列的通项公式，再根据数列是单调递增数列，可得不等式，解不等式即可得到答案；
【详解】由题可得，
，又，
是首项为2，公比为2的等比数列，
，，
，又，
数列是单调递增数列，
，
且对恒成立，
.
故答案为：.
三、解答题
9．(2023·贵州遵义·高三开学考试（文））为数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：当时，．
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）利用得数列的递推关系，并构造出新数列是常数列，从而得通项公式；
（2）用裂项相消法求和后可得证．
（1）
由已知条件：，
当时：，
两式相减得：，即：，
左右同除得：，
即：，且，
所以数列是首项为1，公差为0的等差数列，即常数列，
∴，∴，
（2）
左边.
10．(2023·河南·高三开学考试（理））在数列，中，，，且为正项等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）设的公比为q，由已知得，利用求出可得答案；
（2）由利用累加法求出，再由等比数列求和可得答案.
（1）
设的公比为q，因为为正项等比数列，所以，
由，，得，
即
，
解得，
所以；
（2）
得，
因为，
所以，
所以当时，
，
即，则，且
故．
11．(2023·浙江·高三开学考试）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，数列前项和为.
在①，②中任意选择一个，补充在横线上并证明.选择___________.
答案：(1)
(2)答案见解析
分析：（1）由得，再利用等比数列的定义可得答案；
（2）由（1）求出，再利用裂项相消可得，选择①，判断出单调性可得答案；
选择②利用放缩法可得答案.
（1）
由得，
即，因为，所以时，，
得，因此；
（2）
因为，得，
所以
，
选择①：因为
，因为，所以，所以，
所以单调递增，因为，所以；
选择②因为，，
所以.
12.（2023·内蒙古·包头市第四中学高三期中（理））已知数列和满足.若为等比数列，且，.
(1)求与；
(2)设.记数列的前项和为，求.
答案：(1)，
(2)
分析：（1）由已知可求出，再由，可求出公比，从而可求出，再由可求出，
（2）由（1）得，然后利用分组求和，裂项相消求和法可求得
(1)
由题意，，，
知，，
又有，得公比或（舍去），
所以数列的通项公式为，
所以，
故数列的通项公式为，；
(2)
由（1）知，，
所以，
13.（2023·浙江·高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
答案：（I）；（II）证明见解析.
【解析】
分析：
（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.
（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.
【详解】
（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依题意设，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
14.（2023·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】
（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】
易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
15．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，数列满足：当，，成等比数列时，公比为，当，，成等差数列时，公差也为．
（1）求与；
（2）证明：．
答案：（1），；（2）证明见解析.
分析：（1）根据，可得，；
（2）当时，得成等比数列，求得，
当时，成等差数列，求得，
由，分、可得答案.
【详解】（1）因为，所以当时，，当时，，
当时，， ，
所以
，
．
（2）当时，，，，
∴，成等比数列，
则，
当时，，，，
∴，成等差数列，
则，
∵，∴当时，，
又∵，
∴当时，，
即，
综上可得，．
16．(2023·云南师大附中高三阶段练习）记为数列的前项和，已知是首项为3，公差为1的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，.
答案：(1)；
(2)证明见解析．
分析：（1）先由等差数列的通项公式可得，再根据即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，，根据放缩法以及裂项相消求和法，当时，，即可证出．
（1）
∵是首项为3，公差为1的等差数列，∴，
∴.∴当时，，.
又不满足，
∴的通项公式.
（2）
当时，，
，
∴，
∴.
17．(2023·全国·高三专题练习）已知数列前项和为满足，.
（1）求通项公式；
（2）设，求证：.
答案：（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）由条件可得，然后可得，然后可证明数列是以2为首项，公比为3的等比数列，然后可求出答案；
（2），然后可证明.
【详解】（1）由，得，两式相减，得.
由，，得，
所以，，即数列是以2为首项，公比为3的等比数列，
从而有.
（2）证明：由（1）知，从而，
所以，当时，，
从而有；
当时，不等式显然成立.
综上有成立.
18．(2023·浙江·高三专题练习）已知数列满足，若记数列前项和为，则对于任意的，.
（1）求证：是等比数列，并写出的通项公式和其前项和的表达式；
（2）已知数列满足，，设数列的前项和为.求证：.
答案：（1）证明见解析，，；（2）证明见解析.
分析：（1）根据即可得出，即可求出的通项公式和其前项和的表达式
（2）首先计算出数列的前项和为，利用放缩法结合等比数列的求和公式即可.
【详解】（1）由，所以是公比为2的等比数列.的通项公式为，.
（2）令.由题可知，的通项公式为.
对求和：
，
令，则.
令，则.
所以
则，
所以
方法
解读
适合题型
定义法
若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列