高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第21练基本立体图形及其直观图(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第21练基本立体图形及其直观图(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了(2023·云南昆明·一模，(2023·四川·广安二中二模，(2023·河南开封·三模等内容，欢迎下载使用。


1．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·云南昆明·一模（理））已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·广东茂名·模拟）如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（ ）
A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线
4．(2023·四川·广安二中二模（文））正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河南开封·三模（文））已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．2D．
6．(2023·江苏南通·模拟）一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________.
1．(2023·浙江·海宁中学模拟）已知长方形ABCD中，，点E为CD的中点，现以AE所在直线为旋转轴将该长方形旋转一周，则所得几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·天津河西·一模）一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（ ）．
A．B．
C．D．
3．(2023·湖北·模拟）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·河北·石家庄二中模拟）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3B．C．6D．
5．(2023·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上､下底面圆的半径分别为，（），则___________.
6．(2023·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是___________.
7．(2023·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（理））一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正三角形，则原三角形的面积等于________.
1．(2023·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·浙江·慈溪中学模拟）已知点M是棱长为4的正方体的棱的中点.过直线作平面，记平面与棱的交点为K，当平面与底面所成的锐二面角最小时，（ ）
A．3B．C．D．1
3．(2023·浙江省义乌中学模拟）三棱锥中，，若三角形和都是等腰直角三角形，则可能的不同取值有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．至少4种
4．(2023·天津实验中学模拟）在正四面体SABC中，，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点.则该正四面体的外接球被平面DEF所截的圆周长为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·湖北·荆州中学三模）1859年，英国作家约翰·泰勒（Jhn Taylr，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数（）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥的底面边长约为656英尺，顶点P在底面上的投影为底面的中心O，H为线段BC的中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（ ）
A．302.7B．405.4C．530.7D．1061.4
6．(2023·江苏南通·模拟）如图，正方体的棱长为分别是所在棱上的动点，且满足，则以下四个结论正确的是（ ）
A．四点一定共面
B．若四边形为矩形，则
C．若四边形为菱形，则一定为所在棱的中点
D．若四边形为菱形，则四边形周长的取值范围为
7．(2023·湖北·襄阳五中模拟）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，点E在棱PB上，且，过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是___________.
8．(2023·山东德州·模拟）已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.
9．(2023·山东临沂·一模）已知正三棱台的上下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为______.
10．(2023·山东师范大学附中模拟）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图乙所示，若正四面体的棱长为，则能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为_______，勒洛四面体的截面面积的最大值为________.
专题07 立体几何初步
第21练 基本立体图形及其直观图
1．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为，
则，而，
故.
故选:B.
2．(2023·云南昆明·一模（理））已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：如图所示，由题得.
设球的半径为，则,
所以.
故选：B
3．(2023·广东茂名·模拟）如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（ ）
A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线
答案：C
【解析】如图，将展开图还原成长方体，易得线段AB与线段CD是异面直线，
故选：C
4．(2023·四川·广安二中二模（文））正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】原图中：设是的中点，则，.
直观图中：，，
所以.
故选：D
5．(2023·河南开封·三模（文））已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．2D．
答案：C
【解析】依题意可知，半圆的弧长为，圆心角的弧度数为，
由弧长公式可得该圆锥的母线长为.
故选：C
6．(2023·江苏南通·模拟）一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________.
答案：.
【解析】设圆锥底面半径为r，
则由题意得，解得.
∴底面圆的面积为.
又圆锥的高.
故圆锥的体积.
1．(2023·浙江·海宁中学模拟）已知长方形ABCD中，，点E为CD的中点，现以AE所在直线为旋转轴将该长方形旋转一周，则所得几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为长方形ABCD中，，点E为CD的中点，所以以AE所在直线为旋转轴将该长方形旋转一周，如图：
则所得几何体的体积为
故选：B．
2．(2023·天津河西·一模）一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（ ）．
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】设底面半径为由题知：所以，
设正方体边长为，如图，
由轴截面可知，所以
所以.
故选：C.
3．(2023·湖北·模拟）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设圆锥的母线为，即侧面展开图的半径为
又圆锥的底面半径为1，则侧面展开图的弧长为，
又侧面展开图是半圆，则，则
所以该圆锥的侧面积为
故选：B
4．(2023·河北·石家庄二中模拟）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3B．C．6D．
答案：B
【解析】设圆锥的母线长为l，由底面半径为r＝，侧面展开图为一个半圆，
所以2πr＝πl，
所以该圆锥的母线长为l＝2r＝2.
故选：B.
5．(2023·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上､下底面圆的半径分别为，（），则___________.
答案：2
【解析】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，
所以圆台的母线长为，
圆台的侧面积为，
所以.
故答案为：2
6．(2023·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是___________.
答案：
【解析】如图所示，将三棱锥的侧面展开，
因为，所以，
当虫子沿爬行时，距离最短，
又，
所以虫子爬行的最短距离是.
故答案为：.
7．(2023·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（理））一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正三角形，则原三角形的面积等于________.
答案：
【解析】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积与它的直观图的面积之间的关系是，
本题中直观图的面积为，所以原三角形的面积等于．
故答案为：
1．(2023·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
2．(2023·浙江·慈溪中学模拟）已知点M是棱长为4的正方体的棱的中点.过直线作平面，记平面与棱的交点为K，当平面与底面所成的锐二面角最小时，（ ）
A．3B．C．D．1
答案：B
【解析】连接，则为直线与底面所成的角.
由于平面，因此平面与底面所成的锐二面角的大小不小于.
下面作平面，使得平面与底面所成的锐二面角恰为：
取的中点N，则，故平面.
取的中点E，则，故平面.
则当平面位于平面时，平面与底面所成的锐二面角恰为，
此时平面与底面所成的锐二面角最小.
如图作出截面，其中，，，，
从而，
故选：B
3．(2023·浙江省义乌中学模拟）三棱锥中，，若三角形和都是等腰直角三角形，则可能的不同取值有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．至少4种
答案：C
【解析】根据题意可画简图如下,为等边三角形，且都是等腰直角三角形，分类讨论如下：
时， ，此时中，
所以，
此时，
时，，此时中，
,此时，此时;
时，，此时中，
，此时，此时
所以的取值有3种不同情况.
故选：C.
4．(2023·天津实验中学模拟）在正四面体SABC中，，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点.则该正四面体的外接球被平面DEF所截的圆周长为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】过点S作平面ABC，垂足为P，如图，
则点P必为△ABC的中心，则正四面体SABC外接球的球心必在线段SP上，
设图中点O为正四面体SABC外接球的球心，外接球半径为R，
由已知得，，
所以，解得.
因为D，E，F分别为SA，SB，SC的中点，
所以点O到平面DEF的距离.
设截面圆的半径为r，则，解得，
所以截面圆的周长为.
故选：C
5．(2023·湖北·荆州中学三模）1859年，英国作家约翰·泰勒（Jhn Taylr，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数（）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥的底面边长约为656英尺，顶点P在底面上的投影为底面的中心O，H为线段BC的中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（ ）
A．302.7B．405.4C．530.7D．1061.4
答案：C
【解析】设，，，由已知得，
又由勾股定理，故，即，
因此可求得，则．
故选：C
6．(2023·江苏南通·模拟）如图，正方体的棱长为分别是所在棱上的动点，且满足，则以下四个结论正确的是（ ）
A．四点一定共面
B．若四边形为矩形，则
C．若四边形为菱形，则一定为所在棱的中点
D．若四边形为菱形，则四边形周长的取值范围为
答案：AD
【解析】
连接交于点，为正方体的中心，
由棱长为，
且，
可得，
所以交于点，交于点，
所以交于点，，
故四点一定共面，所以A正确；
对B，若四边形为矩形，
可以也可以，故B错误；
对C，若四边形为菱形，
则必有，
则必有一定为所在棱的中点或一定为所在棱的中点，故C错误；
四边形为菱形，当都为各边中点时，
四边形周长最小为，
若为所在棱的中点，而分别和重合时，
此时菱形周长最大，边长为，
所以周长为，故D正确.
故选：AD
7．(2023·湖北·襄阳五中模拟）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，点E在棱PB上，且，过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是___________.
答案：
【解析】如图，将四棱锥补形为长方体，易知该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，∵PC为长方体的体对角线，∴球心O在PC的中点上，∴外接球半径，设平面为过E的球O的截面，则当OE⊥平面时，截面积最小，由图可知，设截面半径为r，则，所以截面圆的面积为，即所得截面面积的最小值为.
故答案为：
8．(2023·山东德州·模拟）已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.
答案：
【解析】由题设，将三棱锥补全为棱长为的正方体，如下图示：
若，则，即在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，
又，，
所以，面与球面所成弧是以为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为；
面与与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；
面与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；
所以最长弧的弧长为.
故答案为：.
9．(2023·山东临沂·一模）已知正三棱台的上下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为______.
答案：
【解析】由题意，得是边长为5的等边三角形，
侧面均为全等的等腰梯形，在四边形中，
，，，
在棱上取，连接，易知为等边三角形，
即，则以下底面的一个顶点为球心，
半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线为三段圆弧、、，
分别是与面、、的交线；
则所求交线长度为三段圆弧、、的长度之和，
长度为.
故答案为：.
10．(2023·山东师范大学附中模拟）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图乙所示，若正四面体的棱长为，则能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为_______，勒洛四面体的截面面积的最大值为________.
答案：
【解析】由题意可知，勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为，
所以，能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为；
勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体表面的截面，
假设图2是投影光线垂直于面时，勒洛四面体在与平面平行的一个投影平面上的正投影，
当光线与平面的夹角小于时，易知截面投影均为图2所示图象在平面上的投影，其面积必然减小，
如图2，则勒洛四面体的截面面积的最大值为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，
即.
故答案为：；.