2023-2024学年吉林省白城市镇赉县八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省白城市镇赉县八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知 a2=1，(− 2)2=b，则 (a+b)2=( )
A. 1B. 3C. 1或3D. −1或−3
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，DC=2，点D在BC上，∠BAD=∠B，BC的长为( )
A. 2 3
B. 7+2
C. 13−2
D. 13+2
3.下列各式的计算正确的是( )
A. −4−9= −4 −9=−2−3=23B. 429=213 2
C. 34=2 3D. 311÷ 323= 311÷113=311
4.若xy<0，则 x2y化简后的结果是( )
A. x yB. x −yC. −x −yD. −x y
5.勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b(a>b)表示直角三角形的两直角边，则下列结论不正确的是( )
A. a2+b2=25B. a+b=5C. a−b=1D. ab=12
6.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点，(PB+PA)(PB−PA)的值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.如图，正方形Ⅰ的边长为a，面积为12；正方形Ⅱ的边长为b，面积为27.计算(b−a)÷ 3的结果为( )
A. 1B. −1C. 3D. 33
8.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有( )
A. 5cmB. 7cmC. 8cmD. 11cm
9.已知a满足|2024−a|+ a−2025=a，则a−20242=( )
A. 0B. 1C. 2024D. 2025
10.活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为 3，满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形)，则满足已知条件的三角形的第三边长为( )
A. 2 3B. 2 3−3C. 2 3或 3D. 2 3或2 3−3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知： 18− 2=a 2− 2=b 2，则ab=______．
12.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为______．
13.如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=n，BN=k.试猜想：以m、n、k为边长的三角形的形状是(在下列括号中选择) ______.(锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形)
14.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T=2π 1g，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)，g=10m/s2.假若一台座钟的摆长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min内，该座钟发出了______次滴答声.(参考数据： 5=224π取3.14，结果保留整数)
15.先化简再求值：当a=−2时，求a+ 1−2a+a2的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+ (1−a)2=a+(1−a)=1；
乙的解答为：原式=a+ (1−a)2=a+(a−1)=2a−1=−5．
两种解答中，______的解答是错误的；
若a=100时，a+ (1−a)2= ______．
16.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地．
(1)A，B间的距离为 km；
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为 km．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 6× 3− 8；
(2) 27÷ 32×2 2−6 2．
18.(本小题8分)
如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a=20+2 2，b=20−2 2，x= 2，求剩余部分的面积．
19.(本小题8分)
先阅读下面的一段文字，再解答问题．
已知：在平面直角坐标系中，任意两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其两点之间的距离公式为MN= (x2−x1)2+(y2−y1)2.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为|x2−x1|或|y2−y1|.
(1)已知点A(0,5)，B(−3,6)，试求A，B两点之间的距离；
(2)已知点A，B在垂直于x轴的直线上，点A的坐标为(−5,−12)，AB=10，试确定点B的坐标；
(3)已知点A(0,6)，B(4,0)，C(−9,0)，请判断△ABC的形状，并说明理由．
20.(本小题10分)
如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD=1，AD=2，CD=4．
(1)求证：∠BAC=90°；
(2)点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．
21.(本小题10分)
阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：
①1 5=1× 5 5× 5= 55；
②1 2−1=1×( 2+1)( 2−1)( 2+1)= 2+1( 2)2−12= 2+1等运算都是分母有理化．
根据上述材料，
(1)化简：12 3；
(2)化简：1 5− 3；
(3)计算：(1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+...+1 2023+ 2021)( 2023+1)
22.(本小题10分)
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
23.(本小题12分)
如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处
(1)求CE的长；
(2)在(1)的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ a2=1，(− 2)2=b，
∴|a|=1，b=2，
∴a=±1，b=2，
当a=1，b=2时， (a+b)2=|a+b|=|1+2|=3；
当a=−1，b=2时， (a+b)2=|a+b|=|−1+2|=1；
故选：C．
由 a2=1，(− 2)2=b，求出a=±1，b=2，再由 (a+b)2=|a+b|即可得到答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，DC=2，
∴AD= AC2+CD2= 32+22= 13，
∵∠BAD=∠B，
∴BD=AD= 13，
∴BC=BD+CD= 13+2，
故选：D．
根据勾股定理可以求得AD的长，再根据∠BAD=∠B，可以得到BD=AD，然后即可求得BC的长．
本题考查勾股定理、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，求出AD的长．
3.【答案】D
【解析】解：A. −4−9= 49=23，故原选项计算错误，不符合题意；
B. 429= 389= 383，故原选项计算错误，不符合题意；
C. 34= 32，故原选项计算错误，不符合题意；
D. 311÷ 323= 311÷113= 311×311=311，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的性质和化简，是基础知识要熟练掌握．
根据二次根式有意义可得出y≥0，再由xy<0，得出x<0，y>0，从而化简即可．
【解答】
解：∵x2y≥0，
∴y≥0，
∵xy<0，
∴x<0，y>0，
∴ x2y=−x y．
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴a2+b2=25，(a−b)2=1，
∵a>b，
∴a−b=1，
∵(a−b)2=a2+b2−2ab=1，
∴2ab=25−1=24，
∴ab=12，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=25+24=49，
∵a+b>0，
∴a+b=7，
故B错误，A、C、D正确，
故选：B．
根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，得出关于a、b的等式，即可得出结论．
本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握“赵爽弦图”的结构特征是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵△PBC与△PAC是直角三角形，AC=2，BC=4，
∴PB2=PC2+BC2，PA2=PC2+AC2，
∴PB2−PA2=PC2+BC2−PC2−AC2=BC2−AC2=42−22=16−4=12．
故选：D．
先根据勾股定理用PC，BC表示出PB2，用PC，AC表示出PA2，再把AC=2，BC=4代入进行计算即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意知，a= 12，b= 27，
∴(b−a)÷ 3
=( 27− 12)÷ 3
= 9− 4
=3−2
=1．
故选：A．
首先根据正方形的性质，可得a= 12，b= 27，再根据二次根式的混合运算，进行运算，即可求解．
本题考查了正方形的性质，二次根式的混合运算，掌握和运用二次根式的混合运算是解决本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图是长为20cm的细木筷斜放在杯子内的示意图，
在Rt△ABC中，AB=9cm，BC=12cm，
∴AC= AB2+BC2= 92+122=15(cm)，
∴细木筷在杯子内的部分最长为15cm，
∵20−15=5(cm)，
∴木筷露在杯子外面的部分至少5cm，
故选：A．
画出长为20cm的细木筷斜放在杯子内的示意图，即Rt△ABC，根据勾股定理求得AC=15cm，可知细木筷在杯子内的部分最长为15cm，所以木筷露在杯子外面的部分至少5cm．
此题重点考查勾股定理及其在实际问题中的应用，从实际问题中抽象出两条直角边分别为9cm和12cm的直角三角形是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵a−2025≥0，
∴a≥2025，
∴|2024−a|+ a−2025=a−2024+ a−2025=a，
∴ a−2025=2024，
∴a−2025=20242，
∴a−20242=2025．
故选：D．
根据被开方数不小于零的条件求出a的取值范围，再去绝对值，最后根据二次根式的性质进行解题即可．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，CD=CB，作CH⊥AB于H，
∴DH=BH，
∵∠A=30°，
∴CH=12AC=32，AH= AC2−CH2= 9−94=3 32，
在Rt△CBH中，由勾股定理得BH= BC2−CH2= 3−94= 32，
∴AB=AH+BH=3 32+ 32=2 3，AD=AH−DH=3 32− 32= 3，
故选：C．
根据题意知，CD=CB，作CH⊥AB于H，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH，AH的长，再利用勾股定理求出BH，从而得出答案．
本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，理解题意，求出BH的长是解题的关键．
11.【答案】6
【解析】解：
∵ 18=3 2
∴ 18− 2=3 2− 2=2 2
又∵ 18− 2=a 2− 2=b 2
∴a=3，b=2，
则ab=3×2=6．
故答案为：6．
直接化简二次根式进而得出a，b的值求出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
12.【答案】25
【解析】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=9，一直角边的平方=16，
则斜边的平方=9+16=25．
故答案为：25．
三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=9+16=25．
本题考查正方形的面积公式以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．
13.【答案】直角三角形
【解析】解：如图：作△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°，
又∵CN=CN，
∴△MNC≌△DNC，MN=ND，AM=BD=m，
又∠DBN=45°+45°=90°，
∴n2=m2+k2．
∴以m、n、k为边长的三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
把△ACN绕C点逆时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．
本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
14.【答案】58
【解析】解：把g=10m/s2.l=0.5m代入T=2π lg得，
T=2×3.14× 0.510≈1.406，
60÷1.046≈58(次)，
故答案为：58．
根据公式求出T的值，再计算次数即可．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质以及化简方法是正确解答的前提．
15.【答案】乙 199
【解析】解：∵a=−2，
∴1−a>0，
∴a+ 1−2a+a2=a+(1−a)=1，
∴两种解答中，乙的解答是错误的；
若a=100时，1−a<0，
∴a+ 1−2a+a2=a+(a−1)=2a−1=199，
故答案为：乙；199．
根据a的值确定1−a的范围，再根据二次根式的性质、绝对值的性质计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、绝对值的性质是解题的关键．
16.【答案】20
13

【解析】解：(1)由A、B两点的纵坐标相同可知：AB/​/x轴，
∴AB=12−(−8)=20；
(2)过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，
由(1)可知：CE=1−(−17)=18，
AE=12，
设CD=x，
∴AD=CD=x，
由勾股定理可知：x2=(18−x)2+122，
∴解得：x=13，
∴CD=13，
故答案为：(1)20；(2)13．
(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；
(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD=x，根据勾股定理即可求出x的值．
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．
17.【答案】解：(1)原式=3 2−2 2
= 2；
(2)原式=3 3×2 3×2 2−6 2
=12 2−6 2
=6 2．
【解析】(1)先算二次根式的乘法，同时利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的减法即可；
(2)先利用二次根式的性质化简，同时把除法变成乘法，然后计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)剩余部分的面积为：ab−4x2；
(2)把a=20+2 2，b=20−2 2，x= 2代入ab−4x2得：
(20+2 2)(20−2 2)−4×( 2)2
=400−8−4×2
=400−8−8
=384．
【解析】(1)用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
(2)根据(1)所列出的式子，再把a=20+2 2，b=20−2 2，x= 2代入即可求出答案．
此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式，且认真观察图形，得出等量关系．
19.【答案】解：(1)∵A(0,5)，B(−3,6)，
∴AB= (−3−0)2+(6−5)2= 10；
(2)∵A，B在垂直于x轴的直线上，
∴点A与点B的横坐标相等，
设B(−5,y)，
∵AB=10，
∴|y−(−12)|=10，
解得y=912或y=−1012，
∴B(−5,912)或(−5,−1012)；
(3)△ABC的形状为直角三角形，
理由：∵A(0,6)，B(4,0)，C(−9,0)，
∴AB= 42+62=2 13，
AC= 92+62=3 13，
BC=|4−(−9)|=13，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC的形状为直角三角形．
【解析】(1)根据题目中两点间的距离公式，可以求得A，B两点之间的距离；
(2)根据题意，可以设出点B的坐标，再根据AB=10，即可得到点B的坐标；
(3)先判断△ABC的形状，再根据点A(0,6)，B(4,0)，C(−9,0)，分别求出AB、BC、AC的长度，即可说明理由．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，会求两点间的距离．
20.【答案】(1)证明：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，AD=4，BD=2，
∴AB2=AD2+BD2=20，
又∵AD⊥BC，CD=8，AD=4，
∴AC2=CD2+AD2=80，
∵BC=CD+BD=10，
∴BC2=100，
∴AC2+AB2=100=BC2，
∴∠BAC=90°，△ABC是直角三角形．
(2)解：分三种情况：
①当BP=AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB= BD2+AD2= 5，
∴BP=AB= 5；
②当BP=AP时，P是BC的中点，
∴BP=12AB=2.5；
③当AP=AB时，BP=2BD=2；
综上所述：BP的长为 5或3或2.5．
【解析】(1)在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC=CD+BD=10，易求AC2+AB2=100=BC2，从而可知△ABC是直角三角形．
(2)分三种情况：①当BP=AB时；②当BP=AP时；③当AP=AB时；分别求出BP的长即可．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
21.【答案】解：(1)12 3=1× 32 3× 3= 36；
(2)1 5− 3= 5+ 3( 5− 3)( 5+ 3)= 5+ 32；
(3)原式=( 3−12+ 5− 32+ 7− 52+…+ 2023− 20212)×( 2023+1)
=12×( 3−1+ 5− 3+ 7− 5+…+ 2023− 2021)×( 2023+1)
=12×( 2023−1)×( 2023+1)
=12×(2023−1)
=1011．
【解析】(1)把分子分母都乘以 3，然后利用二次根式的乘法法则运算；
(2)把分子分母都乘以( 5+ 3)，然后利用平方差公式计算；
(3)先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和分母有理化是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=300×400500=240(km)，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
(2)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED= EC2−CD2=70(km)，
∴EF=140km，
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7(小时)，
即台风影响该海港持续的时间为7小时．
【解析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
(1)利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
(2)利用勾股定理得出ED的长，根据等腰三角形三线合一的性质得到EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
23.【答案】解：(1)长方形ABCD中，AB=8，BC=10，
∴∠B=∠BCD=90°，CD=AB=8，AD=BC=10，
由折叠知，EF=DE，AF=AD=8，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF= AF2−AB2=6，
∴CF=BC−BF=4，
设CE=x，则EF=DE=CD−CE=8−x，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2=EF2，
∴16+x2=(8−x)2，
∴x=3，
∴CE=3；
(2)如图，延长EC至E′使CE′=CE=3，连接AE′交BC于P，
此时，PA+PE最小，最小值为AE′，
∵CD=8，
∴DE′=CD+CE′=8+3=11，
在Rt△ADE′中，根据勾股定理得，AE′= AD2+DE′2= 221．
【解析】(1)先判断出AF=AD=8，进而利用勾股定理求出BF=6，最后在Rt△ECF，利用勾股定理，即可得出结论；
(2)先作出点E关于BC的对称点E，进而求出DE′，再利用勾股定理即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，求出CE是解本题的关键．