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2023-2024学年吉林省白城市镇赉县八年级（下）第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年吉林省白城市镇赉县八年级（下）第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知 a2=1，(− 2)2=b，则 (a+b)2=( )
A. 1B. 3C. 1或3D. −1或−3
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，DC=2，点D在BC上，∠BAD=∠B，BC的长为( )
A. 2 3
B. 7+2
C. 13−2
D. 13+2
3.下列各式的计算正确的是( )
A. −4−9= −4 −9=−2−3=23B. 429=213 2
C. 34=2 3D. 311÷ 323= 311÷113=311
4.若xy<0，则 x2y化简后的结果是( )
A. x yB. x −yC. −x −yD. −x y
5.勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b(a>b)表示直角三角形的两直角边，则下列结论不正确的是( )
A. a2+b2=25B. a+b=5C. a−b=1D. ab=12
6.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点，(PB+PA)(PB−PA)的值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.如图，正方形Ⅰ的边长为a，面积为12；正方形Ⅱ的边长为b，面积为27.计算(b−a)÷ 3的结果为( )
A. 1B. −1C. 3D. 33
8.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有( )
A. 5cmB. 7cmC. 8cmD. 11cm
9.已知a满足|2024−a|+ a−2025=a，则a−20242=( )
A. 0B. 1C. 2024D. 2025
10.活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为 3，满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形)，则满足已知条件的三角形的第三边长为( )
A. 2 3B. 2 3−3C. 2 3或 3D. 2 3或2 3−3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知： 18− 2=a 2− 2=b 2，则ab=______．
12.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为______．
13.如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=n，BN=k.试猜想：以m、n、k为边长的三角形的形状是(在下列括号中选择) ______.(锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形)
14.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T=2π 1g，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)，g=10m/s2.假若一台座钟的摆长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min内，该座钟发出了______次滴答声.(参考数据： 5=224π取3.14，结果保留整数)
15.先化简再求值：当a=−2时，求a+ 1−2a+a2的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+ (1−a)2=a+(1−a)=1；
乙的解答为：原式=a+ (1−a)2=a+(a−1)=2a−1=−5．
两种解答中，______的解答是错误的；
若a=100时，a+ (1−a)2= ______．
16.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地．
(1)A，B间的距离为 km；
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为 km．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 6× 3− 8；
(2) 27÷ 32×2 2−6 2．
18.(本小题8分)
如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a=20+2 2，b=20−2 2，x= 2，求剩余部分的面积．
19.(本小题8分)
先阅读下面的一段文字，再解答问题．
已知：在平面直角坐标系中，任意两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其两点之间的距离公式为MN= (x2−x1)2+(y2−y1)2.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为|x2−x1|或|y2−y1|.
(1)已知点A(0,5)，B(−3,6)，试求A，B两点之间的距离；
(2)已知点A，B在垂直于x轴的直线上，点A的坐标为(−5,−12)，AB=10，试确定点B的坐标；
(3)已知点A(0,6)，B(4,0)，C(−9,0)，请判断△ABC的形状，并说明理由．
20.(本小题10分)
如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD=1，AD=2，CD=4．
(1)求证：∠BAC=90°；
(2)点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．
21.(本小题10分)
阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：
①1 5=1× 5 5× 5= 55；
②1 2−1=1×( 2+1)( 2−1)( 2+1)= 2+1( 2)2−12= 2+1等运算都是分母有理化．
根据上述材料，
(1)化简：12 3；
(2)化简：1 5− 3；
(3)计算：(1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+...+1 2023+ 2021)( 2023+1)
22.(本小题10分)
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为20km/ℎ，台风影响该海港持续的时间有多长？
23.(本小题12分)
如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处
(1)求CE的长；
(2)在(1)的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.D
5.B
6.D
7.A
8.A
9.D
10.C
11.6
12.25
13.直角三角形
14.58
15.乙 199
16.20；13
17.解：(1)原式=3 2−2 2
= 2；
(2)原式=3 3×2 3×2 2−6 2
=12 2−6 2
=6 2．
18.解：(1)剩余部分的面积为：ab−4x2；
(2)把a=20+2 2，b=20−2 2，x= 2代入ab−4x2得：
(20+2 2)(20−2 2)−4×( 2)2
=400−8−4×2
=400−8−8
=384．
19.解：(1)∵A(0,5)，B(−3,6)，
∴AB= (−3−0)2+(6−5)2= 10；
(2)∵A，B在垂直于x轴的直线上，
∴点A与点B的横坐标相等，
设B(−5,y)，
∵AB=10，
∴|y−(−12)|=10，
解得y=912或y=−1012，
∴B(−5,912)或(−5,−1012)；
(3)△ABC的形状为直角三角形，
理由：∵A(0,6)，B(4,0)，C(−9,0)，
∴AB= 42+62=2 13，
AC= 92+62=3 13，
BC=|4−(−9)|=13，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC的形状为直角三角形．
20.(1)证明：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，AD=4，BD=2，
∴AB2=AD2+BD2=20，
又∵AD⊥BC，CD=8，AD=4，
∴AC2=CD2+AD2=80，
∵BC=CD+BD=10，
∴BC2=100，
∴AC2+AB2=100=BC2，
∴∠BAC=90°，△ABC是直角三角形．
(2)解：分三种情况：
①当BP=AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB= BD2+AD2= 5，
∴BP=AB= 5；
②当BP=AP时，P是BC的中点，
∴BP=12AB=2.5；
③当AP=AB时，BP=2BD=2；
综上所述：BP的长为 5或3或2.5．
21.解：(1)12 3=1× 32 3× 3= 36；
(2)1 5− 3= 5+ 3( 5− 3)( 5+ 3)= 5+ 32；
(3)原式=( 3−12+ 5− 32+ 7− 52+…+ 2023− 20212)×( 2023+1)
=12×( 3−1+ 5− 3+ 7− 5+…+ 2023− 2021)×( 2023+1)
=12×( 2023−1)×( 2023+1)
=12×(2023−1)
=1011．
22.解：(1)海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=300×400500=240(km)，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
(2)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED= EC2−CD2=70(km)，
∴EF=140km，
∵台风的速度为20km/ℎ，
∴140÷20=7(小时)，
即台风影响该海港持续的时间为7小时．
23.解：(1)长方形ABCD中，AB=8，BC=10，
∴∠B=∠BCD=90°，CD=AB=8，AD=BC=10，
由折叠知，EF=DE，AF=AD=8，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF= AF2−AB2=6，
∴CF=BC−BF=4，
设CE=x，则EF=DE=CD−CE=8−x，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2=EF2，
∴16+x2=(8−x)2，
∴x=3，
∴CE=3；
(2)如图，延长EC至E′使CE′=CE=3，连接AE′交BC于P，
此时，PA+PE最小，最小值为AE′，
∵CD=8，
∴DE′=CD+CE′=8+3=11，
在Rt△ADE′中，根据勾股定理得，AE′= AD2+DE′2= 221．
1.已知 a2=1，(− 2)2=b，则 (a+b)2=( )
A. 1B. 3C. 1或3D. −1或−3
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，DC=2，点D在BC上，∠BAD=∠B，BC的长为( )
A. 2 3
B. 7+2
C. 13−2
D. 13+2
3.下列各式的计算正确的是( )
A. −4−9= −4 −9=−2−3=23B. 429=213 2
C. 34=2 3D. 311÷ 323= 311÷113=311
4.若xy<0，则 x2y化简后的结果是( )
A. x yB. x −yC. −x −yD. −x y
5.勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b(a>b)表示直角三角形的两直角边，则下列结论不正确的是( )
A. a2+b2=25B. a+b=5C. a−b=1D. ab=12
6.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点，(PB+PA)(PB−PA)的值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.如图，正方形Ⅰ的边长为a，面积为12；正方形Ⅱ的边长为b，面积为27.计算(b−a)÷ 3的结果为( )
A. 1B. −1C. 3D. 33
8.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有( )
A. 5cmB. 7cmC. 8cmD. 11cm
9.已知a满足|2024−a|+ a−2025=a，则a−20242=( )
A. 0B. 1C. 2024D. 2025
10.活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为 3，满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形)，则满足已知条件的三角形的第三边长为( )
A. 2 3B. 2 3−3C. 2 3或 3D. 2 3或2 3−3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知： 18− 2=a 2− 2=b 2，则ab=______．
12.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为______．
13.如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=n，BN=k.试猜想：以m、n、k为边长的三角形的形状是(在下列括号中选择) ______.(锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形)
14.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T=2π 1g，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)，g=10m/s2.假若一台座钟的摆长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min内，该座钟发出了______次滴答声.(参考数据： 5=224π取3.14，结果保留整数)
15.先化简再求值：当a=−2时，求a+ 1−2a+a2的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+ (1−a)2=a+(1−a)=1；
乙的解答为：原式=a+ (1−a)2=a+(a−1)=2a−1=−5．
两种解答中，______的解答是错误的；
若a=100时，a+ (1−a)2= ______．
16.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地．
(1)A，B间的距离为 km；
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为 km．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 6× 3− 8；
(2) 27÷ 32×2 2−6 2．
18.(本小题8分)
如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a=20+2 2，b=20−2 2，x= 2，求剩余部分的面积．
19.(本小题8分)
先阅读下面的一段文字，再解答问题．
已知：在平面直角坐标系中，任意两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其两点之间的距离公式为MN= (x2−x1)2+(y2−y1)2.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为|x2−x1|或|y2−y1|.
(1)已知点A(0,5)，B(−3,6)，试求A，B两点之间的距离；
(2)已知点A，B在垂直于x轴的直线上，点A的坐标为(−5,−12)，AB=10，试确定点B的坐标；
(3)已知点A(0,6)，B(4,0)，C(−9,0)，请判断△ABC的形状，并说明理由．
20.(本小题10分)
如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD=1，AD=2，CD=4．
(1)求证：∠BAC=90°；
(2)点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．
21.(本小题10分)
阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：
①1 5=1× 5 5× 5= 55；
②1 2−1=1×( 2+1)( 2−1)( 2+1)= 2+1( 2)2−12= 2+1等运算都是分母有理化．
根据上述材料，
(1)化简：12 3；
(2)化简：1 5− 3；
(3)计算：(1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+...+1 2023+ 2021)( 2023+1)
22.(本小题10分)
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为20km/ℎ，台风影响该海港持续的时间有多长？
23.(本小题12分)
如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处
(1)求CE的长；
(2)在(1)的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.D
5.B
6.D
7.A
8.A
9.D
10.C
11.6
12.25
13.直角三角形
14.58
15.乙 199
16.20；13
17.解：(1)原式=3 2−2 2
= 2；
(2)原式=3 3×2 3×2 2−6 2
=12 2−6 2
=6 2．
18.解：(1)剩余部分的面积为：ab−4x2；
(2)把a=20+2 2，b=20−2 2，x= 2代入ab−4x2得：
(20+2 2)(20−2 2)−4×( 2)2
=400−8−4×2
=400−8−8
=384．
19.解：(1)∵A(0,5)，B(−3,6)，
∴AB= (−3−0)2+(6−5)2= 10；
(2)∵A，B在垂直于x轴的直线上，
∴点A与点B的横坐标相等，
设B(−5,y)，
∵AB=10，
∴|y−(−12)|=10，
解得y=912或y=−1012，
∴B(−5,912)或(−5,−1012)；
(3)△ABC的形状为直角三角形，
理由：∵A(0,6)，B(4,0)，C(−9,0)，
∴AB= 42+62=2 13，
AC= 92+62=3 13，
BC=|4−(−9)|=13，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC的形状为直角三角形．
20.(1)证明：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，AD=4，BD=2，
∴AB2=AD2+BD2=20，
又∵AD⊥BC，CD=8，AD=4，
∴AC2=CD2+AD2=80，
∵BC=CD+BD=10，
∴BC2=100，
∴AC2+AB2=100=BC2，
∴∠BAC=90°，△ABC是直角三角形．
(2)解：分三种情况：
①当BP=AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB= BD2+AD2= 5，
∴BP=AB= 5；
②当BP=AP时，P是BC的中点，
∴BP=12AB=2.5；
③当AP=AB时，BP=2BD=2；
综上所述：BP的长为 5或3或2.5．
21.解：(1)12 3=1× 32 3× 3= 36；
(2)1 5− 3= 5+ 3( 5− 3)( 5+ 3)= 5+ 32；
(3)原式=( 3−12+ 5− 32+ 7− 52+…+ 2023− 20212)×( 2023+1)
=12×( 3−1+ 5− 3+ 7− 5+…+ 2023− 2021)×( 2023+1)
=12×( 2023−1)×( 2023+1)
=12×(2023−1)
=1011．
22.解：(1)海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=300×400500=240(km)，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
(2)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED= EC2−CD2=70(km)，
∴EF=140km，
∵台风的速度为20km/ℎ，
∴140÷20=7(小时)，
即台风影响该海港持续的时间为7小时．
23.解：(1)长方形ABCD中，AB=8，BC=10，
∴∠B=∠BCD=90°，CD=AB=8，AD=BC=10，
由折叠知，EF=DE，AF=AD=8，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF= AF2−AB2=6，
∴CF=BC−BF=4，
设CE=x，则EF=DE=CD−CE=8−x，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2=EF2，
∴16+x2=(8−x)2，
∴x=3，
∴CE=3；
(2)如图，延长EC至E′使CE′=CE=3，连接AE′交BC于P，
此时，PA+PE最小，最小值为AE′，
∵CD=8，
∴DE′=CD+CE′=8+3=11，
在Rt△ADE′中，根据勾股定理得，AE′= AD2+DE′2= 221．
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