高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.2直线与圆的位置关系(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.2直线与圆的位置关系(真题测试)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2023·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
3．（2023·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
4．（2023·全国·高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
5．（2023·全国·高三专题练习）过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·全国·高考真题（理））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
8．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·山东青岛·二模）已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切D．圆与圆C相交
10．（2023·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
11．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知为坐标原点，圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆内切
B．直线与圆相离
C．圆上到直线的距离等于1的点最多两个
D．过直线上任一点作圆的切线，切点为，，则四边形面积的最小值为
12．(2023·全国·模拟预测）已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有3个
C．过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为
D．的最小值是
三、填空题
13．（2023·浙江·高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.
14.（2023·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
15．(2023·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
16．(2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．
四、解答题
17.（2023·全国·高三专题练习）已知三点在圆C上，直线，
(1)求圆C的方程;
(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．
18．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知动圆E过定点，且y轴被圆E所截得的弦长恒为4．
(1)求圆心E的轨迹方程．
(2)过点P的直线l与E的轨迹交于A，B两点，，证明：点P到直线AM，BM的距离相等．
19．(2023·辽宁·高三期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点．
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
21．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知圆M的方程为．
(1)求过点与圆M相切的直线l的方程；
(2)过点作两条相异直线分别与圆M相交于A，B两点，若直线的斜率分别为，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．
22．(2023·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4).
（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.
专题9.2 直线与圆的位置关系（真题测试）
一、单选题
1．(2023·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
答案：A
【解析】
分析：
若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】
由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
2．（2023·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】
由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
3．（2023·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
答案：A
【解析】
分析：
求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】
设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
4．（2023·全国·高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案：B
【解析】
分析：
当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】
圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
数形结合得到过点作直线的垂线，垂足为，
则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，利用点到直线距离求出直径，设，列出方程组，求出圆心坐标，得到圆的方程.
【详解】
过点作直线的垂线，垂足为，
则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，
其中，设，
则，解得：，
故的中点，即圆心为，即，
故该圆为
故选：B
6．(2023·全国·高考真题（理））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
7．（2023·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
答案：D
【解析】
分析：
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
利用面积相等求出.设，得到.利用几何法分析出，即可求出的最小值.
【详解】
圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B
二、多选题
9．(2023·山东青岛·二模）已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切D．圆与圆C相交
答案：ACD
【解析】
分析：
先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可
【详解】
由，得，则圆心，半径，
所以A正确，
对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，
对于C，因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆的圆心为，半径，
因为，，
所以圆与圆C相交，所以D正确，
故选：ACD
10．（2023·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
答案：ACD
【解析】
分析：
计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
11．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知为坐标原点，圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆内切
B．直线与圆相离
C．圆上到直线的距离等于1的点最多两个
D．过直线上任一点作圆的切线，切点为，，则四边形面积的最小值为
答案：ACD
【解析】
分析：
A.计算圆心距离与半径差的大小关系；B.求圆心到直线的距离来判断；C.圆心到直线的距离为来判断；D. 过直线上任一点作圆的切线，切点为，，四边形面积为：
，当垂直直线时，有最小值，求出的最小值，即可求出四边形面积的最小值，即可判断.
【详解】
圆的圆心，半径，而圆的圆心，
所以，所以圆与圆内切，A正确；
圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，B错误；
因为圆心到直线的距离为：，
因为，
又因为圆的半径为1，所以上到直线的距离等于1的点最多两个，故C正确；
过直线上任一点作圆的切线，切点为，，四边形面积为：
，当垂直直线时，有最小值，且，
因为，
所以，则四边形面积的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．(2023·全国·模拟预测）已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有3个
C．过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为
D．的最小值是
答案：ACD
【解析】
分析：
对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；对B，设点，根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；对C，设，进而得到切线方程MB，NB，再根据点B在两条切线上求得答案；对D，设，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案．
【详解】
对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为．A正确；
对B，设点，则，且，由题意，
两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个．B错误；
对C，设，则直线MB，NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为．C正确；
对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，
则有，即，∴，则，
所以，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．（2023·浙江·高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.
答案：
【解析】
分析：
本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.
【详解】
可知，把代入得，此时.
14.（2023·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
答案：
【解析】
分析：
设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】
设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
15．(2023·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
答案：
【解析】
分析：
设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】
解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
16．(2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．
答案：3
【解析】
【详解】
分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以
四、解答题
17.（2023·全国·高三专题练习）已知三点在圆C上，直线，
(1)求圆C的方程;
(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．
答案：(1)
(2)直线与圆C相交，弦长为
【解析】
分析：
（1）圆C的方程为:，再代入求解即可；
（2）先求解圆心到直线的距离可判断直线与圆C相交，再用垂径定理求解弦长即可
（1）设圆C的方程为:，由题意得:， 消去F得: ，解得: ， ∴ F=-4， ∴圆C的方程为:.
（2）由（1）知: 圆C的标准方程为:，圆心，半径;点到直线的距离，故直线与圆C相交，故直线被圆C截得的弦长为
18．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知动圆E过定点，且y轴被圆E所截得的弦长恒为4．
(1)求圆心E的轨迹方程．
(2)过点P的直线l与E的轨迹交于A，B两点，，证明：点P到直线AM，BM的距离相等．
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）设，由圆的弦长公式列式可得；
（2）设，，设，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得，，计算，得直线PM平分，从而得结论，再说明直线斜率不存在时也满足．
(1)
设，圆E的半径，圆心E到y轴的距离，
由题意得，
化简得，经检验，符合题意．
(2)
当直线斜率存在时，设，与E的方程联立，消去y得，．
设，，则，
∵，
∴，则直线PM平分，
当直线l与x轴垂直时，显然直线PM平分．
综上，点P到直线AM， BM的距离相等．
19．(2023·辽宁·高三期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点．
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
答案：(1)
(2)
(3)或
【解析】
分析：
（1）根据已知得到线段中点的坐标及的斜率，根据垂直关系得出垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求解；
（2）设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；
（3）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.
(1)
设的中点为，则．
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
(2)
设圆的标准方程为，其中，半径为，
由（1）得直线的方程为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆的标准方程为.
(3)
由（1）设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；
故直线的方程为，
即；
综上直线的方程为或.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
答案：(1)或
(2)
【解析】
分析：
（1）求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程；
（2）设点，由已知可得，分析可知圆与圆有公共点，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
(1)
解：联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为.
若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合乎题意；
所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，解得或.
故所求切线方程为或，即或.
(2)
解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，
设点，由可得，
整理可得，
由题意可知，圆与圆有公共点，所以，，
即，解得.
所以，圆心的横坐标的取值范围是.
21．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知圆M的方程为．
(1)求过点与圆M相切的直线l的方程；
(2)过点作两条相异直线分别与圆M相交于A，B两点，若直线的斜率分别为，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．
答案：(1)或
(2)定值为，理由见解析.
【解析】
分析：
（1）设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得答案；（2）由题可设，与圆的方程联立，可得点A坐标，同理可得点B坐标，将两点坐标代入斜率公式可得答案.
(1)
显然当l的斜率不存在时，不符合题意；设，直线与圆相切，
由圆心到直线l距离，解得或．
当时，直线l的方程为，当时，直线l的方程为，
所以直线l的方程为或．
(2)
由题意可设
由可得，
设，则，所以，
，同理，
因为，所以，
所以为定值．
22．(2023·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4).
（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.
答案：(1)；(2)2x−y+5=0或2x−y−15=0.(3).
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.
试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.
（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
（3）设
因为，所以……①
因为点Q在圆M上，所以…….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆有公共点，
所以解得.
因此，实数t的取值范围是.