高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.1直线与直线方程(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.1直线与直线方程(真题测试)(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
2．（2023·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
4．（山东·高考真题）如下图，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
6．(2023·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A．B．
C．D．
7．（全国·高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A．3B．2C．D．
8．（四川·高考真题（文））设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
10．（2023·全国·高三专题练习）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且平行于直线的直线方程为
12．(2023·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C三点可能共线
B．A，B，C三点可能构成锐角三角形
C．A，B，C三点可能构成直角三角形
D．A，B，C三点可能构成钝角三角形
三、填空题
13．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．
14．（四川·高考真题（理））设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．
15．(2023·北京·高考真题（理））三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.
16．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.
四、解答题
17.(2023·全国·高三专题练习）已知一直线经过点，并且与点和的距离相等，求此直线的方程．
18．(2023·全国·高三专题练习）已知直线l ：，直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l的方程.
19．(2023·全国·高三专题练习）已知在中，，，，边BC所在的直线方程为，求边AB、AC所在的直线方程．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
21．(2023·全国·高三专题练习）已知､和直线，若坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，求点P的坐标.
22．(2023·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线，直线
(1)若，求；
(2)当时，设直线的斜率分别为，求的最小值．
专题9.1 直线与直线方程（真题测试）
一、单选题
1．(2023·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
答案：D
【解析】
分析：
设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】
设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
2．（2023·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
3．（2023·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
答案：D
【解析】
分析：
本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】
结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
4．（山东·高考真题）如下图，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.
【详解】
由图可得直线的倾斜角为30°，
所以斜率，
所以直线与轴的交点为，
所以直线的点斜式方程可得：，
即．
故选：D
5．（2023·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
答案：B
【解析】
分析：
首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】
由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
6．(2023·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.
【详解】
为单位圆上一点，而直线过点，
所以的最大值为，选C.
7．（全国·高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A．3B．2C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
，，设底边为
由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，
再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A．
8．（四川·高考真题（文））设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则
.因为，所以.所以，.选B.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
答案：ACD
【解析】
分析：
根据倾斜角与斜率的定义判断即可.
【详解】
解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；
故选：ACD
10．（2023·全国·高三专题练习）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
【解析】
分析：
根据题意，分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：若直线过原点，则直线的方程为，
将点代入得，所以直线方程为，即；
若直线不过原点，根据题意，设直线方程为，
将点代入得，故直线的方程为；
所以直线的方程为：或．
故选：AB．
11．(2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且平行于直线的直线方程为
答案：AC
【解析】
分析：
将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；
【详解】
解：对于A，，即，
令，即，所以直线必过定点，故A正确；
对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误；
对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确；
对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误，
故选：AC．
12．(2023·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C三点可能共线
B．A，B，C三点可能构成锐角三角形
C．A，B，C三点可能构成直角三角形
D．A，B，C三点可能构成钝角三角形
答案：ACD
【解析】
分析：
取两定点为A，C，再设任意点B，然后利用给定定义逐项分析、计算判断作答.
【详解】
令点，设点，则有，
由得：，
当时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确；
当时，则A，B，C三点不共线，
若，有，且成立，为直角三角形，C正确；
若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确；
若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确.
故选：ACD
三、填空题
13．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．
答案：
【解析】
【详解】
本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想．
事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．
14．（四川·高考真题（理））设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．
答案：5
【解析】
【详解】
试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
15．(2023·北京·高考真题（理））三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.
答案： Q1 p2
【解析】
【详解】
试题分析：作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是，
分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是
【考点】图象的应用，实际应用问题
【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第名工人加工总的零件数是，比较总的零件数的大小，即可转化为比较的大小，而表示中点连线的纵坐标，第二问也可转化为中点与原点连线的斜率.
16．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.
答案：##
【解析】
分析：
如图，过B点作倾斜角为的直线，过点P作，则，从而得，然后利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离，进而可求出的最小值，
【详解】
如图，过B点作倾斜角为的一条直线，过点P作于，则，即，
所以，A到直线的距离，
因此的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17.(2023·全国·高三专题练习）已知一直线经过点，并且与点和的距离相等，求此直线的方程．
答案：或
【解析】
分析：
当直线斜率存在时，设出方程，由点到直线的距离解出斜率即可；斜率不存在时检验满足条件即可.
【详解】
假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为，即．
由题设有：，即，解得，则直线方程．
又所求直线的斜率不存在时，方程为，适合题意．∴所求直线的方程为或．
18．(2023·全国·高三专题练习）已知直线l ：，直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l的方程.
答案：或
【解析】
分析：
根据直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，可得或，再代入直线方程可得结果.
【详解】
由得，斜率为，
因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
所以或，
当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为.
综上所述：直线l的方程为或.
19．(2023·全国·高三专题练习）已知在中，，，，边BC所在的直线方程为，求边AB、AC所在的直线方程．
答案：边AB、AC所在的直线方程分别是， 或边AB、AC所在的直线方程分别是，.
【解析】
分析：
根据等腰三角形的性质，结合直线夹角公式、直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】
因为，，
所以是等腰三角形，且，
由可知，该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为.
当过的直线不存在斜率时，此时该直线方程为，
与直线的夹角为，符合题意；
当过的直线存在斜率时，
所以有，直线方程为，
所以边AB、AC所在的直线方程分别是， ，
或者边AB、AC所在的直线方程分别是，.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）先求导，根据两曲先都经过点，且在点P处有公切线求解；
（2）由（1）得到公切线方程，分别令，，再利用面积公式求解.
(1)
解：两函数和的导数分别为：
和，
由题意，
解得；
(2)
由（1）知公切线方程为，
即，
令得，令得，
所以所求面积为.
21．(2023·全国·高三专题练习）已知､和直线，若坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，求点P的坐标.
答案：或
【解析】
分析：
根据,可知点在的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，根据到直线的距离为2，列出方程即可求解.
【详解】
设点P的坐标为.∵，，所以线段AB的中点M的坐标为.
而AB所在直线的斜率，
∴线段AB的垂直平分线方程为，即.
∵点在直线上，∴……①；
又点到直线的距离为2，∴，即……②.
联立①②，解得或故所求点P的坐标为或.
故答案为或
22．(2023·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线，直线
(1)若，求；
(2)当时，设直线的斜率分别为，求的最小值．
答案：(1)；
(2)
【解析】
分析：
（1）直接由直线一般式方程的平行公式求出，代入直线方程检验是否重合即可；
（2）先表示出，通过结合基本不等式即可求出最小值.
(1)
由题意知：，解得或，又时，，，
重合，舍去，故.
(2)
由题意知，又，则，则
，当且仅当，即时取等.
故的最小值为.