高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.4双曲线(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.4双曲线(真题测试)(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·浙江·高考真题）渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）
A．B．1
C．D．2
2．(2023·全国·高考真题（文））双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高考真题（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5.（2023·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
7．（2023·全国·高考真题（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ 0
A．B．C． D．
8．（2023·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·重庆八中模拟预测）曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆
B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆
C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线
D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值
10．(2023·辽宁实验中学模拟预测）若曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4
11．(2023·云南省下关第一中学高三开学考试）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为D．点到直线的距离为
12．(2023·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．
14．(2023·北京·高考真题（文））若双曲线的离心率为，则a=_________.
15．(2023·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
16．（2023·全国·高考真题（理））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
四、解答题
17.(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，在双曲线的右支存在一点，使，求点的坐标．
18．（2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
19．(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点（点在轴上方），线段的垂直平分线交直线于点，求以为直径的圆的方程.
20．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)写出函数的单调递增区间；
(2)求证：函数的图像关于直线对称；
(3)某同学经研究发现，函数的图像为双曲线，和为其两条渐进线，试求出其顶点､焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证.
21．(2023·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
22．（2023·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
专题9.4 双曲线（真题测试）
一、单选题
1．（2023·浙江·高考真题）渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）
A．B．1
C．D．2
答案：C
【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c
则该双曲线的离心率为 e，
故选C．
2．(2023·全国·高考真题（文））双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A．B．C．D．
答案：A
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
3．（2023·全国·高考真题（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
4．（2023·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
5.（2023·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
6．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
答案：A
分析：设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
7．（2023·全国·高考真题（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ 0
A．B．C． D．
答案：A
分析：本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，
，故选A．
8．（2023·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
二、多选题
9．(2023·重庆八中模拟预测）曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆
B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆
C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线
D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值
答案：BCD
分析：对于A，由可判断；对于B，当时，表示椭圆；对于C，当时，表示双曲线；对于D，当时，椭圆的，当时，双曲线的，由此可判断.
【详解】解：对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；
对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确；
对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确；
对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值；
当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确，
故选：BCD.
10．(2023·辽宁实验中学模拟预测）若曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4
答案：BC
分析：根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的得离心率，得焦距判断AD，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B，由圆的标准方程判断C．
【详解】选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错；
选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确；
选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确；
选项D，曲线C表示椭圆时，或，
时，，，，
时，，，，
所以，即，无最大值．D错．
故选：BC．
11．(2023·云南省下关第一中学高三开学考试）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为D．点到直线的距离为
答案：ABCD
分析：先利用焦点三角形的性质求出，再求出，即可判断出A选项；在利用即可判断B和C；再利用点到直线的距离公式即可判断D.
【详解】设，，则，
由双曲线的定义的得
所以，，
所以是等边三角形，选项A正确；
在中，，
即，，所以选项B正确，
由得，所以双曲线C的渐近线方程为所以选项B正确，
渐近线方程为，所以选项C正确，
点到直线的距离为，
所以选项D正确．
故选：ABCD．
12．(2023·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
分析：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．
答案：
分析：先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
14．(2023·北京·高考真题（文））若双曲线的离心率为，则a=_________.
答案：4
【详解】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数的值.
详解：在双曲线中，，且

15．(2023·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
答案：2（满足皆可）
分析：根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
16．（2023·全国·高考真题（理））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
答案：2.
分析：通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.
【详解】如图，
由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
四、解答题
17.(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，在双曲线的右支存在一点，使，求点的坐标．
答案：
分析：设，由双曲线的定义得，进而根据双曲线的第二定义得，，再代入方程得，进而得答案.
【详解】解：由双曲线得，右准线方程为，
双曲线的右支存在一点，
由，，解得，
设d为点到准线的距离，则由双曲线的定义可得：，
所以，，又，解得，
代入得，
所以．
18．（2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
答案：(1)
(2)
分析：（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再根据为等腰直角三角形，即可求出，最后根据，求出，即可求出双曲线方程；
（2）设，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；
（1）解：抛物线的焦点为，所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所以，所以双曲线方程为.
（2）解：依题意设，，由消去整理得，由，所以，，所以.
19．(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点（点在轴上方），线段的垂直平分线交直线于点，求以为直径的圆的方程.
答案：(1)
(2)
分析：（1）由题知，进而结合题意，根据椭圆的离心率公式得，进而得答案；
（2）根据题意得直线方程为，进而与椭圆联立方程得，进而得，再求解圆的方程即可.
(1)
解：双曲线的离心率，
，其中，
所以椭圆方程为：
(2)
解：由题知，故直线方程为，
联立直线与椭圆方程得，
，其中点为
所以，垂直平分线为：
以为直径的圆的圆心为：，半径为，
以为直径的圆的方程为：
20．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)写出函数的单调递增区间；
(2)求证：函数的图像关于直线对称；
(3)某同学经研究发现，函数的图像为双曲线，和为其两条渐进线，试求出其顶点､焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证.
答案：(1)
(2)证明见解析
(3)，，，，验证答案见解析
分析：（1）求得，令，即可求得函数的递增区间；
（2）设为函数的图像上一点，点关于直线对称的点Q的坐标为，根据直线垂直且平分线段，求得代入得到，即可求解；
（3）由（2）得直线为函数图像的一条对称轴，联立方程组求得，得到双曲线的两个顶点一定只能是，进而求得，根据的两个焦点，由，求得，，结合双曲线的定义，作出证明.
(1)
解：由题意，函数，可得，
令，即，解得或，
所以函数的单调递增区间为.
(2)
证明：设为函数的图像上一点，点关于直线对称的点Q的坐标为，
由直线垂直且平分线段，可得，
因为，所以，
将代入，可得，
即点Q也在函数的图像上，所以函数的图像关于直线对称.
(3)
解：由（2）得直线为函数图像的一条对称轴，
于是，解得，
因为的图像是双曲线（以下记作），
那么双曲线的两个顶点一定只能是，
于是半实轴a的值一定只能是，
双曲线的实轴所在直线与它的一条渐近线的夹角为，
以双曲线的一个顶为直角的顶点，以为一个锐角，以半实轴a的长为一条直角边的直角三角形的另一条直角边的长应当等于的半虚轴b之长，其斜边则等于的半焦距c之长.因此.
因为双曲线的两个焦点在双曲线的实轴所在的一条对称轴上，
所以的两个焦点，应在直线上，
由，得，利用对称性另一个焦点应为，
以下验证图像上的任意一点到､两点的距离之差的绝对值为定值，设为函数图像上的任意一点，
则
由，得，
故有
，
因为，
故得，
即为定值，且恰等于前面所得的的值，
由此验证函数的图像为双曲线.
21．(2023·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
答案：(1)
(2)见解析
分析：（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.
22．（2023·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
答案：（1）；（2）.
分析：(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.
【详解】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．
联立,
化简得.
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.