高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.4直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.4直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)(原卷版+解析)，共22页。


【核心素养】
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）空间平行关系
1.直线与平面平行的判定与性质
2. 面面平行的判定与性质
3.判断或证明线面平行的常用方法：
利用线面平行的定义，一般用反证法；
利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)
利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
（二）平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【常考题型剖析】
题型一：与线、面平行相关命题的判定
例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m//，m//n，则n//B．若m//，n//，则m//n
C．若m//，n，则m//nD．若m//，m，＝n，则m//n
例2.(2023·上海静安·二模）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）.
（1）、都垂直于平面r，那么∥.
（2）、都平行于平面r，那么∥.
（3）、都垂直于直线l，那么∥.
（4）如果l、m是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥，那么∥
A．0B．1C．2D．3
例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
例4. (2023·云南师大附中模拟预测（理））若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）
A．，，，
B．，，
C．，，，
D．，，
【方法技巧】
直线、平面间平行的判定方法
(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)利用实物进行空间想象，比较判断．
(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．
题型二：直线与平面平行的判定
例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，、、、、分别是、、、、的中点，给出下列四个判断：
①平面；
②平面；
③平面；
④平面，
错误的序号为___________.
例6.【多选题】(2023·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.记平面与平面的交线为，求证：直线平面
【总结提升】
证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．
题型三：线面平行性质定理的应用
例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
例9.(2023·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.
例10.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.
证明：FG∥平面AA1B1B．
【总结提升】
1.思路方法：
(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．
(2)利用线面平行性质必须先找出交线．
2.易错提醒
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.
（3）解题中注意符号语言的规范应用.
题型四：平面与平面平行的判定与性质
例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．6
例12.（2023·全国·高三专题练习（文））如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则______．
例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF
例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
（1）证明: 平面A1BD // 平面CD1B1;
（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
【规律方法】
1.证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
2.面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．
判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）空间平行关系
1.直线与平面平行的判定与性质
2. 面面平行的判定与性质
3.判断或证明线面平行的常用方法：
利用线面平行的定义，一般用反证法；
利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)
利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
（二）平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【常考题型剖析】
题型一：与线、面平行相关命题的判定
例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m//，m//n，则n//B．若m//，n//，则m//n
C．若m//，n，则m//nD．若m//，m，＝n，则m//n
答案：D
【解析】
分析：
举例说明判断A，B，C；利用线面平行的性质判断D作答.
【详解】
如图，长方体中，平面视为平面，
对于A，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，m//n，而，A不正确；
对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//，n//，而m与n相交，B不正确；
对于C，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，n，显然m与n是异面直线，C不正确；
对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.
故选：D
例2.(2023·上海静安·二模）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）.
（1）、都垂直于平面r，那么∥.
（2）、都平行于平面r，那么∥.
（3）、都垂直于直线l，那么∥.
（4）如果l、m是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥，那么∥
A．0B．1C．2D．3
答案：D
【解析】
分析：
由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.
【详解】
由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.
故选：D
例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
答案：C
【解析】
【详解】
若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
例4. (2023·云南师大附中模拟预测（理））若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）
A．，，，
B．，，
C．，，，
D．，，
答案：A
【解析】
分析：
利用线面，面面位置关系逐项分析即得.
【详解】
对于A，如图，，，结合，，可知，故A正确；
对于B，如图，，可能异面，故B错误；
对于C，如图，，可能相交，故C错误；
对于D，如图，可能相交，故D错误.
故选：A．
【方法技巧】
直线、平面间平行的判定方法
(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)利用实物进行空间想象，比较判断．
(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．
题型二：直线与平面平行的判定
例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，、、、、分别是、、、、的中点，给出下列四个判断：
①平面；
②平面；
③平面；
④平面，
错误的序号为___________.
答案：①②④
【解析】
分析：
连接、、、、、、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.
【详解】
连接、、、、、、、，
在三棱柱中，因为且，
所以，四边形为平行四边形，则且，
、分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，故平面，
同理可证四边形为平行四边形，则，，
则四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，则平面，
，故平面平面，平面，则平面，③对；
对于①，若平面，，则平面平面，
因为过点且与平面平行的平面只有一个，矛盾，故①错，
同理可知，②④均错.
故答案为：①②④.
例6.【多选题】(2023·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】
分析：
利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．
【详解】
对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；
故选：BCD
例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.记平面与平面的交线为，求证：直线平面
答案：证明见解析
【解析】
分析：
先通过可得出平面，再利用线面平行的性质即可证明.
【详解】
因为分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又平面，平面与平面的交线为，所以，
而平面，平面，所以平面PAC.
【总结提升】
证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．
题型三：线面平行性质定理的应用
例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
答案：
【解析】
分析：
根据直线与平面平行的性质定理可得,再根据为的中点可得为的中点,从而根据三角形的中位线可得.
【详解】
如图:
因为平面,平面,且平面平面,
所以,
又因为为的中点,所以为的中点,
所以,
因为正方体的棱长为2.所以,
所以.
故答案为:.
例9.(2023·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.
答案：见解析
【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME＝B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D．
由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．
又MN平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
例10.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.
证明：FG∥平面AA1B1B．
答案：见解析
【解析】证明：在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D．
又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.
而BB1⊂平面AA1B1B，FG平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B．
【总结提升】
1.思路方法：
(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．
(2)利用线面平行性质必须先找出交线．
2.易错提醒
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.
（3）解题中注意符号语言的规范应用.
题型四：平面与平面平行的判定与性质
例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．6
答案：C
【解析】
分析：
由面面平行的性质结合题意可确定点所在的平面，再由平面几何的性质即可确定的值为最大值时的位置，即可求解
【详解】
如图所示，取，分别为棱和的中点，连接,
由题意易知，
所以；
又易知，
故可以证明平面平面；
又平面，由面面平行的性质可知平面，
所以由题意可知在等腰梯形四条边上运动，
过点作，交于点，
由题意可知,
所以,
所以，
又，
所以故当与点重合时，的值为最大值，此时；
故选：C
例12.（2023·全国·高三专题练习（文））如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则______．
答案：
【解析】
分析：
根据面面平行的性质，证得，结合，即可求解.
【详解】
由题意，平面平面，所在的平面与，分别交于和，
根据面面平行的性质，可得，所以，
因为，，，所以.
故答案为：.
例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF
答案：证明见解析
【解析】
分析：
根据，可证明平面；又，可得平面.进而根据线面平行证明面面平行.
【详解】
证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以.
因为，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以
又平面BDF，平面BDF，
所以平面.
同理，，又平面BDF，平面BDF，
所以平面.
又，平面，
所以平面平面
例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
（1）证明: 平面A1BD // 平面CD1B1;
（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
答案：（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）要证明⊥平面，只要证明垂直于平面内的两条相交直线即可，由已知可证出⊥BD，取的中点为，通过证明四边形为正方形可证⊥．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积
试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得BB1和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等．而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，∴BD∥平面CB1D1．同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD∥平面CD1B1 ．
（Ⅱ）由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O===1，
∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O=•A1O=×1=1．
【规律方法】
1.证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
2.面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．
判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α