高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.7《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.7《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．(2023·北京·高考真题（理））“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．B．
C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：
某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（ ）元．
A．10373B．10396C．10422D．10456
4．(2023·四川凉山·二模（文））正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（ ）
A．B．C．D．以上都不正确
5．(2023·全国·高考真题（理））(2023新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1B．2
C．4D．8
6．(2023·辽宁实验中学模拟预测）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））数列满足，则以下说法正确的个数（ ）
①
②；
③对任意正数，都存在正整数使得成立
④
A．1B．2C．3D．4
8．(2023·浙江湖州·模拟预测）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：
①若数列各项单调递增，则首项
②若数列各项单调递减，则首项
③若数列各项单调递增，当时，
④若数列各项单调递增，当时，，
则以下说法正确的个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·重庆·二模）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．D．
10．（2023·福建漳州·三模）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）．
A．是递增数列B．是递减数列
C．D．数列的最大项为和
11．(2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列为单调递增的等差数列D．，正整数n的最小值为31
12．(2023·湖南·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗 石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则 （ ）
A．B．
C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.
14．(2023·北京·高考真题（理））若等差数列和等比数列满足，，则_______.
15．(2023·云南师大附中高三阶段练习）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的中位数为____________．
16．(2023·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·北京·高考真题（文））设是等差数列，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求.
18.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
19．(2023·全国·高考真题（理））为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1000项和.
20.(2023·江苏无锡·模拟预测）已知数列满足：
(1)求、、；
(2)将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，
①证明：是等差数列；
②设数列的前m项和为，求证：．
21．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，满足对任意都成立，数列的前n项和为．若，且是等比数列，求k的值，并求．
22．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求证：．
存期
1年
2年
3年
5年
年利率(%)
2．25
2．4
2．73
2．88
专题7.7 《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：D
【解析】
分析：
根据等差数列的下标和性质即可解出．
【详解】
因为，解得：，所以．
故选：D．
2．(2023·北京·高考真题（理））“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
3．(2023·全国·高三专题练习）某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：
某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（ ）元．
A．10373B．10396C．10422D．10456
答案：D
【解析】
分析：
先求出存期两年的利息与本金和，再求得利息税，作差即可.
【详解】
由题意存期两年的利息与本金为10 000×(1＋2×2.4%)，利息税为10 000×2×2.4%×5%，
所以到期的本利和为10 000×(1＋2×2.4%)－10 000×2×2.4%×5%＝10 456．
故选：.
4．(2023·四川凉山·二模（文））正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（ ）
A．B．C．D．以上都不正确
答案：C
【解析】
分析：
利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为，由此可得结果.
【详解】
设等差数列公差为，则，
又，，
均为正项数列，.
故选：C
5．(2023·全国·高考真题（理））(2023新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1B．2
C．4D．8
答案：C
【解析】
【详解】
设公差为，，，联立解得，故选C.
点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.
6．(2023·辽宁实验中学模拟预测）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据题意设，所以，，所以，，构成等比数列，即，求出即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，所以，所以，
，又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，
即，，构成等比数列，所以，
解得，（舍去），所以.
故选：A.
7．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））数列满足，则以下说法正确的个数（ ）
①
②；
③对任意正数，都存在正整数使得成立
④
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】
分析：
利用二次函数的性质及递推关系得，然后作差，可判断①，已知等式变形为，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．
【详解】
因为，若，则，
∴，∴，①错误；
由已知，
∴，②正确；
由及①得，，
∴，
显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，③正确；
(i)已知成立，
(ii)假设，则，
又，
∴，
由数学归纳法思想得④错误．
故选：B．
8．(2023·浙江湖州·模拟预测）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：
①若数列各项单调递增，则首项
②若数列各项单调递减，则首项
③若数列各项单调递增，当时，
④若数列各项单调递增，当时，，
则以下说法正确的个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：B
【解析】
分析：
将化为，根据数列的单调性列式，解不等式得到的范围，从而得的范围，再根据可得的范围，由此可判断①②；
由，得，利用裂项求和法求出，再根据单调性及首项，可得的范围，由此可判断③④.
【详解】
对于①，由题意，正数数列是单调递增数列，且，
∴，解得，∴．
∴．∵，∴．则①成立，
对于②，由题意，正数数列是单调递减数列，且，
∴，解得，∴．
∴．故②成立.
又由，可得：．
∴．∵，
∴
．
对于③，当时，因为，所以，∴，则，故③不成立；
对于④，当时，因为，∴，即，
∴．则，故④成立.
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·重庆·二模）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．D．
答案：BC
【解析】
分析：
由条件变形，先求的通项公式，再判断选项
【详解】
由题意得，故是首项为2，公比为2的等比数列，
，则．故B，C正确，A错误
,
,
两式相减得：，故D错误．
故选：BC
10．（2023·福建漳州·三模）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）．
A．是递增数列B．是递减数列
C．D．数列的最大项为和
答案：BCD
【解析】
分析：
根据，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.
【详解】
解：因为，所以数列的最大项为和，故D正确；
当时，，
当时，由，得，
两式相减得：，
又，适合上式，
所以，故C正确；
因为，所以是递减数列，故A错误，B正确；
故选：BCD
11．(2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列为单调递增的等差数列D．，正整数n的最小值为31
答案：BCD
【解析】
分析：
对AB，根据计算判断即可；
对C，根据递推公式可得判断即可；
对D，结合与，求解可得，进而求得，再求解即可
【详解】
对AB，因为，所以，解得，则，，所以，，所以A选项错误，B选项正确；
对C，因为，即，所以.又，所以数列为单调递增的等差数列，所以C选项正确；
对D，因为，所以
，
所以
，解得.又，所以正整数n的最小值为31，所以D选项正确，
故选：BCD.
12．(2023·湖南·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗 石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则 （ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】
分析：
分析题意，可求得的表达式，从而得的表达式，逐项验证即可.
【详解】
解：由题意可知，，故B正确；
，所以，故A正确；
，故D正确；
所以，故C不正确．
故选：ABD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.
答案：100
【解析】
分析：
根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.
【详解】
得
14．(2023·北京·高考真题（理））若等差数列和等比数列满足，，则_______.
答案：
【解析】
分析：
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.
【详解】
设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，
求得，，那么，故答案为.
15．(2023·云南师大附中高三阶段练习）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的中位数为____________．
答案：1007
【解析】
分析：
由题意可知，数列满足，再根据与2022的大小关系确定数列共有135项，进而求得中位数即可
【详解】
由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，即，所以，
当时，，
当时，，所以，
数列共有135项，因此中位数为第68项，.
故答案为：1007
16．(2023·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．
答案：
【解析】
分析：
先分离参数将问题转化为对于任意恒成立，进而转化为，构造，再作差判定单调性求出数列的最值，进而求出的取值范围.
【详解】
因为，且对于任意恒成立，
所以对于任意恒成立，即，
令，则，
因为，，，
且对于任意恒成立，
所以，即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·北京·高考真题（文））设是等差数列，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求.
答案：（I）；（II）.
【解析】
分析：
（I）设公差为，根据题意可列关于的方程组,求解，代入通项公式可得；（II）由（I）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
【详解】
（I）设等差数列的公差为，
∵，
∴，
又，∴.
∴.
（II）由（I）知，
∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴
.
∴
18.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
答案：(1)证明见解析
(2)8
【解析】
分析：
（1）根据与的关系式化简证明；（2）由（1）得数列的通项公式为．所以，继而求和计算.
(1)
当时，，．
当时，，两式相减得，
即，，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)
由（1）得，，当时，，
数列的通项公式为．
，
，
令，
得，解得．
19．(2023·全国·高考真题（理））为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1000项和.
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）1893.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
20.(2023·江苏无锡·模拟预测）已知数列满足：
(1)求、、；
(2)将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，
①证明：是等差数列；
②设数列的前m项和为，求证：．
答案：(1) ； ；
(2)①证明见解析 ；②证明见解析
【解析】
分析：
（1）根据求解；
（2）①利用等差数列的定义证明；②利用裂项相消法求解.
(1)
由题意知：，
，
；
(2)
①当n为奇数时，n+1为偶数，
，
，
，
当时，，
是以为首项，2为公差的等差数列．
②由①知，
，
，
.
21．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，满足对任意都成立，数列的前n项和为．若，且是等比数列，求k的值，并求．
答案：；当时，；当时，，．
【解析】
分析：
根据已知条件结合等比中项的性质，即可求解的值，解得，分别求解和时的前n项和为.
【详解】
解：因为且得，
又是等比数列，则，
即，得．
当时，，，故是以2为首项，公比为1的等比数列，
此时的前n项和；
当时，，即，
所以，且所以以为首项，公比为-1的等比数列，
又，
所以，当n是偶数时，
，
当n是奇数时，，
，
综上，当时，，
当时，．
22．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求证：．
答案：(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）由公式当时，可得与的关系式，进而可证数列为等比数列，并求得数列的通项公式；
（2）由题意得，所以与同号，又数列为递增数列，又，累加得
所以
(1)
当时，；
当时，，
所以，整理得．
所以，又，故．
所以，即为等比数列．所以
(2)
由题意得，所以与同号，
又因为，所以，即，即．
所以数列为递增数列，所以，
即，累加得．
令，，所以，
两式相减得：，
所以，所以，所以．
存期
1年
2年
3年
5年
年利率(%)
2．25
2．4
2．73
2．88