高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.2空间几何体的表面积和体积(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.2空间几何体的表面积和体积(真题测试)(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京·高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
3．(2023·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．B．3C．D．
6．（2023·全国·高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·广东茂名·二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．24h降雨量的等级划分如下：
在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm，瓶口高度为3cm）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（ ）
A．20cmB．22cmC．25cmD．29cm
10．（2023·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
11．(2023·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
12．(2023·全国·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
14．（2023·江苏·高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.
15．（2023·天津·高考真题（文））已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
16．(2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在三棱锥中，点在底面的射影是的外心，，则该三棱锥外接球的体积为___________.
四、解答题
17．(2023·安徽芜湖·高一期末）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液.如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终不离开桌面，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α.要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值.
18．(2023·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.
(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.
19．(2023·山西吕梁·高一期末）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是．
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要防水漆，共需多少防水漆？
20．(2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形ABCD中，，∠BAD=90°，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中的位置，使平面平面BCDE，得到四棱锥．当四棱锥的体积为，求a的值．
21．(2023·北京·高一期末）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵中，已知，，．当阳马体积等于时， 求：
(1)堑堵的侧棱长；
(2)鳖臑的体积；
(3)阳马的表面积．
22．(2023·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知，

(1)求该圆柱的表面积；
(2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
等级
24h降用量（mm）
小雨
（0，10）
中雨
[10，25）
大雨
[25，50）
暴雨
[50，100）
大暴雨
[100，250）
特大暴雨
[250，+∞）
专题8.2 空间几何体的表面积和体积（真题测试）
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
【详解】
这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，
所以，这个球的表面积为.
故选：C.
2．（2023·北京·高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.
【详解】
由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，
则其表面积为：.
故选：D.
【点睛】
(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
3．(2023·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为，圆台的下底面半径为，所以该几何体的体积．
故选：C．
4．(2023·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】
设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
5．（2023·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．B．3C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.
【详解】
几何体为如图所示的四棱柱，其高为1，底面为等腰梯形，
该等腰梯形的上底为，下底为，腰长为1，故梯形的高为，
故，
故选：A.
6．（2023·全国·高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.
【详解】
，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
7．(2023·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当即时等号成立，
故选：C
8．(2023·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
9．(2023·广东茂名·二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．24h降雨量的等级划分如下：
在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm，瓶口高度为3cm）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（ ）
A．20cmB．22cmC．25cmD．29cm
答案：CD
【解析】
分析：
设降雨量为x，容器内雨水高度为h,根据雨水的体积相等关系可得到h,x之间的关系，结合题意可得，由此判断出答案.
【详解】
设降雨量为x，容器内雨水高度为h,
根据体积相等关系可得：，
解得 ，
由于 ，故，
故
故选：CD．
10．（2023·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
答案：AC
【解析】
分析：
设圆台的上底面半径为，下底面半径为，求出，即可判断选项A正确；利用公式计算即可判断选项BCD的真假得解.
【详解】
解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；
由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．
故选：AC．
11．(2023·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
答案：BCD
【解析】
分析：
利用球的表面积公式及圆柱的表面积公式可判断A，由题可得到平面DEF的距离为，进而可得平面DEF截得球的截面面积最小值可判断B，由题可得四面体CDEF的体积等于可判断C，设在底面的射影为，设，，然后利用二次函数的性质可得的取值范围可判断D.
【详解】
由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球表面积
为，圆柱的表面积，
所以球与圆柱的表面积之比为，故A错误；
过作于，则由题可得，
设到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，
则，，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故B正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于，点到平面的距离，
又，所以，故C正确；
由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，
则，
设，则，，
所以
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12．(2023·全国·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】
分析：
直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.
【详解】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
答案：
【解析】
分析：
利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】
∵
∴
∴
∴.
故答案为：.
14．（2023·江苏·高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.
答案：
【解析】
分析：
先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
【详解】
正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
15．（2023·天津·高考真题（文））已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
答案：.
【解析】
分析：
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．
【详解】
由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为．
16．(2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在三棱锥中，点在底面的射影是的外心，，则该三棱锥外接球的体积为___________.
答案：
【解析】
分析：
先由正弦定理得，外接圆的半径，再由勾股定理，即可求出半径,从而可得外接球体积.
【详解】
解：设的外心为,连接,则球心在
上，连接,
则为外接圆的半径r,
连接,设外接球的半径为R,
则,
在中，由正弦定理得
解得,即,
在中，
在,中,即
,解得：,
所以外接球的体积为：，
故答案为：
四、解答题
17．(2023·安徽芜湖·高一期末）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液.如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终不离开桌面，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α.要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值.
答案：
【解析】
分析：
当水杯倾斜过程中，溶液恰好不溢出时，此时α最大；在这个临界条件下，结合溶液的体积不变，可以得到关于α的一个不等式，即可求出α的取值范围，得到最大值.
【详解】
如图所示，在Rt△CDE中，
解得，即α的最大值.
18．(2023·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.
(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.
答案：(1)证明见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）依题意可得，，即可得到，从而得到，即可得证；
（2）依题意可得、，即可得到平面从而得到平面，再根据计算可得；
(1)
证明：在矩形和菱形中，，，
所以，
所以，
所以、、、四点共面；
(2)
解：在中，矩形中，
，平面，所以平面，
又，所以平面，
又，
所以
19．(2023·山西吕梁·高一期末）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是．
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要防水漆，共需多少防水漆？
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；
（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解即可.
(1)
因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径，圆柱筒的高为2cm，所以两个半球的体积之和为，
圆柱的体积，∴该“浮球”的体积是；
(2)
根据题意，上下两个半球的表面积是，而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
∴“浮球”的表面积为；所以给100个这种浮球的表面涂一层防水漆需要.
20．(2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形ABCD中，，∠BAD=90°，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中的位置，使平面平面BCDE，得到四棱锥．当四棱锥的体积为，求a的值．
答案：.
【解析】
分析：
在直角梯形ABCD中，证明，在四棱锥中，由面面垂直的性质证得平面BCDE，再利用锥体体积公式计算作答.
【详解】
如图，在直角梯形中，连接，因E是AD的中点，，有，
则四边形是平行四边形，又，于是得是正方形，，
在四棱锥中，，因平面平面，且平面平面，
平面，因此平面，即是四棱锥的高，
显然，平行四边形的面积，
因此，四棱锥的体积为，解得，
所以a的值是6.
21．(2023·北京·高一期末）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵中，已知，，．当阳马体积等于时， 求：
(1)堑堵的侧棱长；
(2)鳖臑的体积；
(3)阳马的表面积．
答案：(1)
(2)
(3)
【解析】
分析：
（1）设堑堵的侧棱长为，根据阳马体积等于求解即可；
（2）根据棱锥的体积计算即可；
（3）分别计算的侧面积与底面积即可
(1)
因为，，，
所以．
所以△为直角三角形．
设堑堵的侧棱长为，则
，则，
所以，所以堑堵的侧棱长为．
(2)
因为，
所以．
所以鳖臑的体积为．
(3)
因为，，
，，
，所以阳马的表面积的表面积为．
22．(2023·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知，

(1)求该圆柱的表面积；
(2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；
（2）绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可
(1)
由题意知AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，且，
可得圆柱的底面圆的半径为，
则圆柱的底面积为，
圆柱的侧面积为
所以圆柱的表面积为．
(2)
由线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，
线段AD绕AB旋转一周所得的几何体为BD为底面半径，以AB为高的圆锥，
所以以绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为：
．
等级
24h降用量（mm）
小雨
（0，10）
中雨
[10，25）
大雨
[25，50）
暴雨
[50，100）
大暴雨
[100，250）
特大暴雨
[250，+∞）