湖南省常德市五校联考2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份湖南省常德市五校联考2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，解答题，四象限，y随x的增大而增大．等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2﹣2xy+y2＝0
C．5x+6＝8D．（x﹣3）2＝4
2．（3分）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限
B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
3．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，3cm，4cm，5cmB．10cm，16cm，5cm，8cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．9cm，8cm，15cm，10cm
4．（3分）若x1，x2是方程x2﹣7x﹣8＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝7B．x1+x2＝﹣7C．x1x2＝D．x1x2＝8
5．（3分）若点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），且AB＝6，则AP的长为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ）
A．4小时B．6小时C．8小时D．10小时
7．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y＝的图象为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，交FC的延长线于点D，交AF于点G，若平行四边形ABFC的面积为72，则S△AOG的面积为（ ）
A．5B．5.5C．6D．6.5
二.填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝ ．
10．（3分）若，则＝ ．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
12．（3分）已知三个点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）在反比例函数的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，则用“＜”将y1，y2，y3连接起来为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，若DE∥BC，，则BC的长为 cm．
14．（3分）如图，在函数的图象上任取一点A的图象于点B，连接OA、OB ．
15．（3分）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 人．
16．（3分）观察思考
结合图案中“”和“”的排列方式及规律，则第 个图案中“”的个数比“”的个数的3倍少35个．
三、解答题。
17．（8分）解方程．
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x（x﹣3）＝4x﹣12．
18．（6分）已知，且5x﹣3z＝18，求2z﹣3y+4x的值．
19．（6分）若关于x的方程 是一元二次方程．
①求m的值．
②若该方程有两个相等的实数根，求n的值及此时方程的根．
20．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，且BF＝AF．求证：△DCE∽△EBF．
21．（7分）今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏，每个盈利30元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，则每天可多售12件．如果每天要盈利2000元，则每个“抱竹熊猫”应降价多少元？
22．（7分）如图，王老师为测得学校操场上小树CD的高，他站在教室里的A点处，恰好能看见小树的整个树冠HD．经测量，窗口高EF＝1.4m，A，C两点在同一水平线上，A点距墙根G点1.6m，且A、G、C三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树CD的高．
23．（8分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，n）．
（1）求n，a与b的值；
（2）若，请直接写出x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
24．（8分）如图，△ABC中，AD是中线，且CE＝CD＝2，∠BAD＝∠ACE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）求线段AC的长．
25．（10分）如图．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（8，4），OA，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，OD与CB相交于点F，反比例函数，交AB于点G．
（1）填空：△OCF △OAB，k＝ ．
（2）连接FG，求证：△OAB∽△FBG．
（3）平面直角坐标系中是否存在一点M，使得O，F，G，M四点连接构成平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．
26．（6分）如图1所示，矩形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝6cm．动点E从点A出发，沿对角线AC以每秒2cm的速度向终点C运动，作点A关于DE的对称点F，连结EF、DF
（1）AC＝ cm，DF＝ cm．
（2）如图2，当E运动到使DF∥AC时，求t的值．
（3）当点F落在△ACD内部时，求t的取值范围．
2023-2024学年湖南省常德市五校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2﹣2xy+y2＝0
C．5x+6＝8D．（x﹣3）2＝4
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、x2+＝5不是一元二次方程；
B、x2﹣2xy+y5＝0不是一元二次方程，不符合题意；
C、5x+8＝8是一元一次方程；
D、（x﹣3）7＝4是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，解答关键是理解一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0．
2．（3分）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限
B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
【解答】解：A．∵k＝3＞0，第三象限，不符合题意；
B．∵，∴图象必经过点，不符合题意；
C．∵x≠0，∴图象不可能与坐标轴相交，不符合题意；
D．∵k＝3＞5，y随x的增大而减小，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，3cm，4cm，5cmB．10cm，16cm，5cm，8cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．9cm，8cm，15cm，10cm
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、∵3×5≠7×4，故不符合题意；
B、∵5×16＝6×10，故符合题意；
C、∵2×8≠7×6，故不符合题意；
D、∵8×15≠4×10，故不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
4．（3分）若x1，x2是方程x2﹣7x﹣8＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝7B．x1+x2＝﹣7C．x1x2＝D．x1x2＝8
【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可判断．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣7x﹣8＝6的两个根，
∴x1+x2＝5，x1x2＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系，若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
5．（3分）若点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），且AB＝6，则AP的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），且AB＝6，
∴AP＝AB＝﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
6．（3分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ）
A．4小时B．6小时C．8小时D．10小时
【分析】先分别设出正比例函数以及反比例函数解析式，代入点坐标，求出解析式；再令y＝6分别得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，
将（2，8）代入得：8＝2k，
解得：k＝2，
故直线解析式为：y＝2x，
当x≥6时，设反比例函数解析式为：y＝，
将（4，8）代入得：5＝，
解得：a＝32，
反比例函数解析式为：y＝；
当0≤x≤6时，令y＝4；
当x≥4时，令y＝8＝8；
∴6﹣2＝6（小时）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
7．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y＝的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题形数结合，根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k、b的符号；再由一次函数y＝﹣kx+b，反比例函数y＝中的系数符号，判断图象的位置．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．
【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k＞0．
所以﹣k＜0．
再根据一次函数和反比例函数的图象和性质，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的性质及数形结合思想的运用，故牢记函数的图象和性质是解题的关键．
8．（3分）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，交FC的延长线于点D，交AF于点G，若平行四边形ABFC的面积为72，则S△AOG的面积为（ ）
A．5B．5.5C．6D．6.5
【分析】利用平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，可得BE＝CE，即点E为BC的中点，由于点O为AC的中点，所以OE为△ABC的中位线，可得OE∥AB，且OE＝AB；利用OE∥AB可得，进而得出；利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得；利用AO＝OC，可得，利用△ABC≌△FCB，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABFC是平行四边形，
∴BE＝EC．
∵OA＝OC，
∴OE是△ABC的中位线．
∴OE＝AB．
∴．
∴．
∴，
∵AO＝OC，
∴，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴FC＝AB，FB＝AC．
在△ABC和△FCB中，
，
∴△ABC≌△FCB（SSS）．
∴S△ABC＝S△FCB＝＝36．
∴S＝＝＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，平行线的性质，三角形的面积，三角形全等的判定与性质．利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比是解题的关键．
二.填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝ ﹣1 ．
【分析】直接把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2+ax﹣2＝0得9+8a﹣6＝0，解得a＝﹣5．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（3分）若，则＝ 3 ．
【分析】根据比例的性质，由，得a＝3b，代入所求的式子即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴2a﹣3b＝a，
∴a＝2b，
∴＝＝3．
故答案为：7．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 m＜9 ．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，c＝m
∴Δ＝b2﹣7ac＝（﹣6）2﹣6×1×m＝36﹣4m＞2，
解得m＜9，
故答案为：m＜9．
【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
12．（3分）已知三个点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）在反比例函数的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，则用“＜”将y1，y2，y3连接起来为 y3＜y1＜y2 ．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣6＜5，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，y随x的增大而增大．
∵x1＜x2＜3＜x3，
∴（x1，y4），（x2，y2）两点在第二象限，点（x6，y3）在第四象限，
∴y3＜y3＜y2．
故答案为：y3＜y4＜y2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，若DE∥BC，，则BC的长为 15 cm．
【分析】根据DE∥BC得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵DE＝6cm，
∴BC＝15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在函数的图象上任取一点A的图象于点B，连接OA、OB 5 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．
【解答】解：∵点A在函数的图象上，
∴S△AOC＝×2＝7，
又∵点B在反比例函数的图象上，
∴S△BOC＝×8＝8，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1+4＝4，
故答案为：5．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
15．（3分）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 12 人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据“现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝169，
整理得：（5+x）2＝169，
解得：x1＝12，x8＝﹣14（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）观察思考
结合图案中“”和“”的排列方式及规律，则第 7或10 个图案中“”的个数比“”的个数的3倍少35个．
【分析】分别表示出第n个图案中“”和“”的个数，列出关于n的方程即可解决问题．
【解答】解：由所给图案可知，
第1个图案中的个数为：1＝8；
第2个图案中的个数为：3＝2+2；
第3个图案中的个数为：5＝1+2+2；
…，
所以第n个图案中的个数为：1+2+6+…+n＝．
第3个图案中的个数为：3＝1×7；
第2个图案中的个数为：6＝3×3；
第3个图案中的个数为：8＝3×3；
…，
所以第n个图案中的个数为：3n．
由题知，
，
解得n＝7或10．
故答案为：8或10．
【点评】本题考查图案变化的规律，能根据所给图案得出第n个图案中和的个数是解题的关键．
三、解答题。
17．（8分）解方程．
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x（x﹣3）＝4x﹣12．
【分析】（1）方程左边分解得到（x﹣5）（x+1）＝0，原方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先移项得到2x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，再方程左边分解得到（x﹣3）（2x﹣64）＝0，方程转化为x﹣3＝0或2x﹣4＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：①x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+5）＝0，
∴x﹣5＝5或x+1＝0，
∴x4＝5，x2＝﹣6；
②2x（x﹣3）＝2x﹣12．
移项得2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
∴（x﹣4）（2x﹣4）＝8，
∴x﹣3＝0或2x﹣4＝0，
∴x7＝3，x2＝7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
18．（6分）已知，且5x﹣3z＝18，求2z﹣3y+4x的值．
【分析】设＝k（k≠0），得出x＝3k，y＝5k，z＝2k，再根据5x﹣3z＝18，求出k的值，从而得出x、y、z的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：设＝k（k≠0），
则x＝3k，y＝8k，
∵5x﹣3z＝18，
∴15k﹣5k＝18，
∴k＝2，
∴x＝6，y＝10，
∴6z﹣3y+4x＝7﹣30+24＝2．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
19．（6分）若关于x的方程 是一元二次方程．
①求m的值．
②若该方程有两个相等的实数根，求n的值及此时方程的根．
【分析】①根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0且m2+1＝2，然后解不等式和方程得到满足条件的m的值；
②先写出原方程，再根据根的判别式的意义得到42﹣4×（﹣2）×n＝0，解此一次方程得到n的值，则原方程化为x2﹣2x+1＝0，然后利用配方法解一元二次方程即可．
【解答】解：①根据题意得m﹣1≠0且m8+1＝2，
解得m＝﹣6，
即m的值为﹣1；
②原一元二次方程为﹣2x8+4x+n＝0，
根据题意得Δ＝82﹣4×（﹣3）×n＝0，
解得n＝﹣2，
原方程化为x4﹣2x+1＝6，
解得x1＝x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
20．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，且BF＝AF．求证：△DCE∽△EBF．
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
设AB＝BC＝CD＝AD＝4a．
∵E为边BC的中点，点F在AB边上AF，
∴CE＝EB＝2a，BF＝a，
∴＝2，，
∴＝，
∴△DCE∽△EBF．
【点评】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
21．（7分）今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏，每个盈利30元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，则每天可多售12件．如果每天要盈利2000元，则每个“抱竹熊猫”应降价多少元？
【分析】设每个“抱竹熊猫”应降价x元，则每个盈利（30﹣x）元，根据每天要盈利2000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设每个“抱竹熊猫”应降价x元，则每个盈利（30﹣x）元×12＝（60+4x）（个），
由题意得：（30﹣x）（60+2x）＝2000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x6＝5，x2＝10（不符合题意，舍去），
答：每个“抱竹熊猫”应降价3元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（7分）如图，王老师为测得学校操场上小树CD的高，他站在教室里的A点处，恰好能看见小树的整个树冠HD．经测量，窗口高EF＝1.4m，A，C两点在同一水平线上，A点距墙根G点1.6m，且A、G、C三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树CD的高．
【分析】根据相似三角形求得线段HD的长度即可求得树高．
【解答】解：∵FG⊥AC，DC⊥AC，
∴FG∥DC，
∴△BEF∽△BDH，
∴
∵AG＝1.6米，CG＝4.8米
∴＝
解得：DH＝5.6，
∴小树CD的高为DH+HC＝4.6+1.4＝6.8米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据实际问题整理出相似三角形的模型．
23．（8分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，n）．
（1）求n，a与b的值；
（2）若，请直接写出x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
【分析】（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，求出k值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，然后利用待定系数法即可确定a、b的值；
（2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
（3）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可．
【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，
得k＝2×4＝4，
∴反比例函数为y＝，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝，
∴n＝＝﹣1，
∴B（﹣7，﹣1），
∵一次函数y＝ax+b的图象过点A（1，4），﹣1），
∴，
解得a＝1，b＝6；
（2）根据图象可知：的x的取值范围为﹣4＜x＜0或x＞6．
（3）如图，设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
当y＝0时，x＝﹣5，
∴C（﹣3，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×2+＝．
【点评】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
24．（8分）如图，△ABC中，AD是中线，且CE＝CD＝2，∠BAD＝∠ACE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）求线段AC的长．
【分析】（1）根据等边对等角可得∠CED＝∠CDE，根据相似三角形的判定即可证明△AEC∽△BDA；
（2）根据相似三角形的性质可得∠ABD＝∠CAE，推得∠BAC＝∠CED＝∠CDE，根据相似三角形的判定即可证明△ADC∽△BAC，相似三角形对应边成比例即可求解．
【解答】（1）证明：∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∴∠BDA＝∠CEA，
∵∠BAD＝∠ACE，
∴△ABD∽△CAE；
（2）解：△ABD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵∠BAD＝∠ACE，
∴∠BAD+∠EAC＝∠ACE+∠EAC，
∴∠BAC＝∠ACE+∠EAC，
又∵∠CED＝∠EAC+∠ACE，
∴∠BAC＝∠CED＝∠CDE，
∵∠BAC＝∠CDE，∠DAC＝∠B，
∴△ADC∽△BAC，
∴＝，
△ABC中，AD是中线，
∴BC＝2CD＝4，
∴＝，
∴AC＝2，
∴线段AC的长为2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（10分）如图．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（8，4），OA，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，OD与CB相交于点F，反比例函数，交AB于点G．
（1）填空：△OCF ∽ △OAB，k＝ 8 ．
（2）连接FG，求证：△OAB∽△FBG．
（3）平面直角坐标系中是否存在一点M，使得O，F，G，M四点连接构成平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）通过证明△OCF∽△OAB，可得，可求点F坐标；
（2）分别求出CF，BF，BG，AG的长，由相似三角形的判定定理可得结论；
（3）根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论．
【解答】（1）解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（8，
∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝4，
∵△ODE是△OAB旋转得到的，
即：△ODE≌△OAB，
∴∠COF＝∠AOB，
∴△COF∽△AOB，
∴，
∴，
∴CF＝5，
∴点F的坐标为（2，4），
∵y＝（x＞8）的图象经过点F，
∴k＝2×4＝4，
故答案为：∽，8；
（2）证明：∵点G在AB上，
∴点G的横坐标为8，
对于y＝，当x＝8，
∴点G的坐标为（8，5），
∴AG＝1，
∵BC＝OA＝8，CF＝3，
∴BF＝BC﹣CF＝6，BG＝AB﹣AG＝3，
∴＝，＝，
∴，
∵∠OAB＝∠FBG＝90°，
∴△OAB∽△FBG；
（3）解：存在，
设M（m，n），
∵点O，F，G，M四点连接构成平行四边形，
∴对角线互相平分，
当以OF，GM为对角线时，，
解得，
当以OG，FM为对角线时，，
解得，
当以OM，FG为对角线时，，
解得，
∴M（﹣6，5）或（6，5）．
【点评】本题是反比例函数综合运用，掌握三角形相似、等腰三角形的性质等知识是解题的关键．其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26．（6分）如图1所示，矩形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝6cm．动点E从点A出发，沿对角线AC以每秒2cm的速度向终点C运动，作点A关于DE的对称点F，连结EF、DF
（1）AC＝ 10 cm，DF＝ 6 cm．
（2）如图2，当E运动到使DF∥AC时，求t的值．
（3）当点F落在△ACD内部时，求t的取值范围．
【分析】（1）由勾股定理可求AC的长，由轴对称的性质可求DF的长；
（2）由折叠的性质和平行线的性质可证AD＝AE＝6cm，即可求解；
（3）利用特殊位置，求出t的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝8cm，
∴AC＝＝＝10（cm），
∵作点A关于DE的对称点F，
∴AD＝DF＝6（cm），
故答案为：10，6；
（2）∵作点A关于DE的对称点F，
∴AD＝DF＝4cm，AE＝EF，
∵DF∥AC，
∴∠EDF＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝6cm，
∴t＝＝3（s），
∴t的值为3；
（3）如图7，当点F落在AC上时，
∵S△ADC＝×AD•DC＝，
∴6×3＝10DH，
∴DH＝4.8（cm），
∴AH＝＝＝3.3（cm），
∴t＝＝s，
如图4，当点F落在DC上时，
∵作点A关于DE的对称点F，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵EN⊥AD，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴DN＝NE，
∵∠NAE＝∠NAE，∠ADC＝∠ANE＝90°，
∴△ANE∽△ADC，
∴，
∴＝，
∴NE＝，AE＝，
∴t＝＝（s），
∴当＜t＜时．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，利用特殊位置求取值范围是解题的关键．