2023-2024学年江苏省南京外国语学校九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省南京外国语学校九年级（上）期中数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是
A B C D
2．（3分）已知的半径为3，为线段的中点，则当时，点与的位置关系为
A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定
3．（3分）一元二次方程的根为
A．B．C．，D．
4．（3分）抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
5．（3分）圆锥底面半径是，母线是，则圆锥侧面积是
A．B．C．D．
6．（3分）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为
A．B．C．D．
7．（3分）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为
A．B．3C．4D．
8．（3分）如图是二次函数图像的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是
A．①②③B．②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）方程的解是 ．
10．（3分）四边形内接于圆，若，则 度．
11．（3分）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为 （结果保留．
12．（3分）一元二次方程的两根为、，则的值是 ．
13．（3分）抛物线沿轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式
是 ．
14．（3分）如图，是的直径，弦于点，若，，则弦的长是 ．
15．（3分）如图，半径为4的与含有角的直角三角板的边切于点，将直角三角板沿边所在的直线向左平移，当平移到与相切时，该直角三角板平移的距离为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共52分）
17．（10分）解方程：（1）．
（2）．
18．（10分）如图，在中，，
（1）求作，使圆心在上，且与，都相切；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，．求的半径．
19．（10分）如图，是的直径，且，点为的延长线上一点，过点作的切线，，切点分别为点，．
（1）连接，若，试证明是等腰三角形；
（2）填空：
①当 时，四边形是菱形；
②当 时，四边形是正方形．
20．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
21．（12分）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）求面积与面积的比；
（3）若是轴上一个动点，过作射线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江苏省南京外国语学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
17．解：（1）．
，
，
或，
，．
（2），
．
，
或，
，．
18．解：（1）如图所示．
（2）设的半径为，与相切于点，连接，则，
在中，，
与，都相切，，
.
在中，，
解得，
∴的半径为．
19.解：（1）连接，
是的切线，.
在中，，
.
，
，是等腰三角形．
（2）①1
②
20．解：（1）设每件衬衫降价元，商场平均每天盈利元，
则，
当时，，
解得，，
经检验，，都是原方程的解，但要尽快减少库存，
∴，
答：每件衬衫应降价20元.
（2），
当时，的最大值为1250.
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
21．解：（1）设抛物线表达式为，
抛物线过点，
，，
抛物线表达式为.
，．
（2）如图1，连接，，，作轴于，
，．
（3）存在，理由如下：
①如图2，当在轴下方时，作轴于，
四边形为平行四边形，
平行且相等，
，，
，解得或（与点重合，舍去），
．
②如图3，当在轴上方时，作轴于，
四边形为平行四边形，
平行且相等，
，，
，解得或，
，或，．
综上所述，点为或，或，．
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B
A
C
A
C
C
A
C
9.， 10.70 11. 12. 13. 14.
15. 16.