还剩23页未读，
继续阅读
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区郑和外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区郑和外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区郑和外国语学校九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣2＝0 B．2x2﹣x＝0 C．x2+y＝0 D．
2．数据2，5，4，﹣3，﹣1的极差是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
4．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
5．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AE与BG交于点P，则∠APG的度数为（ ）
A．108° B．112.5° C．120° D．135°
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC＝3．将沿着BC折叠后恰好经过点O，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．5
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
7．方程x2＝2的解是 ．
8．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是 ．
9．若一个正方形的外接圆的半径是3，则这个正方形的边长是 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AE＝4，BE＝6，则CD的长为 ．
11．小王前三次打靶的成绩如图所示，他第四次打靶的成绩是a环，且这四次成绩的中位数恰好也是众数，则a＝ ．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝ °．
13．在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D＝ 度．
14．在平面直角坐标系中，一个圆经过O（0，0），A（3，9），B（6，0）三点，则该圆的圆心的坐标是 ．
15．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，与OA的延长线交于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为 ．
16．如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．
18．解方程：（x+1）2＝5x+5．
19．（1）若关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p为常数）有两个不相等的实数根，求p的取值范围；
（2）关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
20．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
21．A，B两家餐饮店规模相当，国庆假期1～8日的日盈利情况如图所示．
（1）分别求这两家餐饮店国庆假期的日平均盈利；
（2）若A，B两家餐饮店国庆假期的日盈利的方差分别是s2A和s2B，则s2A s2B（填“＞”、“＝”、“＜”）．
22．某市有A、B两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩．
（1）甲去A公园游玩的概率是 ；
（2）求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆外，请用无刻度的直尺画出半圆的圆心O（保留画图痕迹，不写画法）．
24．阅读下面解方程的途径．
（1）按照图1途径，填写图2的空格．
（2）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝2（a、b、c均为常数），求关于x的方程a（kx+m）2+b（kx+m）+c＝0（k、m为常数，k≠0）的解（用含k、m的代数式表示）．
25．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．
（1）求证∠C＝2∠A；
（2）若PC＝2OP，AP＝，则⊙O的半径长为 ．
26．某企业今年1月份生产甲、乙、丙三种不同类型的口罩共70万个，其中甲种口罩的产量是乙种口罩的2倍，乙种口罩比丙种口罩多10万个．为了应对“新冠”疫情，该企业决定迅速扩大产能，在接下来的两个月中，乙种口罩产量的月平均增长率比甲种口罩产量的月平均增长率小1，丙种口罩产量的月平均增长率是甲种口罩产量的月平均增长率的2倍．3月份该企业口罩总产量是690万个．
（1）1月份该企业分别生产甲、乙、丙三种口罩 万个、 万个、 万个；
（2）求甲种口罩产量的月平均增长率．
27．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点．
（1）若AC＝6，则BC的长是 ；
（2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长；
②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长．
参考答案
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣2＝0 B．2x2﹣x＝0 C．x2+y＝0 D．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义判断即可．
解：2x﹣2＝0是一元一次方程，故A不符合题意；
2x2﹣2x＝0是一元二次方程，故B符合题意；
x2+y＝0是二元二次方程，故C不符合题意；
＝2是分式方程，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．数据2，5，4，﹣3，﹣1的极差是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据极差的定义即可求得．
解：极差为：5﹣（﹣3）＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解：∵x2﹣2x﹣4＝0
∴x2﹣2x＝4
∴x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的解法﹣﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣2，结论C错误；
D、由x1•x2＝﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误．
综上即可得出结论．
解：A∵Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，
∴x1•x2＝﹣2，结论C错误；
D、∵x1•x2＝﹣2，
∴x1、x2异号，结论D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AE与BG交于点P，则∠APG的度数为（ ）
A．108° B．112.5° C．120° D．135°
【分析】根据多边形的内角和定理及正多边形的性质可求解∠PAH，∠HGP，∠AHG，再利用四边形的内角和为360°可计算求解．
解：在正八边形ABCDEFGH中，AE平分∠BAH，BG⊥GF，
∴∠BAH＝∠AHG＝∠HGF＝
∴∠PAH＝∠BAH＝67.5°，∠BGF＝90°，
∴∠HGP＝∠HGF﹣∠BGF＝45°，
∵四边形APGH的内角和为360°，
∴∠APG＝360°﹣45°﹣67.5°﹣135°＝112.5°，
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，正多边形的性质，掌握相关定理是解题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC＝3．将沿着BC折叠后恰好经过点O，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．5
【分析】过点O作OH⊥BC于H．将沿着BC折叠后恰好经过点O，推出OH＝OB，推出∠OBH＝30°，再结合勾股定理求解即可．
解：过点O作OH⊥BC于H．
∵将沿着BC折叠后恰好经过点O，
∴OH＝OB，
∴∠OBH＝30°，
∵OH⊥BC，
∴BH＝BC＝，
在Rt△OBH中，OH2+BH2＝OB2，
∴OB2+＝OB2，
∴OB＝（负根已经舍弃），
∴AB＝2OB＝2，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
7．方程x2＝2的解是 x1＝﹣，x2＝ ．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
解：x2＝2，
x＝±，
x1＝﹣，x2＝．
故答案为：x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，注意：
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
8．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是 6 ．
【分析】先把x＝2代入方程，可得关于m的一元一次方程，解即可．
解：把x＝2代入方程，得
4﹣2m+8＝0，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入．
9．若一个正方形的外接圆的半径是3，则这个正方形的边长是 3 ．
【分析】由正四边形的中心角为90°，根据勾股定理可求得正方形的边长．
解：∵正方形ABCD的半径是3，
∴OB＝OC＝3，∠BOC＝＝90°，
∴BC＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，熟记正多边形的边数和中心角的关系是解决问题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AE＝4，BE＝6，则CD的长为 2 ．
【分析】根据切线长定理得：AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，再利用勾股定理列方程可得CD的长．
解：∵Rt△ABC的内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，
∴AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，
∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（4+CD）2+（CD+6）2＝（4+6）2，
解得：CD＝﹣12（舍）或2，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11．小王前三次打靶的成绩如图所示，他第四次打靶的成绩是a环，且这四次成绩的中位数恰好也是众数，则a＝ 8 ．
【分析】根据统计图中的数据和题意，由中位数和众数的定义可以得到a的值，本题得以解决．
解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
∵第四次打靶的成绩是a环，这四次成绩的中位数恰好也是众数，
∴a＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝ 150 °．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到＝2π•5，然后解关于θ的方程即可．
解：根据题意得＝2π•5，
解得θ＝150．
故答案为150．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D＝ 100 度．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D＝∠A+∠C＝180°，再根据∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6分别计算出∠A、∠B、∠C的度数，进而可得∠D的度数．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D＝∠A+∠C＝180°，
∵∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，
∴∠A＝180°×＝60°，∠C＝180°×＝120°，
∠B＝180°×＝80°，
∴∠D＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．
14．在平面直角坐标系中，一个圆经过O（0，0），A（3，9），B（6，0）三点，则该圆的圆心的坐标是 （3，4） ．
【分析】由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心O′（3，m），根据半径相等构建方程求解即可．
解：由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，
设圆心O′（3，m），则有32+m2＝（9﹣m）2，
解得m＝4，
∴圆心O′（3，4），
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型．
15．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，与OA的延长线交于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为 2 ．
【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，解直角三角形即可得到结论．
解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBO＝90°，
∵OB＝2，
∴BD＝OB＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．
16．如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为 ．
【分析】先根据圆周角定理判断点Q在以AD为直径的圆上，连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，连接MO并延长交⊙M于Q′，则当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，连接OD，再利用勾股定理计算出DE、AD、OM，然后计算OQ′即可．
解：∵AQ⊥PD，垂足为Q，
∴∠AQD＝90°，
∴点Q在以AD为直径的圆上，
连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，
连接MO并延长交⊙M于Q′，
当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，
连接OD，
在Rt△ODE中，
∵OD＝OB＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝4，
∴MA＝MQ′＝2，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，
∴OQ的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
三、解答题
17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
解：移项，得
x2﹣2x＝2，
配方，得
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
开方，得
x﹣1＝±．
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
18．解方程：（x+1）2＝5x+5．
【分析】利用因式分解法求解可得．
解：∵（x+1）2＝5（x+1），
∴（x+1）2﹣5（x+1）＝0，
则（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．（1）若关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p为常数）有两个不相等的实数根，求p的取值范围；
（2）关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】（1）先把方程（x﹣1）（x﹣2）﹣p＝0化为x2﹣3x+2﹣p＝0，再根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＝9﹣8+4p＞0，解不等式求出p的取值范围；
（2）先把方程（x﹣3）（x+2）＝p2化为x2﹣x﹣6﹣p2＝0，再根据Δ＝25+4p2＞0可得方程有两个不相等的实数根，由﹣6﹣p2＜0即可得出结论．
解：（1）方程（x﹣3）（x﹣2）＝p可化为x2﹣5x+6﹣p＝0，
这里a＝1，b＝﹣5，c＝6﹣p，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p）＝25﹣24+4p＞0，
∴p＞﹣，即满足条件的p的取值范围为p＞﹣；
（2）方程（x﹣3）（x+2）＝p2可化为x2﹣x﹣6﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝25+4p2＞0，
∴方程有两不相等的实数根，
设方程两根为x1、x2，
∵x1•x2＝﹣6﹣p2＜0，
∴方程有一个正根，一个负根，
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
20．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润＝1250，根据等量关系列出方程即可．
解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得：x1＝x2＝15，
答：衬衫的单价降了15元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
21．A，B两家餐饮店规模相当，国庆假期1～8日的日盈利情况如图所示．
（1）分别求这两家餐饮店国庆假期的日平均盈利；
（2）若A，B两家餐饮店国庆假期的日盈利的方差分别是s2A和s2B，则s2A ＜ s2B（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】（1）根据平均数的计算公式进行计算即可得出答案；
（2）根据方差的意义即可得出答案．
解：（1）A餐饮店的平均盈利是：＝6.5（万元），
B餐饮店的平均盈利是：＝6.4（万元）；
（2）根据折线统计图的波动情况可以看出，s2A＜s2B；
故答案为：＜．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
22．某市有A、B两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩．
（1）甲去A公园游玩的概率是 ；
（2）求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率．
【分析】（1）两个不同的公园，选择一个恰好为A的概率为；
（2）利用列举方法找出所有的可能情况，再找三位同学恰好在同一个公园游玩的情况个数，即可求出所求的概率．
解：（1）甲去A公园游玩的概率＝，
故答案为：；
（2）共有8种可能的结果：（A，A，A）、（A，A，B）、（A，B，A）、（A，B，B）、（B，A，A）、（B，A，B）、（B，B，A）、（B，B，B）．它们是等可能的，记“三位同学恰好在同一个公园游玩”为事件A，事件A发生的可能有2种，
∴P（A）＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆外，请用无刻度的直尺画出半圆的圆心O（保留画图痕迹，不写画法）．
【分析】设AB交⊙O于E，AC交⊙O于F，连接EC，BF，EC交BF于点J，作直线AJ交BC于点O，点O即为所求．
解：如图，点O即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．阅读下面解方程的途径．
（1）按照图1途径，填写图2的空格．
（2）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝2（a、b、c均为常数），求关于x的方程a（kx+m）2+b（kx+m）+c＝0（k、m为常数，k≠0）的解（用含k、m的代数式表示）．
【分析】（1）①利用因式分解法求得方程的解；②把x﹣1看作①的x，即可得到x﹣1＝0或x﹣1＝﹣1；③解一元一次方程即可求得方程的解；
（2）按照图1途径得到kx+m＝1或kx+m＝2，然后解关于x的一元一次方程即可．
解：（1）①x1＝0，x2＝﹣1；
②x﹣1＝0或x﹣1＝﹣1；
③x1＝1，x2＝0；
（2）由题意得：kx+m＝1或kx+m＝2，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法求一元二次方程，根据题意得出新方程中一元一次方程是解题的关键．
25．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．
（1）求证∠C＝2∠A；
（2）若PC＝2OP，AP＝，则⊙O的半径长为 ．
【分析】（1）根据切线的性质得∠OBC＝90°，则∠1+∠2＝90°，再利用等量代换证明∠2＝∠4，利用三角形的内角和得到∠C+∠2+∠4＝180°，把∠2＝∠4＝∠3＝90°﹣∠A代入得到∠C＝2∠A；
（2）先证明CB＝CP，设OP＝x，则CB＝CP＝2x，利用勾股定理表示出OB＝x，则OA＝x，在Rt△AOP中，利用勾股定理得到（x）2+x2＝（）2，然后解方程求出x，最后计算x即可．
【解答】（1）证明：如图，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
即∠1+∠2＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠3＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠A，
又∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∵∠C+∠2+∠4＝180°，
即∠C+2∠3＝180°，
∴∠C+2（90°﹣∠A）＝180°，
∴∠C＝2∠A；
（2）解：∵∠2＝∠4，
∴CB＝CP，
设OP＝x，则CB＝CP＝2x，
在Rt△OBC中，OB＝＝x，
∴OA＝x，
在Rt△AOP中，（x）2+x2＝（）2，解得x＝，
∴OA＝x＝，
即⊙O的半径长为．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
26．某企业今年1月份生产甲、乙、丙三种不同类型的口罩共70万个，其中甲种口罩的产量是乙种口罩的2倍，乙种口罩比丙种口罩多10万个．为了应对“新冠”疫情，该企业决定迅速扩大产能，在接下来的两个月中，乙种口罩产量的月平均增长率比甲种口罩产量的月平均增长率小1，丙种口罩产量的月平均增长率是甲种口罩产量的月平均增长率的2倍．3月份该企业口罩总产量是690万个．
（1）1月份该企业分别生产甲、乙、丙三种口罩 40 万个、 20 万个、 10 万个；
（2）求甲种口罩产量的月平均增长率．
【分析】（1）设1月份该企业生产丙种口罩x万个，则生产乙种口罩（x+10）万个，生产甲种口罩2（x+10）万个，根据该企业今年1月份生产甲、乙、丙三种不同类型的口罩共70万个，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设甲种口罩产量的月平均增长率为m，则乙种口罩产量的月平均增长率为（m﹣1），丙种口罩产量的月平均增长率为2m，根据该企业1月份及3月份生产口罩的总数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设1月份该企业生产丙种口罩x万个，则生产乙种口罩（x+10）万个，生产甲种口罩2（x+10）万个，
依题意，得：2（x+10）+（x+10）+x＝70，
解得：x＝10，
∴x+10＝20，2（x+10）＝40．
故答案为：40；20；10．
（2）设甲种口罩产量的月平均增长率为m，则乙种口罩产量的月平均增长率为（m﹣1），丙种口罩产量的月平均增长率为2m，
依题意，得：40（1+m）2+20（1+m﹣1）2+10（1+2m）2＝690，
化简，得：5m2+6m﹣32＝0，
解得：m1＝2＝200%，m2＝﹣（不合题意，舍去）．
答：甲种口罩产量的月平均增长率为200%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
27．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点．
（1）若AC＝6，则BC的长是 2 ；
（2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长；
②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长．
【分析】（1）如图1中，连接AC，利用勾股定理计算即可．
（2）①如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4．设DH＝x，则OH＝4﹣x，利用勾股定理构建方程求出x，即可解决问题．
②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I．想办法求出DH，EI，AC即可解决问题．
解：（1）如图1中，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2．
故答案为2．
（2）如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4．
∵D是的中点，
∴＝，
∴CD＝AD＝2，OD垂直平分线段AC，
设DH＝x，则OH＝4﹣x，
∵AC⊥OD，
∴∠CHD＝∠CHO＝90°，
∴CD2﹣DH2＝CO2﹣OH2，
∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，
解得x＝，
∴CH＝＝＝，
∵OD垂直平分AC，
∴AC＝2CH＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝7．
②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I．
∵D，E，C是的三等分点，
∴＝＝，
∴EC＝DE＝AD＝2，∠DEA＝∠EAC，
∴DE∥AC，
∵∠H＝∠I＝90°，
∴∠HAC＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AHIC是矩形，
∴AH＝CI，AC＝HI，
∵AD＝CE，∠H＝∠I＝90°，
∴Rt△AHD≌Rt△CIE（HL），
∴EI＝DH，设DH＝x，则HE＝x+2，
∵∠H＝90°，
∴AE2﹣EH2＝AH2＝AD2﹣DH2，
∴（）2﹣（x+2）2＝22﹣x2，
解得x＝，
∵EI＝DH＝，
∴HI＝DH+DE+EI＝+2+＝，
∴AC＝HI＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区郑和外国语学校九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣2＝0 B．2x2﹣x＝0 C．x2+y＝0 D．
2．数据2，5，4，﹣3，﹣1的极差是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
4．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
5．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AE与BG交于点P，则∠APG的度数为（ ）
A．108° B．112.5° C．120° D．135°
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC＝3．将沿着BC折叠后恰好经过点O，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．5
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
7．方程x2＝2的解是 ．
8．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是 ．
9．若一个正方形的外接圆的半径是3，则这个正方形的边长是 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AE＝4，BE＝6，则CD的长为 ．
11．小王前三次打靶的成绩如图所示，他第四次打靶的成绩是a环，且这四次成绩的中位数恰好也是众数，则a＝ ．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝ °．
13．在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D＝ 度．
14．在平面直角坐标系中，一个圆经过O（0，0），A（3，9），B（6，0）三点，则该圆的圆心的坐标是 ．
15．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，与OA的延长线交于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为 ．
16．如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．
18．解方程：（x+1）2＝5x+5．
19．（1）若关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p为常数）有两个不相等的实数根，求p的取值范围；
（2）关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
20．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
21．A，B两家餐饮店规模相当，国庆假期1～8日的日盈利情况如图所示．
（1）分别求这两家餐饮店国庆假期的日平均盈利；
（2）若A，B两家餐饮店国庆假期的日盈利的方差分别是s2A和s2B，则s2A s2B（填“＞”、“＝”、“＜”）．
22．某市有A、B两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩．
（1）甲去A公园游玩的概率是 ；
（2）求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆外，请用无刻度的直尺画出半圆的圆心O（保留画图痕迹，不写画法）．
24．阅读下面解方程的途径．
（1）按照图1途径，填写图2的空格．
（2）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝2（a、b、c均为常数），求关于x的方程a（kx+m）2+b（kx+m）+c＝0（k、m为常数，k≠0）的解（用含k、m的代数式表示）．
25．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．
（1）求证∠C＝2∠A；
（2）若PC＝2OP，AP＝，则⊙O的半径长为 ．
26．某企业今年1月份生产甲、乙、丙三种不同类型的口罩共70万个，其中甲种口罩的产量是乙种口罩的2倍，乙种口罩比丙种口罩多10万个．为了应对“新冠”疫情，该企业决定迅速扩大产能，在接下来的两个月中，乙种口罩产量的月平均增长率比甲种口罩产量的月平均增长率小1，丙种口罩产量的月平均增长率是甲种口罩产量的月平均增长率的2倍．3月份该企业口罩总产量是690万个．
（1）1月份该企业分别生产甲、乙、丙三种口罩 万个、 万个、 万个；
（2）求甲种口罩产量的月平均增长率．
27．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点．
（1）若AC＝6，则BC的长是 ；
（2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长；
②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长．
参考答案
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣2＝0 B．2x2﹣x＝0 C．x2+y＝0 D．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义判断即可．
解：2x﹣2＝0是一元一次方程，故A不符合题意；
2x2﹣2x＝0是一元二次方程，故B符合题意；
x2+y＝0是二元二次方程，故C不符合题意；
＝2是分式方程，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．数据2，5，4，﹣3，﹣1的极差是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据极差的定义即可求得．
解：极差为：5﹣（﹣3）＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解：∵x2﹣2x﹣4＝0
∴x2﹣2x＝4
∴x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的解法﹣﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣2，结论C错误；
D、由x1•x2＝﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误．
综上即可得出结论．
解：A∵Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，
∴x1•x2＝﹣2，结论C错误；
D、∵x1•x2＝﹣2，
∴x1、x2异号，结论D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AE与BG交于点P，则∠APG的度数为（ ）
A．108° B．112.5° C．120° D．135°
【分析】根据多边形的内角和定理及正多边形的性质可求解∠PAH，∠HGP，∠AHG，再利用四边形的内角和为360°可计算求解．
解：在正八边形ABCDEFGH中，AE平分∠BAH，BG⊥GF，
∴∠BAH＝∠AHG＝∠HGF＝
∴∠PAH＝∠BAH＝67.5°，∠BGF＝90°，
∴∠HGP＝∠HGF﹣∠BGF＝45°，
∵四边形APGH的内角和为360°，
∴∠APG＝360°﹣45°﹣67.5°﹣135°＝112.5°，
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，正多边形的性质，掌握相关定理是解题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC＝3．将沿着BC折叠后恰好经过点O，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．5
【分析】过点O作OH⊥BC于H．将沿着BC折叠后恰好经过点O，推出OH＝OB，推出∠OBH＝30°，再结合勾股定理求解即可．
解：过点O作OH⊥BC于H．
∵将沿着BC折叠后恰好经过点O，
∴OH＝OB，
∴∠OBH＝30°，
∵OH⊥BC，
∴BH＝BC＝，
在Rt△OBH中，OH2+BH2＝OB2，
∴OB2+＝OB2，
∴OB＝（负根已经舍弃），
∴AB＝2OB＝2，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
7．方程x2＝2的解是 x1＝﹣，x2＝ ．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
解：x2＝2，
x＝±，
x1＝﹣，x2＝．
故答案为：x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，注意：
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
8．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是 6 ．
【分析】先把x＝2代入方程，可得关于m的一元一次方程，解即可．
解：把x＝2代入方程，得
4﹣2m+8＝0，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入．
9．若一个正方形的外接圆的半径是3，则这个正方形的边长是 3 ．
【分析】由正四边形的中心角为90°，根据勾股定理可求得正方形的边长．
解：∵正方形ABCD的半径是3，
∴OB＝OC＝3，∠BOC＝＝90°，
∴BC＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，熟记正多边形的边数和中心角的关系是解决问题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AE＝4，BE＝6，则CD的长为 2 ．
【分析】根据切线长定理得：AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，再利用勾股定理列方程可得CD的长．
解：∵Rt△ABC的内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，
∴AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，
∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（4+CD）2+（CD+6）2＝（4+6）2，
解得：CD＝﹣12（舍）或2，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11．小王前三次打靶的成绩如图所示，他第四次打靶的成绩是a环，且这四次成绩的中位数恰好也是众数，则a＝ 8 ．
【分析】根据统计图中的数据和题意，由中位数和众数的定义可以得到a的值，本题得以解决．
解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
∵第四次打靶的成绩是a环，这四次成绩的中位数恰好也是众数，
∴a＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝ 150 °．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到＝2π•5，然后解关于θ的方程即可．
解：根据题意得＝2π•5，
解得θ＝150．
故答案为150．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D＝ 100 度．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D＝∠A+∠C＝180°，再根据∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6分别计算出∠A、∠B、∠C的度数，进而可得∠D的度数．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D＝∠A+∠C＝180°，
∵∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，
∴∠A＝180°×＝60°，∠C＝180°×＝120°，
∠B＝180°×＝80°，
∴∠D＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．
14．在平面直角坐标系中，一个圆经过O（0，0），A（3，9），B（6，0）三点，则该圆的圆心的坐标是 （3，4） ．
【分析】由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心O′（3，m），根据半径相等构建方程求解即可．
解：由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，
设圆心O′（3，m），则有32+m2＝（9﹣m）2，
解得m＝4，
∴圆心O′（3，4），
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型．
15．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，与OA的延长线交于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为 2 ．
【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，解直角三角形即可得到结论．
解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBO＝90°，
∵OB＝2，
∴BD＝OB＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．
16．如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为 ．
【分析】先根据圆周角定理判断点Q在以AD为直径的圆上，连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，连接MO并延长交⊙M于Q′，则当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，连接OD，再利用勾股定理计算出DE、AD、OM，然后计算OQ′即可．
解：∵AQ⊥PD，垂足为Q，
∴∠AQD＝90°，
∴点Q在以AD为直径的圆上，
连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，
连接MO并延长交⊙M于Q′，
当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，
连接OD，
在Rt△ODE中，
∵OD＝OB＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝4，
∴MA＝MQ′＝2，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，
∴OQ的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
三、解答题
17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
解：移项，得
x2﹣2x＝2，
配方，得
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
开方，得
x﹣1＝±．
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
18．解方程：（x+1）2＝5x+5．
【分析】利用因式分解法求解可得．
解：∵（x+1）2＝5（x+1），
∴（x+1）2﹣5（x+1）＝0，
则（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．（1）若关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p为常数）有两个不相等的实数根，求p的取值范围；
（2）关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】（1）先把方程（x﹣1）（x﹣2）﹣p＝0化为x2﹣3x+2﹣p＝0，再根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＝9﹣8+4p＞0，解不等式求出p的取值范围；
（2）先把方程（x﹣3）（x+2）＝p2化为x2﹣x﹣6﹣p2＝0，再根据Δ＝25+4p2＞0可得方程有两个不相等的实数根，由﹣6﹣p2＜0即可得出结论．
解：（1）方程（x﹣3）（x﹣2）＝p可化为x2﹣5x+6﹣p＝0，
这里a＝1，b＝﹣5，c＝6﹣p，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p）＝25﹣24+4p＞0，
∴p＞﹣，即满足条件的p的取值范围为p＞﹣；
（2）方程（x﹣3）（x+2）＝p2可化为x2﹣x﹣6﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝25+4p2＞0，
∴方程有两不相等的实数根，
设方程两根为x1、x2，
∵x1•x2＝﹣6﹣p2＜0，
∴方程有一个正根，一个负根，
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
20．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润＝1250，根据等量关系列出方程即可．
解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得：x1＝x2＝15，
答：衬衫的单价降了15元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
21．A，B两家餐饮店规模相当，国庆假期1～8日的日盈利情况如图所示．
（1）分别求这两家餐饮店国庆假期的日平均盈利；
（2）若A，B两家餐饮店国庆假期的日盈利的方差分别是s2A和s2B，则s2A ＜ s2B（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】（1）根据平均数的计算公式进行计算即可得出答案；
（2）根据方差的意义即可得出答案．
解：（1）A餐饮店的平均盈利是：＝6.5（万元），
B餐饮店的平均盈利是：＝6.4（万元）；
（2）根据折线统计图的波动情况可以看出，s2A＜s2B；
故答案为：＜．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
22．某市有A、B两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩．
（1）甲去A公园游玩的概率是 ；
（2）求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率．
【分析】（1）两个不同的公园，选择一个恰好为A的概率为；
（2）利用列举方法找出所有的可能情况，再找三位同学恰好在同一个公园游玩的情况个数，即可求出所求的概率．
解：（1）甲去A公园游玩的概率＝，
故答案为：；
（2）共有8种可能的结果：（A，A，A）、（A，A，B）、（A，B，A）、（A，B，B）、（B，A，A）、（B，A，B）、（B，B，A）、（B，B，B）．它们是等可能的，记“三位同学恰好在同一个公园游玩”为事件A，事件A发生的可能有2种，
∴P（A）＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆外，请用无刻度的直尺画出半圆的圆心O（保留画图痕迹，不写画法）．
【分析】设AB交⊙O于E，AC交⊙O于F，连接EC，BF，EC交BF于点J，作直线AJ交BC于点O，点O即为所求．
解：如图，点O即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．阅读下面解方程的途径．
（1）按照图1途径，填写图2的空格．
（2）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝2（a、b、c均为常数），求关于x的方程a（kx+m）2+b（kx+m）+c＝0（k、m为常数，k≠0）的解（用含k、m的代数式表示）．
【分析】（1）①利用因式分解法求得方程的解；②把x﹣1看作①的x，即可得到x﹣1＝0或x﹣1＝﹣1；③解一元一次方程即可求得方程的解；
（2）按照图1途径得到kx+m＝1或kx+m＝2，然后解关于x的一元一次方程即可．
解：（1）①x1＝0，x2＝﹣1；
②x﹣1＝0或x﹣1＝﹣1；
③x1＝1，x2＝0；
（2）由题意得：kx+m＝1或kx+m＝2，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法求一元二次方程，根据题意得出新方程中一元一次方程是解题的关键．
25．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．
（1）求证∠C＝2∠A；
（2）若PC＝2OP，AP＝，则⊙O的半径长为 ．
【分析】（1）根据切线的性质得∠OBC＝90°，则∠1+∠2＝90°，再利用等量代换证明∠2＝∠4，利用三角形的内角和得到∠C+∠2+∠4＝180°，把∠2＝∠4＝∠3＝90°﹣∠A代入得到∠C＝2∠A；
（2）先证明CB＝CP，设OP＝x，则CB＝CP＝2x，利用勾股定理表示出OB＝x，则OA＝x，在Rt△AOP中，利用勾股定理得到（x）2+x2＝（）2，然后解方程求出x，最后计算x即可．
【解答】（1）证明：如图，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
即∠1+∠2＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠3＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠A，
又∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∵∠C+∠2+∠4＝180°，
即∠C+2∠3＝180°，
∴∠C+2（90°﹣∠A）＝180°，
∴∠C＝2∠A；
（2）解：∵∠2＝∠4，
∴CB＝CP，
设OP＝x，则CB＝CP＝2x，
在Rt△OBC中，OB＝＝x，
∴OA＝x，
在Rt△AOP中，（x）2+x2＝（）2，解得x＝，
∴OA＝x＝，
即⊙O的半径长为．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
26．某企业今年1月份生产甲、乙、丙三种不同类型的口罩共70万个，其中甲种口罩的产量是乙种口罩的2倍，乙种口罩比丙种口罩多10万个．为了应对“新冠”疫情，该企业决定迅速扩大产能，在接下来的两个月中，乙种口罩产量的月平均增长率比甲种口罩产量的月平均增长率小1，丙种口罩产量的月平均增长率是甲种口罩产量的月平均增长率的2倍．3月份该企业口罩总产量是690万个．
（1）1月份该企业分别生产甲、乙、丙三种口罩 40 万个、 20 万个、 10 万个；
（2）求甲种口罩产量的月平均增长率．
【分析】（1）设1月份该企业生产丙种口罩x万个，则生产乙种口罩（x+10）万个，生产甲种口罩2（x+10）万个，根据该企业今年1月份生产甲、乙、丙三种不同类型的口罩共70万个，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设甲种口罩产量的月平均增长率为m，则乙种口罩产量的月平均增长率为（m﹣1），丙种口罩产量的月平均增长率为2m，根据该企业1月份及3月份生产口罩的总数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设1月份该企业生产丙种口罩x万个，则生产乙种口罩（x+10）万个，生产甲种口罩2（x+10）万个，
依题意，得：2（x+10）+（x+10）+x＝70，
解得：x＝10，
∴x+10＝20，2（x+10）＝40．
故答案为：40；20；10．
（2）设甲种口罩产量的月平均增长率为m，则乙种口罩产量的月平均增长率为（m﹣1），丙种口罩产量的月平均增长率为2m，
依题意，得：40（1+m）2+20（1+m﹣1）2+10（1+2m）2＝690，
化简，得：5m2+6m﹣32＝0，
解得：m1＝2＝200%，m2＝﹣（不合题意，舍去）．
答：甲种口罩产量的月平均增长率为200%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
27．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点．
（1）若AC＝6，则BC的长是 2 ；
（2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长；
②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长．
【分析】（1）如图1中，连接AC，利用勾股定理计算即可．
（2）①如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4．设DH＝x，则OH＝4﹣x，利用勾股定理构建方程求出x，即可解决问题．
②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I．想办法求出DH，EI，AC即可解决问题．
解：（1）如图1中，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2．
故答案为2．
（2）如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4．
∵D是的中点，
∴＝，
∴CD＝AD＝2，OD垂直平分线段AC，
设DH＝x，则OH＝4﹣x，
∵AC⊥OD，
∴∠CHD＝∠CHO＝90°，
∴CD2﹣DH2＝CO2﹣OH2，
∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，
解得x＝，
∴CH＝＝＝，
∵OD垂直平分AC，
∴AC＝2CH＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝7．
②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I．
∵D，E，C是的三等分点，
∴＝＝，
∴EC＝DE＝AD＝2，∠DEA＝∠EAC，
∴DE∥AC，
∵∠H＝∠I＝90°，
∴∠HAC＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AHIC是矩形，
∴AH＝CI，AC＝HI，
∵AD＝CE，∠H＝∠I＝90°，
∴Rt△AHD≌Rt△CIE（HL），
∴EI＝DH，设DH＝x，则HE＝x+2，
∵∠H＝90°，
∴AE2﹣EH2＝AH2＝AD2﹣DH2，
∴（）2﹣（x+2）2＝22﹣x2，
解得x＝，
∵EI＝DH＝，
∴HI＝DH+DE+EI＝+2+＝，
∴AC＝HI＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
相关试卷
2023-2024学年江苏省南京市建邺区南京河西外国语学校七年级（上）10月月考数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年江苏省南京市建邺区南京河西外国语学校七年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
