2022-2023学年江苏省南京外国语学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）(解析版)

2022-2023学年江苏省南京外国语学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列函数中，是的二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知，点，，都在函数的图象上，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.    已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

5.    在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图所示，为等腰直角三角形，，，正方形边长也为，且与在同一直线上，从点与点重合开始，沿直线向右平移，直到点与点重合为止，设的长为，与正方形重合部分图中阴影部分的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.    二次函数的图象与轴交点的坐标为______，与轴交点坐标为______．
8.    如图，在边长为的正方形内任取一点，连接、，如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率是______．

9.    线段是圆内接正十二边形的一条边，则边所对的圆周角是______
10. 如图，是圆的直径，是圆的弦，，在图中画出弦，使，则的度数为______

11. 已知二次函数，当，的取值范围是______．
12. 已知函数是常数的图象与轴只有一个交点，则______．
13. 已知二次函数的、的部分对应值如表：

抛物线的对称轴是______；
不等式的解集是______．

14. 如图，以为直径的半圆沿弦折叠后，与相交于点若，则______
     
15. 已知点、点，点是该直角坐标系内的一个动点．若点在轴的负半轴上，且，则满足条件的点的坐标为______．
16. 如图，抛物线交轴分别于点，，交轴正半轴于点，抛物线顶点为下列结论：；；；当是等腰直角三角形时，；若，则抛物线的对称轴直线上的动点与、两点围成的周长最小值为其中，正确结论的序号为______．

三、解答题（本大题共10小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    
    ．
18. 本小题分
    已知二次函数．
    画出这个函数的图象；
    根据图象，求出当时，的取值范围？
    请直接写出与该函数图象关于原点成中心对称的抛物线的函数关系式______．
19. 本小题分
    已知一次函数与二次函数的图象都经过点，二次函数的对称轴直线是
    请求出一次函数和二次函数的表达式．
    指出二次函数值大于一次函数值的自变量取值范围．直接写出答案
20. 本小题分
    已知，分别与相切于点，，，为上一点．
    Ⅰ如图，求的大小；
    Ⅱ如图，为的直径，与相交于点若，求的大小．
     
21. 本小题分
    如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏，设这个菜园垂直于墙的一边长为米．
    若平行于墙的一边长为米，写出与的函数表达式子，并求出自变量的取值范围；
    垂直于墙的一边长为多少米时间，这个矩形菜园的面积最大，最大值是多少？

22. 本小题分
    已知抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面米时，水面宽米．水面上升米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种建系方法．
    
    方法一：如图，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为轴，建立平面直角坐标系；
    方法二：如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．
    请分别根据上述两种方法，解决这个问题．
23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点，点在点的左侧．
    
    求点，的坐标，并根据该函数图象写出时的取值范围
    把点向上平移个单位得点，若点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，若点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合．已知，，求，的值．
24. 本小题分
    我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，其顶点为．
    试求抛物线的“不动点”的坐标；
    平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．

25. 本小题分
    已知抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点．如图所示，以为直径作圆，记作．
    试判断点与的位置关系；
    直线与相切吗？请说明理由；
    在抛物线上是否存在一点，能使四边形为平行四边形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知抛物线：和直线；，点、均在直线上．
    求直线的表达式；
    若抛物线与直线有交点，求的取值范围；
    当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值；
    若抛物线与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是二次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、不是二次函数，故此选项不合题意；
D、是二次函数，故此选项符合题意；
故选：．
根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数可得答案．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．
 

2.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故选：．
圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
即点，，都在轴左侧，
的图象在对称轴的左侧，且随的增大而减小，
．
故选：．
本题主要考查了二次函数的图象性质及图象上点的坐标特征．
根据函数的图象的特点，在轴的左侧随的增大而减小即可得．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，不仅要熟悉二次函数与轴的交点个数与判别式的关系，还要会解不等式．
由于二次函数与轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程中，，解不等式即可求出的取值范围，由二次函数定义可知．
【解答】

解：由题意知，二次函数的图象和轴有交点，
，
且．
故选C．
 

5.【答案】 

【解析】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，正确；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，错误；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，错误；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，错误．
故选：．
可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设的长为，与正方形重合部分图中阴影部分的面积为
当从点运动到点时，即时，．
当从点运动到点时，即时，，
与之间的函数关系由函数关系式可看出中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选：．
此题可分为两段求解，即从点运动到点和从点运动到点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．
 

7.【答案】，   

【解析】解：当时，，
，
，
，，
与轴交点的坐标为和；
当时，，
与轴交点坐标为，
故答案为：，；．
根据求出的值，得到与 轴交点的坐标，根据，求出的值得到轴交点坐标．
本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解答本题的关键．轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为．
 

8.【答案】 

【解析】解：以为直径圆内的区域为满足，则落在半圆内，
半圆的面积为，
正方形的面积是，
满足的概率是
是钝角三角形的概率；
故答案为：．
由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】或 

【解析】解：圆内接正十二边形的边所对的圆心角和，
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
所对的圆周角的度数是或，
故答案为或．
求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．
本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，属于基础题，要注意分两种情况讨论．
 

10.【答案】或 

【解析】解：如图，是圆的直径，
，
，，
，
，
，
，．
的度数为：或．
故答案为：或．
根据题意作图，由是圆的直径，可得，继而可求得的度数，则可求得答案．
此题考查了圆周角定理以及解直角三角形的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数中，
抛物线开口向下，有最大小值为，抛物线的对称轴为轴，
当时，在对称轴的两侧，
当时，，
当时，
当，的取值范围是，
故答案为．
先根据判断出抛物线的开口向下，故有最大小值，对称轴，然后根据当时，在对称轴的两侧，代入求得最小值求得答案即可．
本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要先确定出抛物线的对称轴及最大值，再根据和的取值范围进行解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，直线与轴只有一个交点，则；

当时，图象与轴只有一个交点则
，
，
，
，
故答案为：．
此题要分两种情况进行讨论：当时，此函数为一次函数，图象与轴只有一个交点；当时，此函数为二次函数，当时，图象与轴只有一个交点，分别计算即可．
此题主要考查了抛物线与轴交点，关键是注意分类讨论，不要漏解．
 

13.【答案】   

【解析】解：由表格可知，当，时的函数值相等，
是函数的对称轴，
故答案为；
将点，，代入，
可得，，，
，
为，
，
故答案为．
从表格中可知当，时的函数值相等，即可确定对称轴的位置；
将点，，代入，求得解析式为，再求不等式的解集即可．
本题考查二次函数的性质；熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，会解一元一次不等式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

，，
，
，
，，
，
故答案是：
如图，连接首先证明，推出即可解决问题；
本题考查了圆周角定理，翻折变换等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，
点、、在以点为圆心，为半径的圆上，且，
为等边三角形，
，
交轴于和点，连接，如图，
作于，轴于，则，，
，，
，，
在中，，
，
，，
，，
满足条件的点的坐标为或
故答案为或
利用圆周角定理可判断点、、在以点为圆心，为半径的圆上，且，则，交轴于和点，连接，如图，作于，轴于，根据垂径定理得到得到，，所以，，再利用勾股定理计算出得到和的长，从而得到满足条件的点的坐标．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．
 

16.【答案】 

【解析】解：把，代入得到，
消去得到，故正确，
抛物线的对称轴，开口向下，
时，有最大值，最大值，
，
，故错误，
当是等腰直角三角形时，，
可以假设抛物线的解析式为，
把代入得到，故正确，
如图，连接交抛物线的对称轴于，连接，此时的周长最小，
最小值，

，
周长最小值为，故错误．
故答案为：．
利用待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短一一判断即可．
本题考查二次函数的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：，
，
或，
解得：或；

整理成一般式得：，
． 

【解析】因式分解法求解可得；
整理成一般式后因式分解法求解可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

18.【答案】 

【解析】解：
二次函数的顶点坐标为：，

图象如图：

根据函数图象可知，当时，或；
，
二次函数的顶点坐标为：，关于原点对称的坐标为，
关于原点成中心对称的抛物线，开口大小不变，只改变方向，
关于原点成中心对称的抛物线的函数关系式为，
即．
故答案为：．
根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与、轴交点坐标即可画出图象，
根据函数图象直接写出的取值范围即可求解；
先求得原抛物线的顶点关于原点的对称点，进而根据中心对称的性质，开口大小不变，方向改变，即可求解．
本题考查了画二次函数图象，中心对称的性质，将二次函数一般式化为顶点式，根据图象求不等式的解集；掌握以上知识是解题的关键根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与、轴交点坐标即可画出图象，
根据函数图象直接写出的取值范围即可求解；
先求得原抛物线的顶点关于原点的对称点，进而根据中心对称的性质，开口大小不变，方向改变，即可求解．
 

19.【答案】解：一次函数与二次函数的图象都经过点，
将点代入一次函数，
，
解得：，
一次函数的表达式为：；
二次函数的对称轴直线是，
，
解得：，
二次函数的表达式为：；


联立一次函数与二次函数的解析式得：，
解得：或，
二次函数值大于一次函数值的自变量取值范围为：或 ． 

【解析】由一次函数与二次函数的图象都经过点，二次函数的对称轴直线是，直接利用待定系数法，即可求得一次函数和二次函数的表达式．
首先联立一次函数与二次函数的解析式得：，求得交点坐标，继而求得二次函数值大于一次函数值的自变量取值范围．
此题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数交点问题．此题难度适中，注意掌握方程思想的应用．
 

20.【答案】解：Ⅰ连接、，

，是的切线，
，
，
由圆周角定理得，；
Ⅱ连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
Ⅰ连接、，根据切线的性质得到，根据四边形内角和等于计算；
Ⅱ连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算．
 

21.【答案】解：设米，则；

设米，矩形的面积为平方米，依题意
得：，
当时，． 

【解析】按题意设出，表示即可写出函数解析式；
根据旧墙长度和长度表示矩形菜园长和宽，即可求解．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案
 

22.【答案】解：方法一：根据题意知，抛物线与轴的交点为、，其顶点坐标为，
设解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为，
当时，，
解得：或，
则水面的宽减少了．

方法二：由题意知，抛物线过点，
设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
所以抛物线解析式为，
当时，，
解得：或，
则水面的宽减少了． 

【解析】方法一：根据顶点坐标为，设其解析式为，将代入求出的值即可得；
方法二：设抛物线解析式为，将点代入求得的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨后，即时的值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．
 

23.【答案】解：令，则，
解得，，
点坐标为，点坐标为，
由函数图象得，当时，；
由题意得，，，
函数图象的对称轴为直线，
点，在二次函数图象上且纵坐标相同，
，
，
，
，的值分别为，． 

【解析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，以及二次函数与一元二次方程．
把代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得、两点的坐标，再根据函数图象不在轴下方的的取值范围得时的取值范围；
根据题意写出，的坐标，再由对称轴方程列出的方程，求得，进而求得的值．
 

24.【答案】解：设抛物线的“不动点”的坐标，
则，
或，
抛物线的“不动点”为，；
时，
设，
新抛物线的对称轴为，与轴的交点，
四边形是梯形，
直线在轴左侧，
与不平行，
，
，，
，
故新抛物线是抛物线向左平移个单位得到的；
当时，
同理可得：抛物线解析式，
当四边形是梯形，字母顺序不对，故舍去，
综上所述：新抛物线的解析式为． 

【解析】设抛物线的“不动点”的坐标，则，求得或；
时，设，则新抛物线的对称轴为，与轴的交点，当，由，，可求，故新抛物线是抛物线向左平移个单位得到的；当时，同理可得：抛物线解析式，当四边形是梯形，字母顺序不对，故舍去；
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
 

25.【答案】解：抛物线过点，
，
，
抛物线的解析式为，
当时，方程的解为或，
，，
，，，
，
，
故点在圆上．
如图，连接，，，

代入顶点坐标公式，可得：，
利用两点间距离公式可得：，
，
为直角三角形，
，
直线与相切．
不存在，理由如下：
如图，过点作，交抛物线于点，

当时，方程的解为或，
，，
，
，
在抛物线上不存在一点，能使四边形为平行四边形． 

【解析】求出的长，并且，比较，如果相等，说明点在圆上；
先用两点间距离公式求出线段的长，在用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，最后由垂直可判断相切；
先尝试作出四边形，再证明一组对边平行但不相等，最后说明不存在．
本题考查二次函数的图象与性质，点与圆，线与圆的位置关系，数形结合思想是解题的关键．
 

26.【答案】解：点，代入得，解得：，
；

联立与，则有，
抛物线与直线有交点，
，
且；

根据题意可得，，
，
抛物线开口向下，对称轴，
时，有最大值，
当时，有，
或，
在左侧，随的增大而增大，
时，有最大值，
；
在对称轴右侧，随最大而减小，
时，有最大值；
综上所述：或；

时，时，，即，
；
时，时，，即，
，
直线的解析式为，
抛物线与直线联立：，
，
，
，
的取值范围为或； 

【解析】点，代入，即可求解；
联立与，则有，抛物线与直线有交点，则，即可求解；
分在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可；
分、两种情况，分别求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．