广东省佛山市顺德区京师励耘实验学校2023-2024学年八年级（下）第一次月考数学试卷

这是一份广东省佛山市顺德区京师励耘实验学校2023-2024学年八年级（下）第一次月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（3分）x与5的和大于3，用不等式表示为（ ）
A．x+5＜3B．x+5＞3C．x﹣5＞3D．x﹣5＜3
3．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+5＜y+5B．2x＞2yC．D．﹣2x＜﹣2y
4．（3分）一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x≤3C．﹣1≤x＜3D．﹣1≤x≤3
5．（3分）已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（ ）
A．70°B．55°C．40°D．110°
6．（3分）如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（ ）
A．∠C＝∠DB．AC＝BDC．BC＝BDD．AD＝BC
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，E是AD上一点，若CE＝5，则BE＝（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．（3分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
9．（3分）已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体x（kg）之间的函数解析式分别是y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，图象如图所示，当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
10．（3分）在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
11．（3分）下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8．点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值是4；③四边形CDFE的面积保持不变．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
二、填空题（5个题，每题4分，共20分）
13．（4分）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝ ．
14．（4分）如果不等式组的解集是﹣1＜x＜2，那么a2＝ ．
15．（4分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝ cm．
17．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BD＝CE，则∠AFE＝ ．
三、解答题（8个题，共计64分）
18．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（8分）（1）解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求a的值．
20．（8分）近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某乡镇计划在C村、D村之间建一个医疗站P，两村座落在两相交的笔直公路AO，BO内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①P点到两公路距离相等，②P点到两村的距离也相等．请你通过尺规作图确定P点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数表达式；
（2）若某人计划在商都购买一台电视机，请分析选择哪种方案更省钱？
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD＝2cm，BC＝5cm．
（1）求证：FC＝AD；
（2）求AB的长．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交坐标轴于A、B两点，过x轴正半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．
（1）求出直线CD对应的函数表达式；
（2）点M是线段CD上一动点（不与点C、D重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．判断△OMN的形状，并说明理由；
（3）若E（﹣1，a）为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）综合与实践．
如图所示：△ABC是等边三角形，F是边AC的中点，点D在直线BF上运动，连接AD，以AD为边向右侧作等边三角形ADE，连接CE，直线CE与直线BF交于点M，试探究线段BD与CE的数量关系及∠BMC的大小．
（1）初步探究：如图①，当点D在线段BF上时，请直接写出：
①BD与CE的数量关系为 ；
②∠BMC＝ ；
（2）深入探究：如图②，当点D在线段BF的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点D在线段FB的延长线上时，若等边三角形ABC的边长为8，MF＝3，BD＝2，请你直接写EM的长度．
参考答案与试题解析
一、选择题（12个题，每题3分，共36分）
1．（3分）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≠，所以不等式有：①②⑤⑥，等式有：③．
故选：C．
2．（3分）x与5的和大于3，用不等式表示为（ ）
A．x+5＜3B．x+5＞3C．x﹣5＞3D．x﹣5＜3
【解答】解：x与5的和大于3，用不等式表示为x+5＞3，
故选：B．
3．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+5＜y+5B．2x＞2yC．D．﹣2x＜﹣2y
【解答】解：A、∵x＜y，
∴x+5＜y+5，故本选项符合题意；
B、∵x＜y，
∴2x＜2y，故本选项不符合题意；
C、∵x＜y，
∴，故本选项不符合题意；
D、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（3分）一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x≤3C．﹣1≤x＜3D．﹣1≤x≤3
【解答】解：∵﹣1处是实心圆点且折线向右，3处是空心圆点且折线向左，
∴﹣1≤x＜3．
故选：C．
5．（3分）已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（ ）
A．70°B．55°C．40°D．110°
【解答】解：一个底角为70°时，则另一个一个底角也为70°，
∴顶角＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：C．
6．（3分）如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（ ）
A．∠C＝∠DB．AC＝BDC．BC＝BDD．AD＝BC
【解答】解：∵AB＝AB，
∴当添加AC＝AD或BC＝BD时，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，E是AD上一点，若CE＝5，则BE＝（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解答】解：∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝CE＝5，
故选：C．
8．（3分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
【解答】解：如图，根据题意BC＝3米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），
∴3+6＝9（米）．
故选：B．
9．（3分）已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体x（kg）之间的函数解析式分别是y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，图象如图所示，当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
【解答】解：∵点（0，4）和点（1，12）在y1＝k1x+b1上，
∴得到方程组：，
解得：，
∴y1＝8x+4．
∵点（0，8）和点（1，12）代入y2＝k2x+b2上，
∴得到方程组为，
解得：．
∴y2＝4x+8．
当x＝2时，y1＝8×2+4＝20，y2＝4×2+8＝16，
∴y1＞y2．
故选：A．
10．（3分）在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
【解答】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，
∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
11．（3分）下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④
【解答】解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④三边都相等的三角形是等边三角形；
故选：D．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8．点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值是4；③四边形CDFE的面积保持不变．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【解答】解：连接CF，如图：
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，F是AB边上的中点，
∴CF＝AF＝BF，∠ECF＝∠A＝45°，CF⊥AB，
在△ECF和△DAF中，
，
∴△ECF≌△DAF（SAS），
∴∠CFE＝∠AFD，DE＝EF，
∴∠DFE＝∠AFC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF＝AC＝4．
∴DE＝DF＝4，故②不正确；
∵△ECF≌△DAF，
∴S△ECF＝S△DAF，
∴S四边形CDFE＝S△CDF+S△CEF＝S△CDF+S△ADF＝S△ACF＝S△ABC＝定值，故③正确；
∴正确的有①③，
故选：C．
二、填空题（5个题，每题4分，共20分）
13．（4分）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝ 2 ．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝2，
故答案为：2．
14．（4分）如果不等式组的解集是﹣1＜x＜2，那么a2＝ 1 ．
【解答】解：，
由①得，x＞a，由②得，x＜﹣b，
∵不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
∴a2＝（﹣1）2＝1，
故答案为：1．
15．（4分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 15 度．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，
∵CG＝CD，
∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝ 5 cm．
【解答】解：连接AD，
∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E
∴AD＝BD＝10，∠DBA＝∠BAD＝15°，∠DAC＝60°，
∠ADC＝30°，
∴AC＝AD＝5cm．
17．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BD＝CE，则∠AFE＝ 60° ．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（SAS）；
∴∠DAB＝∠EBC，
又∵∠BFD＝∠BAD+∠ABE＝60°，
∴∠AFE＝∠BFD＝60°．
故答案为：60°．
三、解答题（8个题，共计64分）
18．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
解①得x＞1，
解②得x＞3，
所以不等式组的解集为x＞3，
用数轴表示为：
．
19．（8分）（1）解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求a的值．
【解答】解：（1）去括号得5x﹣10+8＜6x﹣6+7，
移项得5x﹣6x＜﹣6+7+10﹣8，
合并得﹣x＜3，
系数化为1得x＞﹣3；
（2）x＞﹣3的最小整数为﹣2，
把x＝﹣2代入方程2x﹣ax＝3得﹣4+2a＝3，
解得a＝．
20．（8分）近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某乡镇计划在C村、D村之间建一个医疗站P，两村座落在两相交的笔直公路AO，BO内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①P点到两公路距离相等，②P点到两村的距离也相等．请你通过尺规作图确定P点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：（1）画出角平分线；（2）作出垂直平分线．
交点P即满足条件．
21．（8分）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数表达式；
（2）若某人计划在商都购买一台电视机，请分析选择哪种方案更省钱？
【解答】解：（1）方案一：y1＝0.95x；
方案二：y2＝0.9x+300；
（2）分三种情况：
①y1＞y2时，0.95x＞0.9x+300，
解得：x＞6000，
∴电视机价格大于6000时，选方案二；
②y1＝y2时，0.95x＝0.9x+300，
解得：x＝6000，
∴电视机价格等于6000时，两种方案都一样；
③y1＜y2时，0.95x＜0.9x+300，
解得：x＜6000，
∴电视机价格小于6000时，选方案一，
综上所述，当电视机价格大于6000时，选方案二；电视机价格等于6000时，两种方案都一样；电视机价格小于6000时，选方案一．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD＝2cm，BC＝5cm．
（1）求证：FC＝AD；
（2）求AB的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC+AD（等量代换）
＝5+2＝7（cm）．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交坐标轴于A、B两点，过x轴正半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．
（1）求出直线CD对应的函数表达式；
（2）点M是线段CD上一动点（不与点C、D重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．判断△OMN的形状，并说明理由；
（3）若E（﹣1，a）为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝2x+4得：y＝4，
∴点B（0，4），
∴OB＝4，
把y＝0代入y＝2x+4得：x＝﹣2，
∴点A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵△AOB≌△DOC，
∴OC＝OB＝4，OD＝OA＝2，
∴C（4，0），D（0，2），
设直线CD对应的函数表达式为：y＝kx+b
把C（4，0），D（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线CD对应的函数表达式为：；
（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
∵△AOB≌△DOC，
∴∠OBA＝∠OCD，OB＝OC，
又∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
即∠MOD+∠BON＝90°，
∵∠COD＝90°，
即∠COM+∠MOD＝90°，
∴∠BON＝∠COM，
在△OBN与△OCM中，
，
∴△OBN≌△OCM（ASA）
∴OM＝ON，
又∠MON＝90°，
∴△OMN是等腰直角三角形；
（3）直线CD上存在点Q，使△EPQ得是以E为直角顶点的等腰三角形．
∵E（﹣1，a）为直线AB上的点，
∴a＝2×（﹣1）+4，
∴a＝2，
∴E（﹣1，2），
①当点P在点B下方时，如图，连接DE，过点Q作QM⊥DE，交DE的延长线于M点，
∵D（0，2），
∴DE⊥y轴，DE＝1，点M的纵坐标为2，∠M＝∠EDP＝90°，
∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，
∴EP＝EQ，∠PEQ＝90°，
∴∠QEM+∠PED＝90°＝∠QEM+∠EQM，
∴∠DEP＝∠EQM，
在△DEP与△MQE中，
，
∴△DEP≌△MQE（AAS），
∴MQ＝DE＝1，
∴Q点的纵坐标为3，
把y＝3代入中得：x＝﹣2，
∴点Q（﹣2，3）；
②当点P在点B上方时，如图，过E点作EM∥y轴，过点Q作QM⊥EM于M点，过P点作PN⊥EM交ME的延长线于N点．
则∠M＝∠N＝90°，
∴N点的橫坐标为﹣1，
则PN＝1，
∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，
∴EP＝EQ，∠PEQ＝90°，
∴∠QEM+∠PEN＝90°＝∠PEN+∠NPE，
∴∠MEQ＝∠NPE，
在△EQM与△PEN中，
，
∴△EQM≌△PEN（AAS），
∴EM＝PN＝1，
∴M点的纵坐标为1，
∴Q点的纵坐标为1，
把y＝1代入中得：x＝2，
∴Q（2，1）；
综上所述，直线CD上存在点Q（﹣2，3）或（2，1），使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形．
24．（12分）综合与实践．
如图所示：△ABC是等边三角形，F是边AC的中点，点D在直线BF上运动，连接AD，以AD为边向右侧作等边三角形ADE，连接CE，直线CE与直线BF交于点M，试探究线段BD与CE的数量关系及∠BMC的大小．
（1）初步探究：如图①，当点D在线段BF上时，请直接写出：
①BD与CE的数量关系为 BD＝CE ；
②∠BMC＝ 60° ；
（2）深入探究：如图②，当点D在线段BF的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点D在线段FB的延长线上时，若等边三角形ABC的边长为8，MF＝3，BD＝2，请你直接写EM的长度．
【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
故答案为：BD＝CE；
②∵点F是AC边的中点，△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBF＝30°，∠ACB＝60°，
由①可知△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝30°，
∴∠BCM＝90°，
∴∠BMC＝90°﹣∠CBF＝60°；
故答案为：60°；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠CAE＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC+∠ACB＝120°，
∴∠ACE+∠DBC+∠ACB＝120°，
∴∠BMC＝60°；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAE，∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE，
∵△ABC是等边三角形，F是AC的中点，
∴∠ABF＝∠ABC＝30°，BF⊥AC，
∴∠CFM＝90°，∠ACM＝∠ABF＝30°，
∴FA＝FC＝4，
∴CM＝＝5，
∴EM＝CE+CM＝2+5＝7．