2023-2024学年广东省佛山市顺德区桂凤中学八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区桂凤中学八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，是无理数的是( )
A. 2B. 13C. 3D. −5
2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 3，4，6C. 5，12，13D. 4，6，7
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 15B. 6C. 0.5D. 8
4.下列计算正确的是( )
A. 20=2 5B. 4=±2C. 4− 2= 2D. (−3)2=−3
5.小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家直线距离为250m远的地方，那么小明向正东方向走的路程是( )
A. 250mB. 200mC. 150mD. 100m
6.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是( )
A. 20cm
B. 10cm
C. 14cm
D. 无法确定
7.若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为( )
A. 10B. 2 7C. 10或2 7D. 14
8.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为( )
A. 10米
B. 16米
C. 15米
D. 14米
9. 8+1的结果是介于下列哪两个数之间( )
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
10.已知 a+2+|b−1|=0，那么(a+b)2020的值为( )
A. −1B. 1C. 32020D. −32020
11.如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是( )
A. 32 5
B. 32 2
C. 310 5
D. 35 5
12.下列说法：①π的相反数是−π.②若|x|= 6，则x= 6.③若a≠0，则a的倒数是1a，④若 x2=−x，则x<0，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.116的算术平方根为______．
14.比较大小： 3−12 ______12．
15.使代数式 x−1有意义的x的取值范围是______．
16.如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．
17.若一正数的平方根分别是a−6和3a−6，则这个正数是______．
18.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…依此类推，则第2023个等腰直角三角形的斜边长是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题24分)
计算：
(1)( 3+ 2)( 3− 2)；
(2) 8×( 2− 12)；
(3)(2 2−1)2+ 18；
(4) 32−4 12+ 2．
20.(本小题9分)
“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，
(1)求BC的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
21.(本小题9分)
已知∠ACB=90°，BC= 6，AC= 2，CD是边AB上的高．
(1)求CD的长；
(2)求△ADC的面积．
22.(本小题9分)
如图，点E在正方形ABCD内，AE=1，BE= 2，AB= 3．
(1)△ABE是直角三角形吗？为什么？
(2)请求出阴影部分的面积S．
23.(本小题9分)
小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 5、 10、 13，求△ABC的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．
请回答：
(1)求图1中△ABC的面积；
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
(2)图2是一个6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1)．
①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为 13、2 5、 29的格点△DEF；
②计算△DEF的面积是______．
(3)如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF.若PQ=2 2，PR= 13，QR= 17，求六边形AQRDEF的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.13是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C. 3属于无理数，故本选项符合题意；
D.−5是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，属于基础题．
判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】
解：A、22+32=13≠42，故A选项构不成直角三角形；
B、32+42=25≠62，故B选项构不成直角三角形；
C、52+122=169=132，故C选项构成直角三角形；
D、42+62=52≠72，故D选项构不成直角三角形．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：A、 15= 55，则 15不是最简二次根式，所以A选项不符合题意；
B、 6是最简二次根式，所以B选项符合题意；
C、 0.5= 12= 22，则 0.5不是最简二次根式，所以C选项不符合题意；
D、 8=2 2，则 8不是最简二次根式，所以D选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件(被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式)是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A． 20=2 5，故此选项符合题意；
B. 4=2，故此选项不合题意；
C. 4− 2=2− 2，故此选项不合题意；
D. (−3)2=3，故此选项不合题意；
故选：A．
直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示：AB=150m，AC=250m，
则BC= AC2−AB2= 2502−1502=200(m)．
答：小明向正东方向走了200m，
故选：B．
根据题意画出图形，进而利用勾股定理求出即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确画出图形是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，
因为底面半径为2cm，
所以BC=4π2=2π≈6cm，
在Rt△ABC中，
因为AC=8cm，BC=6cm，
所以AB= AC2+BC2= 62+82=10cm．
故选：B．
先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是平面展开−最短路径问题，熟知两点之间，线段最短是解答此类问题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
解：设第三边为x，
①当8是直角边时，则x= 62+82=10，
②当8是斜边时，x= 82−62=2 7．
第三边长为10或2 7．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得BC=6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= BC2+AC2= 62+82=10(米)．
所以大树的高度是10+6=16(米)．
故选：B．
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．
9.【答案】B
【解析】解：∵ 4< 8< 9，
∴2< 8<3，
∴3< 8+1<4，
故选：B．
估算 8的大小，再得出 8+1的大小，进而得出答案．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是得出正确答案的前提．
10.【答案】B
【解析】解：因为 a+2+|b−1|=0，
所以a+2=0，b−1=0，
即a=−2，b=1，
所以(a+b)2020=(−1)2020=1，
故选：B．
根据算术平方根、绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算即可．
本题考查非负数的性质，掌握算术平方根、绝对值的非负性是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．
11.【答案】D
【解析】解：作BD⊥AC于D，如图所示：
∵小正方形的边长为1，
∴AC= 12+22= 5，
∵S△ABC=2×2−12×1×1−12×2×1−×2×1=1.5，
∴S△ABC=12×AC×BD=12× 5×CD=1.5，
解得：CD=3 55．
故选：D．
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC中AC边上的高即可．
此题主要考查了勾股定理以及三角形的面积；根据题意得出△ABC的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解决问题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：①π的相反数是−π，正确；
②若|x|= 6，则x=± 6，故此选项错误．
③若a≠0，则a的倒数是1a，正确；
④若 x2=−x，则x≤0，故此选项错误；
故选：B．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
13.【答案】14
【解析】解：(14)2=116，
116的算术平方根为：14．
故答案为：14．
由算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根的定义．注意算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
14.【答案】<
【解析】解：∵ 3≈1.7，
∴ 3−1<1，
∴ 3−12<12．
故答案为：<．
先估算出 3的值，再根据同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的数较大即可进行解答．
本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，解答此题时要熟知：同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的较大．
15.【答案】x≥1
【解析】解：∵ x−1有意义，
∴x−1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件，即“被开方数大于等于0时二次根式才有意义”，解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
16.【答案】13
【解析】解：如图所示，AB，CD为树，且AB=14米，CD=9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE=BD=12，BE=CD=9，
所以AE=AB−BE=5，
在直角三角形AEC中，AC2=AE2+CE2=52+122=132，则AC=13．
答：小鸟至少要飞13米．
故答案为：13．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．
17.【答案】9
【解析】解：根据题意得：a−6+3a−6=0，即a=3，
则这个正数为(3−6)2=9．
故答案为：9．
根据正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出这个正数．
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
18.【答案】( 2)2023
【解析】【分析】
根据勾股定理依次求出斜边AC、AD、AE的长，得出规律即可．
本题主要考查了图形的变化规律，依据勾股定理求出斜边长，发现规律是解题的关键．
【解答】
解：∵△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，
∴AC= 2，
在第二个Rt△ACD中，由勾股定理得：AD= 2+2=2=( 2)2，
在第三个Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= 22+22=2 2=( 2)3，
……
依此类推，第2023个等腰直角三角形的斜边长为( 2)2023，
故答案为：( 2)2023，
19.【答案】解：(1)( 3+ 2)( 3− 2)
=( 3)2−( 2)2
=3−2
=1；
(2) 8×( 2− 12)
= 8×2− 8×12
=4−2
=2；
(3)(2 2−1)2+ 18
=(2 2)2−4 2+1+ 18
=8−4 2+1+3 2
=9− 2；
(4) 32−4 12+ 2
= 16×2−4 24+ 2
=4 2−2 2+ 2
=3 2．
【解析】(1)根据平方差公式求解即可；
(2)根据二次根式的乘法法则计算即可；
(3)先根据完全平方公式化为二次根式的加减，再化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；
(4)先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，灵活掌握相关知识是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)在直角△ABC中，已知AC=30米，AB=50米，
且AB为斜边，则BC= AB2−AC2=40米．
答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米；
(2)小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒，
20米/秒=72千米/时，
因为72>70，
所以这辆小汽车超速了．
答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了．
【解析】(1)在直角三角形ABC中，已知AB，AC根据勾股定理即可求出小汽车2秒内行驶的距离BC；
(2)根据小汽车在两秒内行驶的距离BC可以求出小汽车的平均速度，求得数值与70千米/时比较，即可计算小汽车是否超速．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，难度适中．题中正确的运用勾股定理计算BC的长度是解题的关键．
21.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，
AB= AC2+BC2= ( 6)2+( 2)2= 8=2 2，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB= 2⋅ 62 2= 62；
(2)在Rt△ADC中，
AD= AC2−CD2= 22，
∴△ADC的面积=12AD⋅CD=12× 62× 22= 34．
【解析】(1)已知两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
(2)根据勾股定理求出AD，由三角形的面积公式即可求出答案．
此题考查勾股定理，三角形的面积公式，关键是利用勾股定理求出斜AB，AD．
22.【答案】解：(1)在△ABE中，
∵12+( 2)2=( 3)2，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°；
(2)阴影部分的面积S=S正方形ABCD−S△ABE
=( 3)2−12×1× 2
=3− 22．
【解析】(1)利用勾股定理的逆定理可判断△ABE是直角三角形；
(2)利用正方形减去直角三角形的面积即可．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理的逆定理．
23.【答案】解：(1)△ABC的面积为：3×3−12×2×3−12×1×2−12×1×3=3.5；
(2)如图所示：①
；
②8．
(3)如图：∵S△PEF=5×2−12×2×2−12×2×3=5，
S△PQR=4×3−12×4×1−12×2×2−12×2×3=5，
∴六边形AQRDEF的面积=8+13+5+5=31．
故六边形AQRDEF的面积为31．
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，利用勾股定理求出各边长是解题关键．
(1)利用网格表示出各部分面积，进而得出答案；
(2)①利用勾股定理借助网格求出即可；
②根据(1)的方法计算三角形的面积即可；
(3)六边形AQRDEF的面积=边长为2 2的正方形面积+边长为 13的正方形面积+△PEF的面积+△PQR的面积，其中两个三角形的面积分别用长方形的面积减去各个小三角形的面积．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)①见答案；
②S△DEF=4×5−12×2×3−12×2×4−12×2×5=8；
故答案为8；
(3)见答案．