[数学]四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期期中试题（解析版）

这是一份[数学]四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期期中试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1. 某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A. 24种B. 4种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，
故共有种选择方法.
故选：D.
2. 已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，
因为在处取得极小值1，
所以有，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以是函数的极小值点，故满足题意，
于是有.
故选：C
3. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. 有2个极值点B. 为函数的极大值
C. 有1个极小值D. 为的极小值
【答案】B
【解析】函数，由图象可知;
当时，所以，即函数在上单调递减；
当时，所以，即函数在上单调递增；
当时，所以，即函数在上单调递减；
当时，所以，即函数在上单调递增；
所以在和处取得极小值，故C，D错误；
在处取得极大值，故B正确，
所以有3个极值点，故A错误，
故选：B.
4. 已知函数，则（ ）
A. 在上是增函数B. 在上是增函数
C. 当时，有最小值D. 在定义域内无极值
【答案】C
【解析】对于ABD，因为，
则，
令，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故ABD错误；
对于C，当时，根据的单调性可知，，故C正确.
故选：C.
5. 已知，且．若在处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】依题意，，
则，
，
所以，所以.
故选：A
6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，得，因为在上单调递减，
所以在上恒成立，即，
令，则，
令，得，当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以的最小值为，所以，即的取值范围为.
故选：D.
7. 已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，使得成立，
则函数的值域包含的值域.
当时，函数开口向上，对称轴，
所以在上单调递减，且，
所以；
当时，，则，
①若，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，即，解得；
②若，则，在上单调递增，
此时值域为，符合题意.
③当时，的值域为，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：B.
8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
令，所以，所以在上单调递增，
又，所以，所以，所以，
令，所以，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为.
故选：A.
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选或不选得0分）
9. 下列表述中正确的是（ ）
A. 若不存在，则曲线在点处没有切线
B.
C. 已知函数，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】取，则，在处导数不存在，
但在处的切线方程为，故A错误；
由基本初等函数的求导公式可得，故B正确；
因为，
则，故C错误；
因为，则，
令，则，即，故D正确；
故选：BD
10. 已知函数的导函数为，对任意的正数，都满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】设，则，
所以在上单调递增，
由得故A选项错误；
由得，故B选项正确；
设，
则 ，
所以在上单调递减，
由得，故C选项正确；
由得，故D选项正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在定义域上恒成立
B. 若经过原点的直线与函数的图像相切于点，则
C. 若函数在区间单调递减时，则的取值范围为
D. 若函数有两个极值点为，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】对于A，当 ， ， ，
当 时，，故 在上单调递增，
当 时，，故 在上单调递减，
则 ，故A 正确；
对于B，因为 ，其中 ，则 ，
所以 ， ，
故 的图象在点 处的切线方程为 ，
将代入切线方程可得 ，解得 ，故B 错误；
对于C， ，则 ，
因为 在区间 上单调递减，故 ， 恒成立，
可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，故 在单调递减，
当 时， ，故函数 在单调递增，
因为 ，
，，则 ，
故 ，故实数 的取值范围是 ，故 C 正确
对于D，因为 ，
由题意可知，方程 在 上有两个不等的实根，
即方程 在 上有两个不等的实根，
则 ，可得 ，故D 错误，
故选：AC．
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 函数在区间上的最大值是__________.
【答案】
【解析】因，所以，
令，得；令，得；
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故答案为：.
13 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答）
【答案】144
【解析】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，
区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法，
区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法，
共有种.
故答案：144种.
14. 已知函数，，若直线是曲线的切线，则______；若直线与曲线交于，两点，且，则的取值范围是______.
【答案】① ②
【解析】，设切点为，则，解得：；
由得，设，（，且），则，
当或时，，此时，递减；
当时，，此时，递增.
当时，；当时，，且当时，，，当时，.
所以当时，直线与曲线有两个交点，，且，，因为，所以，
且,
令，则，
又，则，得，有，
，设，则，
，由，，
在上单调递减，则，
设，则，由，
有，
在上单调递减，则有，
可得的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）求的单调区间和极值.
解：（1）因为，所以，
则，因为函数在点处的切线与直线垂直，
故，解得；
（2）因为，
所以，
令，解得或，令得或，
令得，
列表如下：
故的单调递减区间为和，单调递增区间为，
的极大值为，极小值为.
16. 已知函数.
（1）求在上的最大值；
（2）若函数恰有1个零点，求的取值范围.
解：（1），
可知时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，
由，，
；
（2）
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在单调递减，
所以，
，
当时，，当时，，
因为有1个零点，故或，所以或，
故的取值范围..
17. 已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字．
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
（3）可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？
（4）可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？
解：（1）分3步: ①先选百位数字有5种选法；②十位数字有5种选法；
③个位数字有4种选法；
由分步计数原理知所求三位数共有个
（2）分3步：
①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；
②再选百位数字有4种选法；
③十位数字也有4种选法；
由分步计数原理知所求三位数共有个.
（3）分3类：
①一位数，共有6个；
②两位数，先选十位数字，有种选法；再选个位数字也有种选法，共有个；
③三位数，先选百位数字，有种选法；再选十位数字也有种选法；再选个位数字，有种选法，共有个；
因此，比1 000小的自然数共有个．
（4）分4类：
①千位数字为或时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个；
②千位数字为，百位数字为之一时，共有个；
③千位数字为，百位数字是，十位数字为之一时，共有个；
④也满足条件；
故所求四位数共有个.
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）探究：是否存在实数，使得函数在上的最小值为2；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为函数，
所以定义域为：.
，
当时，，则在区间上单调递增；
当时，，即，，
所以方程有两个实数根，.
①当时，，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
②当时，，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
综上所述：当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）因为，则，
所以的定义域为.
，令，则.
若时，在区间单调递增，没有最小值，不符合题意，舍去；
若时，在区间单调递减，区间单调递增，
此时最小值为，则，不在范围内，舍去；
若时，在区间单调递减，
此时最小值为，
则；
所以，存在实数，使得函数在上的最小值为2.
19. 已知函数，e为自然对数底数．
（1）若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
（2）判断不等式的整数解的个数；
（3）当时，，求实数a的取值范围．
解：（1），所以，又
所以该曲线在点P处的切线方程为:，
即
（2）的定义域为，，
当时，，单调递增；
当，，单调递减．
又，，
，，
所以，不等式的整数解的个数为3．
（3）不等式
可整理为，
令，，
所以当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，又，
所以令，则
令，
则
令，
则
令，，
则，，
所以单调递减，，
所以，单调递减，，
所以，
所以，
所以单调递减，
所以.
3
0
+
0
↘
极小值
↗
极大值
↘